X10小学数学六年级2单元上课实践示例：《长方体和正方体的认识》2案例解析4《长方体和正方体的认识》反思稿

1、引领儿童数学思维向纵深处前行长方体和正方体的认识一课的教学探寻江苏省南通师范学校第二附属小学 吴冬冬对长方体和正方体的认识一课的思考起始于2011年，到2013年参加全国第11届深化教学改革观摩交流前后一共跨越了三年。 这三年中， 我有幸得到了省、市、 区以及学校团队等众多专家的指导和帮助， 使得对这节课的教学研究不断深入、日渐完善。 下面我就结合这节课教学方式不断变更改进的过程，从以下三个方面谈谈自己的点滴思考和体会。一、以活动为途径将数学知识还原到“数学化”的过程数学知识在哪里， 数学的抽象、推理就在哪里， 数学知识和数学思维是水乳交融的， 数学知识是发展数学思维最主要的载体。因此， 我们

2、的数学课堂要把平淡无奇的数学知识还原到 “数学化” 的活动过程中， 引导学生充分经历 “数学化”的过程。片段一：在“切土豆”中认识“面、棱、顶点”认识“面、棱、顶点”时，一般的教学设计是直接介绍，简洁明了，不耗时耗力，为接下来的学习留下充足的时间。 但是， 我想生活中所见到的长方体都是人工制成的，大自然中基本找不到天然的长方体，那么， 观察体验由不规则的物体得到长方体的过程是有必要的，而“面、棱、顶点”的概念提出正是在长方体的形成过程中一个不断“数学化”的过程，经历并体验这个过程，概念的建立才更具现实意义。那么，现实生活中的哪些长方体是通过切割得到的呢？我们不觉地联想到“切土豆”师： （电脑演

3、示）先沿着竖直方向切一刀。来，动手试一试。这一摸你切出来的面，这是一个生：平面。师：说得好。 （电脑演示）把切出的平面朝下，还沿着竖直方向切一刀。开始。观察一下，现在有了什么新变化？生：多了一条边。师：在哪儿？指给大家看一看。师：你真善于发现！我们也来摸一摸这条边，想一想，它是怎么形成的？生：是切了两刀相交而成的。师：真会思考！像这样由两个面相交而成的边在数学上叫作什么呢？ （出示: 棱）师：（电脑演示）接下来，把前面还朝下，从另一个角度沿着竖直方向再切 一次，使它变成现在的样子。切了第三刀，又有了什么新发现？生：多了一个点。师：真有数学的眼光！我们也来指一指这个点，看 一看，它是由几条棱相交

4、而成的？像这样由三条棱相交而成的点在数学上叫作（出示：顶点）师：通过切土豆的活动，我们一起认识了面、棱和顶点（电脑演示）如果将这块土豆再这样切三次，就切成了一个？曾经有老师问：切土豆是一个早已为大家所熟知的桥段了， 为什么你还选择 这样的设计呢？我想：无论方法是新还是旧，有利于学生的发展的方法就是好方 法。在这个过程中，学生在“切一切”中直观地见证了 “面、棱、顶点”的产生； 在“摸一摸”中丰富了空间感知，增强了体验；更在“想一想”中，体会到三者 间的内在联系。说到棱就不仅仅是一条边，而要想到是哪两个面相交形成的；说 到顶点就不仅仅是一个点，而要想到是和哪三条棱有关系的。 这样，将“面、棱、

5、顶点”的概念一一还原，在运用多种感官协同参与的过程中，经历了数学知识被 抽象、概括的过程，使得概念的建立更有效、更深刻。经典是不要束之高阁的， 我们可以充分借鉴，并合理改进。比如，我们改变老师独自在展台前示范，让全 体同学一同参与，每个人都有体验的机会；再如，只切三刀，既达到了认知效果， 又节约了时间，也避免了切出的长方体不标准的实际问题。片段二：在“搭框架”中认识“棱的特征”。在认识“棱的特征”时，一般的教学思路是先观察得出特征，后量一量、比 一比来进行验证。这样的方式指向明确，学生也能顺利习得知识结论。但是，数学教学的目的不仅是为了得到一个结果，有意义、有价值的探索过程更为重要，如何将数学

