(完整版)初中数学动点问题专题复习及答案

1、初中数学动点问题练习题1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在 ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点 M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与 ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运 动的时间为t秒.1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQp的面积为S,运动的时间为t,求四边形MNQP的面C积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围.QPAM NB2、如图，在梯形 ABCD中，AD

2、/ BC, AD 3, DC 5, AB 4&，/ B 45 动点 M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动.设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN / AB时，求t的值.试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.3、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是梯形，OA/ BC,点A的坐标为（6, 0）,点B 的坐标为（4, 3）,点C在y轴的正半轴上.动点 M在OA上运动，从。点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到

3、达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）.（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN/OC?（2）设4CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式, 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC,那么是否存在这样的 t,使MN与AC互相垂直? 若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 RtABC中，/ C= 90° , AC= 12, BC= 16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点 Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个 单位长的速度运动.巳Q分别从点A, C同时出发，当其中

4、一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中， PCQ关于直线PQ对称的图形是 PDQ.设运动时间为t (秒).(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式；(2) t为何值时，四边形 PQBA是梯形？(3)是否存在时刻t,使得PD/AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t,使得PD± AB?若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内( 0<t<1; 1<t<2; 2<t<3; 3vtW4);若不存在，请简 要说明理由.5、(山东济宁)如图， A、B分别为x轴和y轴正半轴上

5、的点。OA、OB的长分别是方程 x2- 14x+48= 0的两根(OA>OB),直线BC平分/ ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1 个单位的速度从 B点开始沿BC方向移动。设 APB和OPB的面积分别为 S、求S1 ： S2的值；(2)求直线BC的解析式；设PA PO=m, P点的移动时间为to当0v tw 4痣时，试求出m的取值范围；当t> 4痣时，你认为 m的取值范围如何(只要求写出结论)？6、在 ABC 中， C Rt , AC 4cm, BC 5cm,点 D在 BC上，且以 CD =3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点 P以1cm/s的

6、速度，沿AC向终点C移 动；点Q以1.25cm/s的速度沿 BC向终点C移动。过点P作PEE/ BC交AD于点E,连结EQ。 设动点运动时间为 x秒。(1)用含x的代数式表示 AE、DE的长度;(2)当点Q在BD (不包括点 B、D)上移动时,2、设EDQ的面积为y(cm)，求y与月份x14的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;(3)当x为何值时，EDQ为直角三角形。同时从点B7 (杭州)在直角梯形ABCD中，C 90 ,高8 6cm (如图1)。动点P,Q 出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到

7、达点Co设P，Q同时从点B出发，经过2的时间为t s时，BPQ的面积为y cm (如图2)。分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。(1)分别求出梯形中 BA，AD的长度；(2)写出图3中M, N两点的坐标；(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值 范围)，并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。/ABO 30°.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒百个单位的速度运动，设运动 时间为t秒.在x轴上取两点M , N作等边ZXPMN .(1)求直线AB的解析式；(

8、2)求等边4PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当等边 4PMN的顶点M运动 到与原点0重合时t的值；(3)如果取0B的中点D ,以0D为边在RtzXAOB内部作如图2所示的矩形ODCE , 点C在线段AB上.设等边4PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为 S,请求出当 0< t< 2秒日S与t的函数关系式，并求出 S的最大值.9、两块完全相同的直角三角板 ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC DF在一条直线上，其中 AC=DF=4, BC=EF=3.固定 RtAABC不动，让 RtADEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止.设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的

9、面积为y.,A(1)(2)(3)B1如图2,求当x=2时，y的值是多少?如图3,当点E移动到AB上时，求x、y的值; 求y与x之间的函数关系式；10、(重庆课改卷)如图中线CD把这张纸片剪成1所示，一张三角形纸片 ABC, / ACB=90:AC=8,BC=&由斜边AB的AC1D1和Bc2D2两个三角形(如图2所示).将纸片AC1D1沿直线D2B (AB)方向平移(点 AD1，D2，B始终在同一直线上)，当点D1于点b重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P(1)当 AGD1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数

