MATLAB经典数学建模教程Word版

1、第 1 节 Matlab 基本知识 一、 Matlab 的主要功能Matlab是一种功能非常强大的工程语言，诞生于20世纪70年代，1984年正式推向市场。2002年8月，Matlab6.5开始发布。是进行科学研究和产品开发必不可少的工具。l 数值和符号计算矩阵(数组)的四则运算（MatrixLaboratory）、数值差分、导数、积分、求解微分方程、微分方程的优化等l 数字图像、数字信号处理l 工程和科学绘图l 控制系统设计l 财务工程l 建模、仿真功能二、 Matlab 的界面1.命令窗口（Command Window）：Matlab各种操作命令都是由命令窗口开始，用户可以在命令窗口中输入

2、Matlab命令，实现其相应的功能。此命令窗口主要包括文本的编辑区域和菜单栏（如：四则运算；“;”禁止显示变量的值；遍历以前的命令）。在命令窗口空白区域单击鼠标右键，打开快捷菜单，各项命令功能如下：Evaluate Selection :打开所选文本对应的表达式的值。Open Selection :打开文本所对应的MatLab文件。Cut :剪切编辑命令。Paste :粘贴编辑命令。2. M-文件编辑/调试（Editor/Debugger）窗口Matlab Editor/Debugger窗口是一个集编辑与调试两种功能于一体的工具环境。M-文件（函数文件）l 什么是M-文件：它是一种和Dos环境

3、中的批处理文件相似的脚本文件，对于简单问题，直接输入命令即可，但对于复杂的问题和需要反复使用的则需做成M文件（Script File）。l 创建M-文件的方法：Matlab命令窗的File/New/M-file。在Matlab命令窗口运行edit。l M文件的扩展名： *.ml 执行M-文件：F5l M文件的调试 选择Debug菜单，其各项命令功能如下： Step :逐步执行程序。Step in :进入子程序中逐步执行调试程序。1 / 115Step out :跳出子程序中逐步执行调试程序。run:执行M-文件。Go Until Cursor :执行到光标所在处。Exit Debug Mode

4、 :跳出调试状态。l 函数文件的创建要求：文件名与函数名必须相同，如sin(x)必有sin.m函数文件存在。要求实参和形参位置一一对应。形参在工作空间中不会存在。可以编写递归函数，可以嵌套其他函数。可以用return命令返回，也可以执行到终点返回3.工作空间（Workspace）窗口：显示目前保存在内存中的Matlab的数学结构、字节数、变量名以及类型窗口。保存变量：File菜单Save Workspace as 命令行：save 文件名装入变量：File菜单Import Data 命令行：Load 文件名4.现在目录窗口（Current Directory） 5.命令历史窗口（Command

5、 History ）：提供先前使用过的函数，可以复制或者再次执行这些命令。Matlab帮助系统 Matlab在命令窗口提供了可以获得帮助的命令，用户可以很方便的获得帮助信息。例如：在窗口中输入“help fft”就可以获得函数“fft”的信息。常用的帮助信息有help ,demo ,doc ,who ,whos ,what ,which ,lookfor ,helpbrowser ,helpdesk ,exit ,web 等。三 、关于变量变量命名规则：l 变量名是不包含空格的单个词l 变量名区分大小写l 变量名必须以字母开头的字母、数字、下划线的组合，最多19个字符。l Matlab提供的标

6、准函数名均以小写字母开头特殊变量名：l ans 缺省变量名l pi 圆周率l i，j 虚数单位l eps 无穷小l inf ，Inf 无穷大 l realmax 最大正实数l realmin 最小正实数清除变量的值l clear l clear 变量名1 变量名2显示驻留内存的变量名l whol whos第 2 节 Matlab编程一、 矩阵（数组）的输入1、直接输入直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（ ）内；多维矩阵用多重方括弧。可建立复数矩阵如： Null_M = %生成一个空矩阵可建立复数

7、矩阵R=1,2,3;4,5,6I=7,8,9;10,11,12Z=R+I*j2. 由M文件方式建立，今后使用键入M文件名即可建立相应矩阵2、利用函数输入 “：”表达式，产生等差行向量 start：step：end 或start：end（step1）如：t1：20产生等距输入： linspace（a,b,n） 将a,b区间分成n1个等距小区间产生随机排列： randperm(n) 产生1n之间整数的随机排列3、特殊矩阵输入zeros(n) 生成nn全零阵， zeros（a，b） 元素全为0的ab维矩阵， 以下各函数同理具有该类型。zeros(size(A) 生成与矩阵A相同大小的全零阵， one