6、知识还原到现实的具体情境中， 充分借助学生已有的知识经验，使得 学习的过程成为有益而又富有成效的探索过程呢？我从建筑的框架结构中受到启发，引导学生当回“小建筑师”，试着选择合适的小棒去搭一个长方体框架，从中发现棱的特征，并建立长方体的模型表象一师：（电脑演示：高楼抽象出框架）看，大楼的建造一般是以长方体框架为 基础的。（电脑出帚T小棒种类和数量）接下来，我们也来当一回“小建筑师”,试着用小棒来搭出长方体框架，寻找长方体更多的特征。1长度9厘米6匣米5厘米4整'根数4根4根3根8根（学生操作）师：哪一组来展示一下你们搭成的长方体？跟大家介绍一下你们是怎么搭的，有什么发现？生：我们一共使用

7、了三种长度的小棒，各 4根。长度相等的小棒在位置上都 是相对的，我们发现长方体相对的棱长度相等。师：相对的棱长度相等，是这样吗？还有和他们搭的不一样的吗？举起来给大家看看。仔细观察，也有这样的特征吗？生：有。师：我注意到，你们这一组一开始使用了 5厘米的红色小棒，后来又换掉了， 这是为什么呢？生：5厘米的只有3根，至少需要4根。师：瞧，学习就是这样，在不断尝试、修正中获得进步。-4 -应该说， 搭长方体框架这个操作活动我们也不陌生， 但是一般安排在棱的特征发现之后，进行巩固练习。特征之后再操作，注重的是对特征的应用。我把这个操作活动置前，目的是借助学生已有的知识经验，引导学生综合运用观察、 操

8、作、类推、想象、演绎等多种方式展开学习活动，侧重的是对学生观察力和思维能力的培养。 从学生活动来看，一开始多数小组并没有考虑到棱的长短关系，而是随机选择一种长度的小棒插入接头内， 形成了一个正方形的面， 结果发现剩下的小棒无法搭出相对的面。尝试的错误“逼”着他们重新审视自己搭的过程，通过观察身边的长方体和小组内的讨论，45 分钟内就能成功地搭出一个长方体框架。 如果说先前的失败是因为没有考虑到长方体的棱是有长短关系， 那么再次的尝试一定是有了对棱的长短关系的发现才能取得成功的。 这样， 将棱的长短关系特征还原到“小建筑师搭框架” 这样一个具有现实意义的情境中， 在已有的知识经验的支撑下，通过尝

9、试、修正使得棱的特征自然地生发、提炼出来了。二、以思维为核心扣数学本质促成“理性思维”的提升数学是思维的科学， 数学知识是数学思维活动升华的结果。因此， 数学教学应始终以儿童思维发展为核心，以此来设计组织教学过程。而对于思维发展，从过去单纯强调逻辑思维能力的培养到强化数学思维能力的提高， 再到现今提出的形成理性思维， 体现了人们对数学教育本质的不断追寻， 因为以普通数学规律为形式的理性构成了人类理性主义的根基，数学思维的核心就是理性思维。片段三：在“想象”中认识“直观图” 、 “长宽高” 、 “面的特征” 。在以往特征教学过程中， 面、棱、 顶点的特征都是通过对长方体实物的观察猜测、测量验证、

10、分析推理中逐步形成的。在上述案例 2 中，有老师曾建议，为什么不充分发挥长方体框架的作用， 引领学生在这个环节中同时去发现 “相对的面完全相同”这一特征呢？我想，长方体的“面”与“顶点”特征的认识对高年级学生来说并不困难， 因为这两者在长方体中相对于棱而言属于强刺激， 而且学生在第一学段中已经学过。 长方体特征的认知难点在于棱的特征的认识， 如果让学生根据现成的长方体物体总结棱的特征有相当一部分学生是存在困难的。因此，棱的特征的处理应该直观化、形象化，让内隐的知识显性化；而面的特征的处理则可以适当地抽象化，以此促进学生思维的深入（ 1）认识直观图。师：如果把刚才搭的长方体框架补上面，并把它画下

11、来是什么样的呢？（出示长方体直观图）/从图上能看到几个面？你还看到了几条棱？还有3条棱藏在哪里呢？大概在什么位置你能找到/吗？（电脑同步出示学生找对的棱）补上了三条看不见的棱，原来看不见的面现在你们能看到吗？注意到没有，上下面、左右面看起来像什么图形？再看看你们桌上的长方体，实际上呢？这是因为透视的原因。请大家仔细观察这幅图。然后闭上眼睛，在脑海里回想一下这个长方体是什 么样子的？想好了就睁开眼睛，冉和屏幕上的比较一下。（2）理解长、宽、高。师：（电脑演示）如果去掉一条棱，你们也能想象出这个长方体原来的样子 吗？（电脑演示）再擦去三条，还能想出来吗？想一想，最少保留几条棱？你就能想象出它原来的

