北京市高考数学联考试题分类大汇编立体几何试题解析

1、北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编、选择题:(3)(北京市东城区2012年1月高三考试文科) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何3(B)63(D)18a体的体积为3(A)23(C)12【解析】该几何体为底面是直角边为高为a的直三棱柱，其体积为 1 a2【答,案】C(北京市东境区Ml：年1月高三考试文科)下列命题中正确的是(A)如果两条直线都平行于闾一个平面，那么这两条直桀互相平行(B) 13条直线有且只有一个平面与已知平面垂直(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线.那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面1答案】D【解析】(A)平行

2、于同一平面的两条直送相交、平行或异面.故错；(B)当直线垂直于已知平面时，过该直线的无数个平面与已知平面都垂直.故错;g该直线可能在平面内，故借三改选07.(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()(A) 8(B)(C) 4(D)【答案】D【解析】将三视图还原直观图，可知是高为2的四棱锥个底面为正方形(其对角线长为2),其体积为1114VS正方形ABCD2二二2 2 233 23二、埴谈10（2012年3月北京市朝防区高三已知某几何年的三视图如图所示，则该几何（G（201Z年4月北京市海淙区高三一蝌科）在正方悻如CD-中I若点Fa ； 下列命题

3、正确的是A m/ ,n / 且 / ，则 m/ n5. tlb京市西城区3012年4月高三第一次模拟文）已知正六棱柱的底面这 长和侧陵长均为2tm,其三视图中的厢视图如图所示,则其左视图的面积是（A）（异于点上）是接上一点，则满足2F与月C'所成的角为4乎的点产S. （2012年3月北京市朝阳区高三模文科）关于两条不同的直线叼与两个不同的平面,则 m/ n，则m n,则 m/nCD) 4 cm24.（加12年寺月北京市丰台区高三一K文科）若某空间L几何陞的三视图如图所示，则凄几何 体的体积是224A.） 20-2jtB） 2D Tt （C） 40 力 D） A 0 力【答案】B,n,n

4、 /D.m /,nB.mm的个数为(D> 6【答案】B【答案】C体的体积为.- 2442 2 在1 /1 T正视图侧视图2 2 -4*1*俯视图C14) d晾市东城区2012年4月高考一科)如图,M在上，正方形以" 为轴逆时针怎的位置，同时点肝沿着她从点运动到点。,在边长为3的正方形1整中p点F转8角S( <-)S ABD*n>7廊=毫，点。在 t /f/M斯上，在运动过程中点Q始终满足口上的射影为乌，则在运动过程L的正切的最大值为此12(9)(北京市东城区2012年4月高考一模戈:四棱锥的体积是.4310. (2012年4月北京市房山区高一 模理科三视图如图所示，

5、则这个几何体的体积为一阿卜二记煮。在面r/yF向量与3四夹角a;Oo，c:科)已知.一个四棱锥的三视图如图所示，则该I7X IZ h 2 H2 H三 一个几何体的 2/F耶3 / L J1 | 41*- T* |正在例图1BK左 1 观国I.J1J三、解答题:（17）（北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共14分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA 平面ABCD , E是PC中点，F为线段AC上一点.（I）求证：BD EF ；（n）试确定点F在线段AC上的位置，使EF 平面PBD ,并说明理由【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生

6、的空间想象能力。证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线 ， 一.面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）b /勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别C体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某些点的具体位菖，使得线面满足垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法: 一是先假设存在，再去推理，下结逾；二是运用推理证明计算得出结诒，或先利用条件特例 得出论，然后再根据条件给出证明或叶尊.本题第二间主要采用假谀存在点，然后确定线 面平行的性质进行求解.证

7、明（I）因为PA 平面 ABCD ，所以PA BD .又四边形ABCD是正方形,所以 AC BD , PA AC A,所以BD 平面PAC ,又EF 平面PAC , 所以BD EF .A(II)：设EC与刀口交于0,当斤为OC中点F3即乂尸= 时，EF犷平面PBD.4理由如下二连揍尸O,因为即平面p宣。.且且二平面融c,平面融cn平面?再白=90,因为C。二平面尸8,平面平面产惚=幽.(II)证明：因为上1八平面9C。，3八血，所以以d为坐标庾点，月d产所在的直线分别为工轴、尸轴、£轴建立空间直角坐标亮则£(4,0,0), 冲0冉,口0.2叵4 仃(工2症,0)所以RF U