10、量关系，并证明 你的猜想；(2)设平移距离D2D1为x, AC1D1与Bc2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数 关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于(2)中的结论是否存在这样的 x的值；使得重叠部分的面积等于原ABC面积工的4 ?若不存在，请说明理由图11.梯形 ABCD 中，AD/BC, / B=90 °, AD=24cm, AB=8cm, BC=26cm,图ife P 从点 A 开始， 沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的 速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运

11、动时间为t秒，问:(1) t为何值时，四边形PQCD是平行四边形?(2)在某个时刻，四边形(3) t为何值时，四边形(4) t为何值时，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么?PQCD是直角梯形？PQCD是等腰梯形？2 .如右图，在矩形 ABCD中，AB=20cm, BC=4cm,点P从A开始沿折线 A- BC D以4cm/s的速度运动，点 Q从C 开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点 P、Q分别从A、C同时 出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s), t为何值时，四边形 APQD也为矩形？3 .如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB / DC , AD BC 5c

12、m,AB=12 cm,CD=6cm，点 P 从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点 P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时 间为t秒。3(1)求证：当t=2时，四边形APQD是平行四边形；(2) PQ是否可能平分对角线 BD?若能，求出当t为何值时PQ平分BD;若不能，请说明 理由；(3)若4DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。D Q CAB4.如图所示，ABC中，点。是AC边上的一个动点，P过O作直线MN/BC，设MN交 BCA的平分线于点E,交 BCA的外角平分线于F。(1)求让：EO FO;(2

13、)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。AE(3)若AC边上存在点。，使四边形AECF是正方形，且能=-2,求 B的大小。AD5.如图，矩形 ABCD中，AB=8,BC=4将矩形沿 AC折叠，点 D 落在点D'处，求重叠部分AFC的面积.6.如图所示，有四个动点 P、Q、E、F分别从正方形CD、DA以同样的速度向 B、C D、A各点移动。(1)试判断四边形 PQEF是正方形并证明。(2) PE是否总过某一定点，并说明理由。(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？ABCD的四个顶点出发，沿着 AB、BC7.已知在梯形 ABCD中，AD/ BC

14、, AB = DC,对角线 AC和BD相交于点 O, E是BC边上一个 动点(E点不与B、C两点重合)，EF/ BD交AC于点F, EG/ AC交BD于点G.求证：四边形 EFOG的周长等于2 OB;请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD/ BC, AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形 EFOG的周长等于2 OB” 仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、 求证、不必证明.如图，直角梯形 ABCD 中，AD/ BC, Z ABC= 90°,已知AD=AB=3, BC= 4,动点P从B点出发，沿线段 BC向点C作匀速运动；动点 Q从点 D出发，沿线段

15、DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点 N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒 1个单位长度.当 Q点运动到A点，P、Q两点同时 停止运动.设点 Q运动的时间为t秒.求NC, MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形 PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻， 使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由;(4)探究：t为何值时， PMC为等腰三角形?(1) NC=t+1, PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|(2)若t时刻满足条件，则满足矩形 ABNQ面积=3X(3-t)=1/2*(3+4

16、)*3/2=21/4,则t=34 此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2 ,而梯形总周长为10+10A0.5 ,不满足条件。 故不存在这样(1)NC=t+1 , PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|(2)若t时刻满足条件，则满足矩形 ABNQ面积=3X(3-t)=1/2*(3+4)*3/2=21/4 ,则 t=5/4止匕时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2,而梯形总周长为10+10A0.5 ,不满足条件。故不 存在这样的t O to9、(山东青岛课改卷 )如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点 A 与点 E重合)，已知 AC= 8cm, BC

17、= 6cm, / C= 90° , EG= 4cm, / EG已 90° , O 是 EFG斜边上的中点.如图，若整个 EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线 AB方向平移，在 EFG平 移的同时，点P从 EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运动，当点 P到达点F时，点P停止运动, EFG也随之停止平移.设运动时间为 x (s), FG的延长线 交AC于H,四边形OAHP的面积为y (cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).(1)当x为何值时，OP/ AC ?(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.(3)是否存在某一时刻，

