(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、No.31高中数学联赛模拟试卷1、已知0 a b,x Ja b bb, y bb bba,则x, y的大小关系是 .11 n2、设a b c , n N,且 恒成立，则 n的取大值为a b b c a c， _.,2 3、对于m 1的一切实数m ,使不等式2x 1 m（x 1）都成立的实数x的取值范围是sin cos4、已知 f x10gsin x, 0,一 ，设 a f , b f vsin cos22c f ,那么a、b、c的大小关系是 sin cos2000_5、不等式v4x 2 2V3 x 的解集是1999.x2 2x 2 .一 ,，6、函数 f x x 1的最小值为2x 2_.117

2、、若a,b,nR,且a bn,则1 一1 -的取小值是a b8、若 3x2 xy 3y2 20 ,贝U 8x2 23y2 的最大值是 .9、设 n N ,求|n 1949 | |n 19501 |n 2001 | 的最小值.1,，一八f-，则s的整数部分10,11,10、求 s 1 p l L11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯）12、设 a,b,c R ,求证:b2（第二届 友谊杯”国际数学竞赛题）乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案a1、解法 1 x a b Jb.y Jb b a.

3、a b . b0 a b, 、.a b . b . b , b a, x解法2abba, - 1, x y. y1y a b b . b b a解法3 -1 xa 2b.11解法6令f（t） 4dT7工.a b .b a,.a b , b a 2. b, x y.，f(t)调递减，而 b b a, f(b) f(b a),即 Va b Jb 抵h acac.而min abbca ca c2、解法1 原式 n.a bb ca b b c b c a ba b , b c a b 口4 ,且当，即 a c 2b b ca b b c时取等acacabbcmin4. n 4.故选 C .解法2 ab

4、 c, a b 0,b c 0,a c 0,已知不等式化为2a c2a b b c4,即min故由已知得n 4,0,b0, a c 0解法44,4,由题意,4.故选minc,0, b c已知不等式可变形为解法53、解法1题设等价于1 02x 1或x2 12x解法2已知不等式即等式恒成立，由题意,4.故选C .0, 0.于b c4,、r4- 比较得 a c1 02x 1或x2 10，所以1 x0x2 11时,4.故选2或3m 2x 102x 1或 x2 12x，令 f (m)f(m)是m的一次函数，因为2xx2 11,2).2x 1所以f(m)在 1,1上的图象恒在m轴的下方1时不f( 1) f

5、(1)又当2x 1 2x1 2x 11 时,f(m)2 x2 x适合题意,2x2x故x的取值范围是32.4、解法1设sincosq.1 时，f(m)1 x 2 (x 1).3不合题意.x是减函数,f 0,则.an an 1a an ananan 1a an $ an 1d(n2,n,d是公差）.由此,得s 1121,3_1_,106、3.32_ 12106 . 106.2 1又知s评析.106,3.1061998.、2,106 一 106 111,106 1106 v106 1.1061999.106106 11998 s 1999,1998 , 1，-6s显然是数列的刖10项的和,直接求和，

6、无法可依.能否用裂项相消法将每项拆成异号的两项之和呢？考虑到-n n 11 1 、，于是将变为再放大为这是一道用放缩法”求解不等式问题的好题目。但用放缩法”解题，必须把握好放缩的度”就以此题为例，若将11 213L -161021 .12-2 -2106,-106:0. 106 J06 12 10J106 V106 1 2000 ,就彳导 1998 s 2000 ,这样就没法确定s到底是1998还是1999 了.若做到这里，我们便应考虑到题中的1不作变形，问题就会得到解决.此题来源于高中代数下册（必修）P132第33题：用数学归纳法证明jn, n 1 .1992年全国高考 三南”试题：证明不等

7、式:1_2、. n, n N.这两个结论合起来就有, nJn 1 I3 L1二2、,n、.nN .此结论就是而 s2jn.11、解:将所有红数的和记为SH，所有蓝数白和记为SL,对任意两个a,b, c都有a+ c= b或2b (视b为红数还是蓝数而定)。将所有这些等式全部求和，从等式的左边看：每个数都被加了两次，所以总和为 2 ( 0 + Sl )；从等式的右边看：每个红数都被加了一次，每个蓝数都被加了两次，所以总和为SH + 2 Sl ,因此 Sh + 2 sL = 2 ( Sh + Sl ),故 Sh = 0。12、证明设 b c x, c a y, ac 1 x y zx,y,z 0 .2.2, 2.2aba bay bx, 0,xyx yxy x ya b c a b