8、s（a，b） 元素全为1的ab维矩阵eye（a，b） 对角线上的元素为1的ab维矩阵rand（a，b） 产生ab维均匀分布的随机矩阵，其元素在（0，1）内rand 无变量输入时只产生一个随机数randn（a，b）产生ab维正态分布的随机矩阵4.矩阵的转置和逆矩阵n X的转置：X ( 图像顺时针旋转90，并水平镜像)如：a=imread(D:2-1.bmp);b=a;subplot(1,2,1),subimage(a),subplot(1,2,2),subimage(b)n X的逆矩阵 inv(X)二、 矩阵元素的访问及其大小的确定访问第n个元素： X（n）（n=1）访问多个元素： X (n1，

9、n2，n3) 或 X（1:10）确定元素的个数： numel(X)确定矩阵的大小： m,n,l=size(X)三、 矩阵的算数运算l 数与矩阵的运算：m等价于m.mA : m与A中各元素相加mA : m与A中各元素相减mA : m与A中各元素相乘m. /A : m除以A中各元素 （没有m/A）m A : A中各元素除以ml 矩阵与矩阵的运算AB: A、B对应元素相加AB: A、B对应元素相减AB: A、B矩阵按线性代数中矩阵乘法运算进行相乘（注意维数匹配）A.*B: A、B对应元素相乘（注意维数相同）A / B: A除以B矩阵 （aAB1）（注意维数匹配）A./B: A除以B中各元素A B:

10、B除以A矩阵 （aA1B）（注意维数匹配）A.B: B除以A中各元素Am： 相当于矩阵A矩阵A矩阵A.（m为小数即是矩阵的开方运算）（注意维数匹配）A.m：矩阵A中各元素的m次方A.B：矩阵A中各元素的进行B中对应元素次方（注意维数相同）四、 关系运算、=、= =、 = 六种关系运算符。关系成立结果为1，否则为0。五、 逻辑运算设矩阵A和B都是mn矩阵或其中之一为标量，在MATLAB中定义了如下的逻辑运算：&、|、xor（真为1，假为0）（1）矩阵的与运算格式 A&B或and(A, B)说明 A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。（2）或运算格式 A|B或or

11、(A, B) 说明 A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。（3）非运算格式 A或not (A)说明 若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。（4）异或运算格式 xor (A,B)说明 A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。六、 集合运算1两个集合的交集 intersect2检测集合中的元素 ismember3两集合的差 setdiff4两个集合交集的非（异或）函数 setxor5两集合的并集 union6取集合的单值元素 unique七、 MatLab的控制流由各种语句构成语句后面加“；”号，不显示运算结果开头

12、表示是注释语句赋值语句变量表达式表达式 （相当于将值付给ans变量）演示（三）for循环结构【例】一个简单的for循环示例。for i=1:10; %i依次取1,2,10,.x(i)=i; %对每个i值，重复执行由该指令构成的循环体，end; x %要求显示运行后数组x的值。 x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 while循环结构【例】Fibonacci数组的元素满足Fibonacci 规则： ，；且。现要求计算出该数组中第一个大于10000的元素。a(1)=1;a(2)=1;i=2;while a(i)8 sums=number*0.95*cost;end,sums sums

13、= 114.0000 【例2】用for循环指令来寻求Fibonacc数组中第一个大于10000的元素。n=100;a=ones(1,n);for i=3:n a(i)=a(i-1)+a(i-2); if a(i)=10000 a(i), break; %跳出所在的一级循环。 end;end,i ans = 10946i =21 switch-case结构【例】学生的成绩管理，演示switch结构的应用。clear; %划分区域：满分(100)，优秀(90-99)，良好(80-89)，及格(60-79)，不及格( diff( cos(x) ) % differentiate cos(x) wit

14、h respect to xans=-sin(x) M=sym( a，b；c，d ) % create a symbolic matrix MM=a，bc，d注意：1.建立符号数组时，最好用上函数sym2.许多符号函数可以自动将字符转变为符号表达式。例如diff cos(x) 也可以， diff x2+3*x+5 % the argument is equivalent to x2+3*x+5 l 符号变量是符号表达式中的变量，如：x+3*y+z中的x,y,z。l 独立变量是当符号表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。缺省的独立变量是x，如果没有x，则选择最靠近x的作为独立变量

15、。如表达式 1/(5+cos(x) 中是 x ；在 3*y+z 中是 y ；在 a+sin(t) 是 t ，而表达式 sin(pi/4)-cos(3/5) 是一个符号常数无符号变量。可利用函数symvar询问MATLAB在符号表达式中哪一个变量它认为是独立变量(系统找不到一个独立变量，便假定无独立变量并返回x)。 symvar( a*x+y*) % find the default symbolic variableans=x symvar( a*t+s/(u+3) ) % u is the closest to x ans=u symvar( sin(omega) ) % omega is