8、 PO.所以N为OC中点.在bFOC中R F分别为产C, 90的中点PBD.14分(16)(2012年4月北京市海淀区高三一模理科)(本小题满分14分)在四锥 P- ABCD 中，AB CD,AB A AD , AB= 4, AD = 2厄 CD = 2 ,P(m)设点Q为线段所以CD辘在PDC中,£为FC的中点,所以即fj PO又£F u平面PBD s FO二平面PBD1CD/ m ;PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角正库F所以ea平面r超.PAA 平面 ABCD , PA= 4.(I)设平面 PAB I平面PCD m ,求证:(n)求证：BD 平面PAC ;的正弦

9、值为由，求PQ的值. 3 PB(16)(本小题满分14分)I)证明：因为上月CD, CD也平面F四，仁平面DCB5分uuuruuur所以所以=l（其中0#N 1）,直线0c与平面R4c所成角为夕uuu APuuuBD所以 因为PA所以所以11分<m>解；设经PB所以FQ= ZPE所以(xryrz- 4)=机4,04)工4见了二。，即 Q(4%04 月+ 4).2 - - 4W+ 4,所以 丽=(AA- 2-2yj2r- 4A+ 4)uuur.由（n）知平面 PAC的一个法向量为 BD （ 4,2",0）.因为所以2米.忒4几-2y +8+ (Y兄+中”解得所以见二一匕0,

10、 12PQ_ 712分14分PB 1217. （2012年3月北京市朝阳区高三一模文科 ）（本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ABD = 90 , EB 平面ABCD.，EF/AB , AB= 2 , EF =1 , BC =石3 ,（I ）求证：EM/平面ADF ;(n)在 EB上是否存在一点 P,使得 CPD最大? 若存在，请求出 CPD的正切值；若不存在， 请说明理由.(17)(本小题满分13分)(I)证明：取儿D的中点连接曲酒,在ADA?中，M是配的中照，M是的中点,故Elvi/J平面ADF.6分(n)解：假设在 EB上存在一点P,使得 CPD最大.因

11、为EB 平面ABD,所以EB CD .又因为CD BD ,所以CD 平面EBD. 8分CD在 Rt CPD 中，tan CPD = CD .因为CD为定值，且NCFD为镜角，叫要使NCPD最大？只要以最小即可.显然当小，踮时 W最小，因为他，所以当点尹在点3处时，使得/C阳最大,一一11分S 2易得 taiNCP口二士一一32所以/6D的正切值为1_ 13分17.(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)(本小题满分14分)如图，矩形 ABCD中，AB 3, BC 4. E, F分别在线段BC和AD上，EF /AB ,将矩形 ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面 MNEF

12、 平面ECDF .(I)求证：NC /平面MFD ;(n)若 EC 3,求证：ND FC ；(出)求四面体 NFEC体积的最大值.Vi/KPx 小 ；二"" -一1K nT一_X _ -Jfl丁BL:c所以 Vnfec 2x (2 x)2 2. 13分当且仅当x 4 x,即x 2时，四面体NFEC的体积最大. 14分(17)(北京市东城区2012年4月高考一模理科)(本小题共13分)如图L在边长为3的正三角形超C中，E, F，尸分别为KB. AC, 3仃上的 点，且满足四=E7=CF=1 ,将 沿比7折起到曲股1的位置，使二面角 4应93成亘二面角，隹结43. A尸.(如图

13、21< I >求证:4£_L平面8£尸5(II)求直签用m与平面尸所成角的大小.5分图1(17)(共 13 分)图2图1(I)证明：取BE中点D ,连结DF .因为 AE CF 1, DE 1,所以AF AD 2,而 A 60°,即 ADF是正三角形.又因为AE ED 1,所以EF AD .工2分所以在图2中有AE EF , BE EF 3分所以 AEB为二面角A1 EF B的平面角.又二面角A1 EF B为直二面角,所以A1E BE .又因为BEI EF E,所以AiE，平面BEF ,即AiE，平面BEP.6分（n）解：由（i）可知AiE，平面BEP