12、样子？（随机出示）保留这三条棱，想象一下，可以吗？（电脑演示：通过平移棱形成完整的直观图） 看和你们想象得一样吗？仔细观察，他所指的这三条棱有什么特点？像这样从一个顶点出发的三条棱的长度， 通常把水平方向的叫作长、宽，竖 直方向的叫作高。（3）探究“面”的特征。师：（电脑出示长、宽、高）这是三条棱，你知道它们所在长方体的长、宽、 高分别是多少吗？师：根据长、宽、高，能从下面的图形中找到这个长方体的六个面吗？结合 这些数据边观察边思考，在小组内商量商量。师：谁来说说你的发现？你是怎么看出的？到前面来结合这幅图说说你的想 法。（电脑随机验证学生所选择的面）师：仔细观察我们找到的这 6个面，你有什么

13、发现呢？生：相对的面是完全一样的。理性地认识长方体和正方体，其本质就是要实现对长方体和正方体实物形状 的抽象，这种抽象体现在三维实物到二维图形的过程中。在此，我由“把你们搭 出的长方体框架补上面是什么样的呢”引出直观图，然后通过“找藏起来的棱”“回想长方体的样子”等安排，逐步向抽象推进，形成了对直观图的清晰把握。接下来，“擦”棱想象，揭示长、宽、高的定义。我们知道，无论怎么“擦” 棱，要想象复原出原先的长方体，最终留下的只能是一个顶点上三个不同方向的 棱，可见，“擦”的是棱，思考的是棱的方向、长短分类，琢磨的是棱与长方体 的确定的本质关系。在这里，正是因为紧扣了 “长、宽、高”概念的本质，没有

14、 直接诉诸“是什么”，着力凸显了 “为什么”，使得学生对“为什么偏偏是相交于 一个顶点的三条棱分别叫长、宽、高” 了所以然，也使得概念的揭示过程成为学 生不断进行理性思辨、思维不断前行的过程。长宽高确定了，体就确定了，面自然也确定了。发现长方体“面”之间的大 小关系是棱特征自然而然的逻辑衍生。对比“棱”的特征和“面”的特征的发现，前者是先观察再思考，后者是先思考再观察。而且即使是观察，发现“棱” 特征时先观察的是框架实物，而推理“面”特征时思考后观察的是立体直观图。 这也就是前面提到的难于发现的“棱的特征”直观化，易于发现的“面的特征” 抽象化，这样的安排顺应了学生的认知规律，使得学生的思维发

15、展不局限在同一 个层面，而有了渐递深入、逐步提升的空间。片段四：在“对比转化”中认识“特殊形体”借助探究长方体特征的活动经验去推理正方体特征，这是大家非常熟悉的。但是，如何展现它们之间的演变过程，体现出它们之间的内在联系，手法却不尽 相同。在此，我延续了案例3中的问题情境，紧扣“棱与面和体”、“长方体和正 方体”之间的本质关系，引导观察当棱发生变化时，体和体也就随之变化了一一师：下面，我把这个长方体变一变。你们看，这就是他们这一组刚才搭出的长方体。仔细观察这个长方体，对它 你有什么新的发现呢？生1:宽和高相等。生2:左右面变成了正方形，其余四个面完全相同。师：好眼力！像这样的长方体在你们课桌上

16、也有吗？找到了就举起来给大家 右右。师：如果把第二个长方体再变，猜一猜，可能会怎么变?生：变成了一个正方体。师：猜得很准！那怎样变呢？（电脑相机演示）棱长师：正方体的面、棱、顶点有什么特征？正方体和长方体又有什么关系呢？ 结合屏幕上的图形和你们准备的正方体， 先仔细观察，然后在小组里说说你 的发现。（交流发现）有两个面是正方形的长方体和正方体怎么来的？是可以通过长方体变来的。 这就巧妙地孕伏了它们之间的内在关系。由“一般长方体一特殊长方体（有两个 面是正方形）一正方体”动态演示，体现了由一般到特殊的转化过程，有利于学 生在对比中建立长、正方体之间的联系，使得学生对所学知识有更深刻的认识和 感悟