16、not a singlee character。ans=x symvar( 3*i+4*j ) % i and j are equel to sqrt(-1)ans=x指定独立变量： diff( xn ) % differentiate with respect to the default variable x ans=xn*n/x diff( xn ， n ) % differentiate xn with respect to n ans=xn*log(x) diff( sin(omega) ) % differentiate using the default variables (x

17、)ans=0 diff( sin(omega) ， omega ) % specify the independent variableans=cos(omega)第 2 节 符号表达式运算（目的：更方便的构造符号表达式）标准代数运算：symadd、symsub、symlnul、symdiv：分别为加、减、乘、除两个表达式sympow：将一个表达式上升为另一个表达式的幂次例如：给定两个函数 f= 2*x2+3*x-5 % define the symbolic expressionf=2*x2+3*x-5 g= x2-x+7 g=x2-x+7 symadd(f，g) % find an exp

18、ression for f+g ans=3*x2+2*x+2 symsub(f，g) % find an expression for f-gans=x2+4*x-12 symmul(f，g) % find an expression for f*gans=(2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f，g) % find an expression for f/gans=(2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) sympow(f,3*x) % find an expression for ans = (2*x2+3*x-5)(3*x)联接运算：symop：取由逗号隔开的、多至

19、16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子( + 、 - 、*、 / 、 、 ( 或 ) )，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式. f= cos(x) % create an expressionf=cos(x) g= sin(2*x) % create another expressiong=sin(2*x) symop(f，/ ，g，+，3) % combine themans=cos(x)/sin(2*x)+3高级运算：compose:把f(x)和g(x)复合成f(g(x)；finverse: 求函数的逆函数；symsum：求表达式的序列和。l compose给定表

20、达式 syms x y u v f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = 1/(1+u2); k= sin(v);% create the four expression compose(f，g) % find an expression for f(g(x)ans=1/(1+sin(y)2) compose(g，f) % find an expression for g(f(x)ans=sin(1/(1+x2)用于含有不同独立变量的函数表达式: compose(h，k，u，v) % given h(u)，k(v)，find(k(v) compose(h，k) % 结果一

21、样ans=1/(1+sin(v)2)l finverse表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x)=x。例如，的函数逆是ln(x)，因为ln()=x。sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数的函数逆是arcsin。函数finverse返回表达式的函数逆。如果解不是唯一就给出警告。 syms x a b c d z finverse(1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since 1/（1/x)=x ans=1/x finverse(x2 ) % g(x2)=x has more than one solutionWarning： finverse(

22、x2) is not uniqueans=x(1/2) finverse(a*x+b ) % find the solution to g(f(x)=x ans=-(b-x)/a finverse( a*b+c*d-a*z , a ) % find the solution to g(f(a)=a ans=-(c*d-a)/(b-z)l symsum求表达式的序列和有四种形式：symsum(f)返回；symsum(f， s )返回，symsun(f，a，b)返回；symsun(f， s ，a，b)返回。1. ，它应返回： 。 syms n x 一定要定义符号变量，即使是x symsum(x2)

23、ans=1/3*x3-1/2* x2+1/6*x2. ，它应返回。 symsum(2*n-1)2,1,n)ans=11/3*n+8/3-4*(n+1)2+4/3*(n+1)33.，返回应是。 syms n symsum( 1/(2*n-1)2,1,inf)ans=1/8*pi2变量替换：subs 将某个符号变量用另一个符号变量来表示。格式：subs（f，old，new）如： f= a*x2+b*x+c % create a function f(x)f=a*x2+b*x+c subs(f,x,s) % substitute s for x in the expression f ans=a*s

24、2+b*s+c subs(f,a,alpha) % substitute alpha for a in f ans=alpha*x2+b*x+c求符号表达式的函数值为了得到数字，需要使用函数eval 来转换字符串。 syms x f=symsum(x2) x=2 eval（f）第 3 节 微积分（Calculus）函数微分和积分广泛地用在许多工程学科，这部分的主要函数有：diff（）：Differentiate.（微分）Int（）：Integrate（积分）Jacobian（）：Jacobian matrix（雅可比行列式）Limit（）：Limit of an expression.（极限）