14、, BE EF ,如图，以E为原点，建立空间直角坐标系E xyz ,则 E(0 ,0,0)2(0,0,1),B(2 ,0,0)F(0, 3,0).在图1中,CF因为FA连结CPPBDP.15所以PF /所以四边形所以EF /1 BE,且 PF -BE2EFPD为平行四边形DP ,且 EF DP .DE.4图2故点P的坐标为（1, B 0).uuuu所以A1Buuu(2,0, 1)，BP(1,73,0),不妨一设平面ABP的法向量n(x, y,z),则uuunEA1(0,0,1).uuuuA1B n 0, uur BP n 0.2x 即x0,n (3 13,6).10分uuur 所以 cos n

15、, EAuuuu EA1 uuuur| n | EAi |61 4.323212分故直线AiE与平面AiBP所成角的大小为13分（17）（北京市东城区2012年4月高考一模文科）（本小题共14分）.如图1,在边长为3的正三角形 ABC中，E, F, P分别为AB, AC, BC上的点，且满足AE FC CP 1.将AEF沿EF折起到 AEF的位置，使平面 AEF平面EFB,连结A1B, AP.（如图2)（I）若Q为AB中点，求证：PQ/平面AEF ;(n)求证：A1E EP.图1所以AE，平面BEF.12分(17)(共 14 分) 证明：(I)取A1E.中点M ,连结QM ,MF .在 ABE

16、中，Q,M分别为AB, AE的中1所以 QM / BE ,且 QM 1BE .2CF CP 1因为 -,FA PB 2 一 1所以 PF / BE,且 PF -BE ,2所以 QM / PF ,且 QM PF .所以四边形PQMF为平行四边形.所以 PQ / FM .又因为FM 平面AEF ,且PQ 平面AEF ,7分所以PQ /平面AEF .(n) 取BE中点D ,连结DF .因为 AE CF 1, DE 1,所以AF AD 2 ,而 A 60°,即 ADF是正三角形.又因为AE ED 1,所以EF AD.所以在图2中有A1E EF . 9分因为平面 A1EF 平面EFB,平面AE

17、F I平面EFB EF ,又EP 平面BEF所以 AiE，EP.14分17. （2012年3月北京市丰台区高三一模文科）（本小题共14分）如图，四棱锥 P-ABCDh 底面 ABC虚菱形，PA=PD / BAa60o, E是AD的中点，点 Q 在侧棱PC上.（I ）求证：ADL平面PBE（n）若Q是PC的中点，求证：PA /平面BDQCP 一（出）右 Vp-BCDE =2 Vj - ABCD ,试求的值.CQ17.证明：（I）因为 E是AD的中点， PA=PD> 所 以AD ±PE 1分因为底面ABC奥菱形，/ BAD60。, 所以 AB=BD又因为E是AD的中点， 所以ADL

18、 BE因为 PEA BE=E,所以ADL平面PBE （n ）连接 AC交BD于点O,连结OQ 因为O是AC中点，Q是PC的中点,5分所以OQ为PAC中位线.OQ/血7分因 为 El S 平 面 3DQ ,。匚 平.g分所以而平5DQ,9 分（HI）设四棱锥产小8耳0*58的高分别为瓦，M）工3工=；55MH%所 以- 曷石。口 的 因为3S5 HE* 54空，4所, i & * * m i n n B 一2/5E=二：2 一应口 , 且 底 面面面3积以13分因为h1 CPh2CQ，所以CP 8CQ14分17.(2012年4月北京市房山区高三,一模理科(本小题共14分)在直三棱柱ABC A1B1cl中，BC CC1 AB =2 , AB BC.点M,N分别是CC1 , B1C的中点，G是AB上的动点.(I)求证：B1C 平面BNG ;(II)若CG平面AB1M，试确定G点的位置，并 给出证明；(III)求二面角M ABi B的余弦值.17.(本小题共14分)CCi,点N是BiC的中点,(I) 证明：:在直二棱柱ABC A1B1cl 中，BCBN B1c 1 分AB B