17、，从而建立科学的认知结构，形成三者之间相互转化的动态表象。同时，区 别于认识一般长方体，面的特征是通过逐个配面再观察发现的， 认识特殊长方体 时，让学生结合直观图直接观察发现，从整体上把握目标对象，思维的层次性和 跨度又更进一步。有了对长方体研究的基础，放手让学生自主探究正方体，从中也领悟到研究立体图形的一般方法。这样，既有具体化的探究，又有系统化的建构，学生的理性思维也不断提升。三、以美为境界一一用“优化情境”助推“数学思维”的发生美可谓是开启思维的磁石。因为儿童会被美的事物和意象自然地吸引， 在审 美感受中，需求得到满足，并由此产生欢乐感，在无意识状态的驱动下，主动地-8 -参与教学活动，

18、 思维也在无限自在的心理世界中积极展开， 潜在的创新种子就很易于在审美场中萌动、发芽。1. “棱面体”的脉络体现“简洁美”就本课而言， 需要学生掌握的数学知识点很多且显得分散。 如何才能避免杂乱， 形成统一的整体呢？这就要抓住最本质的东西几何的基本要素。 因为所有的几何图形，在更为理性的层面上把握它的特征就是考察它在组成图形的点、线、面方面有何特质。在“点” 、 “线”和“面”所组成图形中，单独的“点”引申不出更多的数学性质； 而面的大小情况最终还是由围成该面的边确定的， 也就是说， “线”定了， “面”也就定了。因此，我力图突破面、棱、顶点特征同时展开的传统设计，通过先发现棱的特征，然后由棱

19、及面到体。首先，重点组织学生研究了“线” ，通过学生的小组合作操作，增强学生的认知体验，便于学生对长方体的认识由原来的整体感知转移到对结构的把握， 有效化解了学习难点。 尔后，由棱的特征想象面， “四两拨千斤”地引导发现面的特征，使学生对长方体的认识自然而连贯。特殊长方体的认识也遵循了由“棱面体”的脉络，实现了整体的一致性，体现了课堂结构的“简洁美” ，教师教得轻巧，学生学得清楚。数学中的思考， 一方面需要有清晰的脉络， 有方向才能化繁为简； 另一方面，要具有足够的张力，有张力才能推动思维不断前行。课堂起初， 首先从与生活相关的实践操作中抽象出“面、棱、顶点”的概念，接下来便是设法抽象出概念间

20、的关系，从棱的位置关系，到棱的长短关系，再到棱与长方体大小间的关系，棱与面的关系等等，步步深入，在一系列观察、操作、想象、感悟等活动中，教学内容逐次铺展， 感官活动不断丰富， 认知层面渐次抽象， 研究角度由局部到完整，自主探索由“扶”到“放” ，循序渐进地促进了学生的发展。2. “多种媒体”的综合运用展现“奇趣美” 。不同的教学媒体各有优略，扬长避短，综合运用，才能获得最佳效果。在这节课中，我运用了多种媒体辅助教学。比如课始“切土豆”环节， “怎样切”不是重点，重要的是在切的过程中认识三要素。如果只有“实物操作” ，切法教师难以说清，学生也不一定明白。我以“实物操作+多媒体演示” ，两种媒体手

21、段发挥了各自的优势， 教师说得省力， 学生看得清楚， 省时又高效。 再比如， 认识 “长、宽、高”的时，如果只有“多媒体演示” ，学生对长宽高的认识只是停留在二维画面的认识上， 不经过二维画面到三维实物的转换， 是不能算得上真正认识理解的。因此我以“多媒体演示+教具演示”，在概念揭示后，让学生再结合长方体实物框架辨认长、宽、高，然后变换框架的摆放位置，再次辨认。通过这样的转换和变式，使得概念建立得更加深刻。纵观整节课，从一开始的“实物操作+多媒体演示”-“教具演示+多媒体演示” -纯粹的“多媒体演示”，既可以看到“多种媒体”的综合运用，也可以看到由“直观形象-抽象概括”不断递进的过程，“实物操作”和“教具演示”有利于学生进行空间感知，为学生积累了丰富的空间表象， “多媒体演示” 为学生拓宽了想象的空间， 有利于空间思维的深入发展。在制作多媒体课件时，我们几经更改，精益求精。比如，引入课题时，屏幕上呈现出了 5 个形体在自由地翻转， 让学生根据已有的知识经验来辨认。 动态的演示不仅增强了画面的动感， 更重要的是， 学生对长方体和正方体的认识是感性的， 全方位的翻转演示更有助于学生把握它的特征从而作出判断。 再比如出示直观图，让学生寻找看不见的棱时， 伴随着学生用教棒比划， 屏幕上就会出现了