25、Symsum（）：Summation of series（序列和）Taylor（）：Taylor series expansion（泰勒级数）微分和差分:diff f= a*x3+x2-b*x-c % define a symbolic expressionf=a*x3+x2-b*x-c diff(f) % differentiate with respect to the default variable xans=3*a*x2+2*x-b diff(f，a ) % differentiate with respect to aans=x3 diff(f，2) % differentiate

26、 twice with respect to xans=6*a*x+2 diff(f， a ，2) % differentiate twice with respect to aans=0 m=(1： 8).2) % create a vectorM=1 4 9 16 25 36 49 64 diff(M) % find the differences between elementsans=3 5 7 9 11 13 15 如果diff的表达式或可变参量是数值，MATLAB就非常巧妙地计算其数值差分；如果参量是符号字符串或变量，MATLAB就对其表达式进行微分。积分int：格式：int(f)

27、，其中f是一符号表达式，它力图求出另一符号表达式F使diff(F)=f。注意：积分或逆求导不一定是以封闭形式存在，或存在但软件也许找不到，或者软件可明显地求解，但超过内存或时间限制。当MATLAB不能找到逆导数时，它将返回未经计算的命令。 int( log(x)/exp(x2) ) % attempt to integrateans=log(x)/exp(x2)积分函数的多种形式：int(f)：相对于缺省的独立变量x求逆导数int(f， s )：相对于符号变量s积分int(f，a，b)和int(f， s ，a，b)：a，b是数值，求解符号表达式从a到b的定积分int(f， m ， n )和形式

28、int(f， s ， m ， n )：其中m，n是符号变量，求解符号表达式从m到n的定积分。 f= sin(s+2*x) % crate a symbolic functionf=sin(s+2*x) int(f) % integrate with respect to xans=-1/2*cos(s+2*x) int(f， s ) % integrate with respect to sans=-cos(s+2*x) int(f，pi/2，pi) % integrate with respect to x from /2 to ans=-cos(s) int(f， s ，pi/2，pi)

29、% integrate with respect to s from /2 to ans=2*cos(x)2-1-2*sin(x)*cos(x) int(f， m ， n ) % integrate with respect to x from m to nans=-1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m)diff 和 int 均可以对符号数组的每一个元素进行运算。 F=sym( a*x,b*x2;c*x3,d*s ) % create a symbolic array F = a*x, b*x2 c*x3, d*s int(F) % ubtegrate the array

30、elements with respect to xans=1/2*a*x2，1/3*b*x31/4*c*x4， d*s*x第 4 节 数字信号处理常用Matlab函数简介一、 典型离散信号表示方法1.单位冲击序列(n)(n)可以用zero函数来实现：x=zeros(1,N);x(1)=1;2.单位阶跃序列u(n) 可以用ones函数来实现 X=ones(1,N);3.正弦序列 n=0:N-1;x=A*sin(2*pi*f*n*Ts);4.指数序列 N=1:N; X=a.*n;5.复指数序列n=0:N-1;x=exp(j*w*n);6.随机序列 Rand(1,N) :产生0，1上的均匀分布的随

31、机序列； Rand(1,N) :产生均值为0，方差为1的高斯随机序列，即白噪声序列。二、 滤波器分析与实现 滤波器分析与实现常用函数abs求绝对值angle求相角conv求卷积conv2求二维卷积deconv翻卷积f1 filt重叠相加法fft滤波器实现filter直接滤波器实现filter2二位数字滤波器filtfilt零相位数字滤波器filticFilter初始条件选择freqs模拟滤波器频率响应freqspace画出频率响应曲线freqz数字滤波器频率响应freqzplot画出频率响应曲线gGrpdelay平均滤波延迟latcfilt格型滤波实现impz数字滤波器中的单位冲击响应medf

32、ilt1一维中值滤波sosfilt二次分式滤波器实现zplane离散系统零、极点图upfirdn上抽样unwrap去除相位1. absy=abs(x) 计算x的绝对值，当x为复数时，其算其模值。当x为字符串时，计算各个字符的ASCII码。2. angle = angle(h) 计算复矢量或者复矩阵的相角（以弧度为单位），相角介于-之间。convc=conv(a,b) 对序列a,b进行卷积运算。filtery=filter(b,a,x)计算输入信号x的滤波器输出，向量a,b分别是所采用的滤波器的分子系数向量和滤波器的分母向量。y,zf=filter(b,a,x,zi) 参数zi指定滤波器的初始条