18、使四边形OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24?若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由.4后.G*5 4一图.用耳Q 一(参考数据：1142 = 12996, 1152 = 13225, 1162 = 13456 或 4.42 =19.36, 4.52 =20.25, 4.62 =21.16)10、已知：如图， ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AR BC方向匀速移 动，它们的速度都是 1cm/s,当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动.设点 P的运动时间为t (s),解答下列问题：(1)当t为何值时， PBQ是直角三角形？（2）设四边形 AP

19、QC的面积为y （cm2）,求y与t的关系式；是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是 ABC面积的三分之二？如果存在, 求出相应的t值；不存在，说明理由；（2005?宁德）如图，已知直角梯形 ABCD中，AD/BC, DB=90° , AB=12cm, BC=8cm, DC=13cm,动点P沿A- D-C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿Bf C线路以1cm/ 秒的速度向C运动.P、Q两点分别从 A、B同时出发，当其中一点到达 C点时，另一点也随之停止.设运动时间为 t秒，4PQB的面积为ym2.（1）求AD的长及t的取值范围；（2）当1.5<t<t0 （t0

20、为（1）中t的最大值）时，求 y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：在动点 P、Q的运动过程中， PQB的面积随着t的变化而变化的规律.（1）在梯形 ABCD中，AD/BC、DB=90°过D作DEL BC于E点，如图所示.AB/DE .四边形 ABED为矩形，. DE=AB=12cm在 RtDEC中，DE=12cm, DC=13cmEC=5cm1 . AD=BE=BC-=EC=3cm（2 分）点P从出发到点C共需=8 （秒），点Q从出发到点C共需=8秒（3分），又t>0,2 .0<t<8 （4 分）；（2）当t=1.5 （秒）时，AP=3,即P运动到D点（5分）.

21、当1.5WtW8时，点P在DC边上3 .PC=16-2t过点P作PMLBC于M,如图所示4 .PM / DE=即=.PM= （16-2t） （7 分）又 BQ=t5 .y=BQ?PM=t?（16-2t）=-t2+t （3 分），（3）当0WtW1.5时， PQB的面积随着t的增大而增大；当1.5<tW4时， PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；当4<tW8时，4PQB的面积随着t的增大而减小.（12分）注：上述不等式中，“1.5<tW4"、“4<tW8”写成“ 1.5WtW4"、“4WtW8”也得分.若学生答：当点 P在AD上运动时， PQB的面

22、积先随着t的增大而增大，当点 P在DC 上运动时， PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小.给（2分）若学生答： PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）答案1.解:作 CH 垂直 AB 于 H,则 AH=AB/2=2,CH= «AC 2-AH 2)=2 a3.当MN在移动过程中，点M与N在CH两侧,MH=NH时，根据对称性可知，四边形MNQP为矩 形.MH=NH=MN/2=0.5,AM=AH-MH=2-0.5=1.5, 即 t=1.5 时,四边形 MNQP 为矩形.PM ±AB,CH LAB,则 PM / CH,APM sACH,PM/CH=

23、AM/AH.即 PM/(2 a3)=1.5/2,PM=3 /2.四边形 MNQP 的面积为:PM*MN=(3 收/2)*1=(3 a3)/2.(2) 当 044 时,PM/CH=AM/AH,PM/(2 ©)=t/2,PM= v3t;QN/CH=AN/AH,QN/(2 3)=(t+1)/2,QN= 3t+ a3.S=(PM+QN)*MN/2=(2 3t+ a3)*1/2= v3t+v3/2. 当 1<t<2 时，同理可求：PM= 3t,QN=3 a3-v3t.S=(PM+QN)*MN/2=(3 *1/2=(3 v3)/2. 当 2 43 时，同理可求：PM=4 v3-A3t

24、,QN=3 "-v3t.S=(PM+QN)*MN/2=(7 a3-2郎*1/2=(7 v3)/2-v3t.2.(1)BC=4+3+3=10(2)CM=10-2Tsin / C=4/5,由于MNABsin / MNC=sin(180- / C-/ NMC) =sin( / C+/ NMC) =sin / Ccos / NMC+sin / NMCcos / C =(4/5)(赅/2)+(收/2)(3/5) =7 也/10再由正弦CN/sin / NMC=CM/sin / MNC T/(赅/2)=(10-2T)/(7 010) T=70/19 MNC 为 等 腰 三 角 形i ./C= /

