教师版：2009年高考试题解析数学(文科)学科新课标分项版之专题九--立体几何(共28页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高考必备2009年高考解析数学(文科）分项版之专题九立体几何教师版【考查要点】高考考纲要求 1掌握直线与平面的位置关系。2掌握空间的角和距离的计算。3了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、正棱锥的性质，及球的表面积、体积公式。4画图、读图、想图的要求。 59（A）还包括，会用反证法证明简单的问题6能力要求：以空间想象能力为基础，运用 思维能力、运算能力等，对具体的空间图形进行位置关系的判断、证明和计算 高考分值：一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.考查重点 仍然是直线与平面的位置关系判定

2、、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。 考查方式(1)大题以考查直线与平面的位置关系的证明，角度与距离计算为主。大题通常以多面体为载体，如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，04年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载体；有时出现不规则几何体，或改变常用几何体的放置方式，这些变化提高了空间想象的要求。(2)小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，角度、距离的计算（用于覆盖大题未考查到的内容），球的

3、问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它知识综合的问题（如排列组合等），考查难度 立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。【名师解题指南】1有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律充分利

4、用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力2 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义证明两平面没有公共点； （2）判定定理证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。3两个平面平行的主要性质： 由定义知：“两平行平面没有公共点”。 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 经过平面

5、外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质、在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角(0，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角0，对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平

6、面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq ；(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l

7、的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq；(4) 设A为平面a外任一点，ABa，垂足为B，ACb，垂足为C，则BACq或BACpq；(5) 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S¢，则cosq.5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离求距离的一般方法和步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离6棱柱的概念和性质理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这

8、部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六

9、面体的问题是一常用的解题方法。多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与直线、平面、简单几何体第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点 经纬度及球面距离根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1

10、交NAS于A，那么则应有：AO1P=120°(二面角的平面角) ，POB=40°（线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。线段AP的长 AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长球的表面积及体积公式S球表=4R2 V球=R3球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且

11、所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球S球面·R·4R2·RR3.球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。【09真题全解全析】考点1：证明空间线面平行与垂直1山东文9. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件w

12、.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2广东文6.给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.4浙江（文）4设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 体几何中的基本元素关系5江苏12.设和

13、为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）6、北京文16（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上（）求证：平面 （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.（）当且E为PB的中点时，设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角，即AE与平面PDB所成的角的大小为.8

14、、四川文（19）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,AEF=45°.m（）求证：EF平面BCE；（）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM平面BCE；（）求二面角F-BD-A的大小.解法一：（）因为平面所以因为为等腰直角三角形，,所以即因为, ,所以D（1，0，0），E（0，0，1），C（1，1，0）因为FA=FE，AEF=,所以AEF=.从而，F（0，）.所以EFBE，EFBC.因为BE平面BCE，BC平面BCE，BCBE=B，所以EF平面BCE.4分（）M（0，0，）.P（1

15、, ,0）.从而=（，）.于是【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.10、浙江（文）19（本题满分14分）如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值11、湖北文18（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(0<1). ()求证：对任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想

16、象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） （）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。考点2：求空间图形中的角与距离1全国1文（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为C(A) (B

17、) (C) (D) 解析：连接，设在底面上的射影为的中点，设，则 ，在3全国2文5已知正四棱柱中，E为中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为（A） (B) (C) (D) 4北京文7若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为 ( )Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m B1CD5重庆文（9）在正四棱柱 中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（A）若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）（B）若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（C）若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为（D）若侧棱的长大于底面的边长，则的取

18、值范围为6四川文6如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（A）PBAD （B）平面PAB平面PBC（C）直线BC平面PAE（D）直线PD与平面ABC所成角为4507四川文（15）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，侧异面直线所成的角的大小是 .8上海文5如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）9、全国1文(19)(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方

19、法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。10、全国2文19本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，D、E分别为AA1、BC1的中点平面（）证明：AB=AC（）设二面角A-BD-C为600，求与平面BCD所成角的大小11、重庆文18、（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，BAD=，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边行，FA平面ABCD，FC=3，ED=，求；（）直线AB到平面EFCD的距离 （）二面角F-AD-E的平面角的正切值。12、安徽文（20）本小题满分13分如图，ABCD的

20、边长为2的正方形，直线与平面ABCD平行，E和F式上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC, 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（1）证明：直线垂直且平分线段AD：ABCDEF第20题图（2）若EAD=EAB,EF2,求多面体ABCDEF的体积。13、广东文17.（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG14、江西文20（本小题满分12分）如图，

21、在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离15.（本小题满分12分）（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，16、福建文20（本小题满分12分）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面（I）求证：（）求三棱锥的侧面积。本小题主人考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。17、湖南文18（

22、本小题满分12分）如图, 在正三棱柱中, , , 点是的中点，点在上，且.() 证明：平面平面；() 求直线和平面所成角的正弦值. 图3解 （）如图所示，由正三棱柱的性质知 平面又平面，所以  而，所以 平面又平面，故平面平面 （） 解法1 过点作垂直于点，连结由（）知，平面平面，所以平面故是直线和平面所成的角因为平面，所以 而是边长为的正三角形，于是, 又因为，所以 ，即直线和平面所成角的正弦值为18、江苏文16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。求证：（1）EF平面AB

23、C；（2）平面平面.19、宁夏文（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 º（）证明：ABPC（）若，且平面平面，求三棱锥体积。解：（）因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,则,所以平面,所以。6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）作，垂足为，连结因为，所以，20、陕西文19(本小题满分12分) 如图，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.CBAC1B1A1()证明：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求二面角AB的大小。 （）考点3：球体与多面体的组合问题3山东文4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体

24、的体积为( ).A. B. C. D. 4湖北文6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于 A. B. C. D. 5福建文5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是6宁夏文（9） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （A） （B）（C）三棱锥的体积为定值 （D）8陕西文11若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为高.考.资.源.网 (B)(A) (B) (C) (D) 10上海文如图，已

25、知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（）11全国1文(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.12全国2文16设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 .13天津文12.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_14安徽文（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作AB

26、C和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。【09命题特点与10备考要点】09命题特点立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，(1)解答题的考查稳中求新，稳中求活.解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：证明“平行”和“垂直”，求多面体的体积，三种角的计算，有关距离的计算，多

27、面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等.但近几年来，也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题(2)依托知识，考查能力.由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力.(3)一题两法，支持新课程改革.立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何

28、方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革.10备考要点立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。1、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。2、 求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。3、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性