33、件，其大小为zi=max(length(a),length(b)-1y=filter(b,a,x,zi,dim) dim指定滤波器的维数。zi或表示空集。5. impzh，t=impz(b,a)返回参数h是冲击相应的数值；返回t是冲击相应的抽样时间间隔。h，t=impz(b,a，N) N用来制定冲激信号长度。如果N是一个整数向量，只返回N元素所对应时刻的抽样数值的冲击结果。N为，表示不制定冲激信号的长度，其长度与滤波器结构保持一致。h，t=impz(b,a,N,fs)Fs用来指定冲击信号的抽样频率，默认值是。三、 信号变换常用变换函数cztChirp z变换dct离散余弦变换dftmtx离散傅

34、里叶变换fft一维快速傅里叶变换fft2二维快速傅里叶变换fftshift重新排列fft输出HilbertHilbert变换idct离散余弦反变换ifft一维快速傅里叶反变换ifft2二维快速傅里叶反变换 fftY=fft(X)若X是向量，则采用傅里叶变换求解X离散傅里叶变换；若X是矩阵，则计算该矩阵每一列的离散傅里叶变换。Y=fft(X,N)N是进行离散傅里叶变换的X的数据长度，可以通过对X进行补或截取来实现。Y=fft(X,dim)在参数dim指定的维上进行傅里叶变换。X是矩阵时，dim用来指变换的实施方向：dim，表明变换按列进行；dim，表明变换按行进行。第 5 节 方程求解一、 求解

35、单个变量的代数方程：利用 solve函数1.没有号的表达式，用solve将其置成等于0。 solve( a*x2+b*x+c ) % solve for the roots of the quadratic equtionans=1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)1/2)注：方程有2个解。2.对其他非缺省变量求解，在 solve 中指定出该变量。 solve( a*x2+b*x+c ， b ) % solve for bans=-(a*x2+c)/x3.对带有等号的方程求解。 f=solve( cos(x)=sin(x) ) % solve

36、 for xf=1/4*pi t=solve( tan(2*x)=sin(x) )t = 0 pi atan(1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(-1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)+pi -atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)-pi二、 单个常微分方程求解：利用 dsovle函数dsovle 函数的句法：用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示二阶、三阶微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因

37、变量。方程=0用符号表达式D2y=0来表示。独立变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。例1，求一阶方程dy/dx=1+y2的解，其通解为： dsolve( Dy=1+y2 ) % find the general solutionans=tan(t+C1) C1是积分常数给定初值y(0)=1的方程的解： dsolve(Dy=1+y2 , y(0)=1 ) % add an initial conditiony=tan(t+1/4*pi)指定独立变量： dsolve( Dy=1+y2 , y(0)=1 , v ) % find solution to dy/dvans=tan(v+1/4*

38、pi)例2：求二阶微分方程的解，方程有两个初始条件： =cos(2x)-y (0)=0 y(0)=1 y=dsolve(D2y=cos(2*x)-y , Dy(0)=0 , y(0)=1 ,x)y=(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x)*cos(x)+(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x)*sin(x)+4/3*cos(x) y=simple(y) % y looks like it can be simplifiedy=-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)例3：求解下列形式的微分方程-y=0通解为： y=dsolve( D2y-2*Dy-3*y=0 ,x)y

39、=C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到： y=dsolve( D2y-2*Dy-3*y=0 ,y(0)=0,y(1)=1,x)y=1/(exp(-1)-exp(3)*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3)*exp(3*x) y=simple(y) % this looks like a candidate for simplificationy=(exp(-x)-exp(3*x)/(exp(-1)-exp(3) pretty(y) % pretty it up exp(-x)-exp(3 x)- - exp(3) -exp(-1

40、)小结下列各表综合了符号数学工具箱的特性： 符号表达式的运算eval符号到数值的转换Pretty显示悦目的符号输出Subs替代子表达式Sym建立符号矩阵或表达式Symadd符号加法Symdiv符号除法Symmul符号乘法Symop符号运算Sympow符号表达式的幂运算Symrat有理近似Symsub符号减法Symvar求符号变量符号表达式的简化Collect合并同类项Expand展开Factor因式Simple求解最简形式Simplify简化symsum 和级数符号多项式Charpoly特征多项式Horner嵌套多项式表示Numden分子或分母的提取poly2sym多项式向量到符号的转换sym2poly符号到多项式向量的转换符号微积分Diff微分Int积分Jordan约当标准形Taylor泰勒级数展开符号可变精度算术Digits设置可变精度Vpa可变精度计算求解符号方程Compose函数的复合Dsolve微分方程的求解Finverse函数逆Linsolve齐次线性方程组的求解Solve代数方程的求解符号线性代数Charploy特征多项式Determ矩阵行列式的值Eigensys特征值和特征向量Inverse矩阵逆Jordan约当标准形Linsolve齐次线性方程组的解Transpose矩阵的转置离散信号的表