25、 NMC此时，sin / MNC=sin(2 / C)=2sin / Ccos / C=24/25CN=T cos / C=3/5 / NMC=45有 三 种 情 况 ：Z MNC=180-2 ZCCM/sin / MNC=CN/sin / C(10-2T)/(24/25)=T/(4/5)T=25/7ii ./C=/MNC同(10-2T)/(4/5)=T/(24/25)T=60/17iii . / MNC= / NMCCM=CN此10-2T=TT=10/33.求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解.过 B 作 BDXOA 于 D,那么 AD=3, BD=4,根据勾股定理即可求出 AB的长.

26、 如果MN/OC,那么AMNsABD,可的关于 AN, AB, AM, AD的比例关系，其中 AN=t, AM=6-t, AD=3, AB=5,由此可求出t的值. (2)由于 三角形CMN的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的和，差”关系来求.4CMN的面积二梯形AOCB的面积-AOCM的面积-4AMN的面积- CBN的面积. 可据此来得出 S, t的函数关系式.然后根据函数的性质即可得出S的最小值.(3)易得NMEsACO,利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值.解：(1)过点B作BD± OA于点D,则四边形 CODB是矩形，BD=CO=4, OD=CB

27、=3, DA=3. 在 RtABD 中，AB=32+42=5. 当 MN / OC 时，MN / BD,AAMNAADB, AN/AB=AM/AD.AN=OM=t, AM=6-t , AD=3, ，t5=6-t3 , 即 t=154 (秒).(2)过点N作NE±x轴于点 E,交CB的延长线于点 F, / NE/ BD, . AENM ADB, EN/DB=AN/AB , 即 EN4=t5 , EN=45t .EF=CO=4,FN=4-45t ./ S=S 梯形OABC-SCOM-SA MNA-SACBN, ，S=12CQ OA+CB)-12CO?OM-12AM?EN-12CB?FNI

28、, =12X 4X(6+3)-12 X4t-12(>6-t) X45t-12 X 3豕45t).即 S=25t2-165t+12 (0<t5 由 S=25t2-165t+12 , 得S=25 (t-4) 2+285. .当t=4时，S有最小值，且 S最小=285. ( 3)设存在点 P使MNLAC 于点 P 由(2)得 AE=35t NE=45t . ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t ,Z MPA=90° ,Z PMA+ ZPAM=90°,1 Z PAM+ZOCA=9O°,. . / PMA=/OCA ,.NMEAACO .NE: OA=M

29、E: OC . 45t6=6-85t4 解得 t=4516 .存在这样的 t,且 t=4516 .4.(1)PC=12-3tCQ=4t0<=t<=40<=t<=4SA PCQ=PC*CQ2=2t(12-3t)=24t-6t2SPCQD=48t-12t2(2)PQ/AB CP:CA=CQ:CB 即(12-3t) :4t=3:4 t=2<3>存在，t=12/11设在时刻t, PD/AB,延长QD交AB于E,过P作PF± AB （如图1,下面只给出计算，证明过程略）.APFAABC PF/AP=BC/AB=1620=4/5PF=AP*45=3t*4/5=

30、2.4t PDQAPCQ,DEFP为矩形QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t.QBBAABCQE/QB=AC/AB即6.4t/(16-4t)=W5t=12/11 <4> 存 在 ，t=36/13,2 V t <3。设在时刻t, PD± AB,延长PD交AB于F,过Q作QE± AB (如图2,下面只给出计算，证明过 同程略)o<1>PF=2.4t.QBEAABCQE/QB=AC/AB即QE=QB*AC/AB=(16-4t)*3/5 PDQAPCQDFEP为矩形PD=PC=(12-3t)DF=QE=(16-4t)*3/5PF=PD+DF=PC+QE=(12-3t)+(16-4t)*3/5=2.4tt=36/13。1) PC=12-3t CQ=4tS；A PCQ=PC*CQ2=2t(12-3t)=24t-6t2 0<=t<=4SPCQD=48t-12t20<=t<=4(2)PQ/AB CP:CA=CQ:CB