数学建模-城市幸福指数

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公半性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）:我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）:所属学校（诸填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）:1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）:评 阅 人评分备 注全国统编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:目 录摘要11问题重述22问题分析23模型假设34符号约定35模型的建立和求解35. 1问题一35.1. 1模型建立35.1.2模型求解65. 2问题二85. 2.1模型建立85.2.2模型求解96模型的评价与推广157写给学校管

3、理管理部门的一封信8参考文献附录A 17表 A-1 17衣 A-2 18附录B 184幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判 断，乂是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断，而对于幸福指数的评 价则是一个定量的评价。通过调查大量的文献，参考权威人士的研究，对问题一 建立了贝叶斯估计模型，采用百分制，最表设计采用李克特“五点”量表，受测 者每个回答的指标都是肯定的，通过matlab编程计算结果与实际值十分贴近。在 问题二中，尝试构建了新的层次分析法和爛值法的综合评价模型。首先我们搜集 了师生的调查问卷数据，构建了幸福指数的二级指标体系。由于一级隐性指标没 有相关数

4、据，我们采用层次分析法确定权重并进行一致性检验。对于二级数据齐 全的显性指标，选择埔值法可以更加客观的给出各指标的权重。最后运用加权评 价法得出幸福指数，教师和学生的幸福指数都在6970之间，通过模型显示结果 找到了影响幸福感的主要因素。问题三，以模型的适用范围、幸福指数的可信度、 算法特点与结果检验等方面对模型进行评价和推广。论文的最后根据调查分析结 果给学校的管理部门写了封短信。关键词：贝叶斯估计层次分析法 埔值法 加权评价法mat lab51问题迁述改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。 但也有越來越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么

5、？温家宝总理 近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两 会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断， 乂是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产 生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡最这种感龙儿体程度的主观指标数值。美 国、英国、荷兰、FJ本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福 指数。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，白姓幸福指数就可以成为一 个衡星百姓幸福感的标准。白姓幸福指数与GDP-样重要，一方而，它可以监控经济社

6、 会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说，作为最重要的非经济 因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风 向标” 0国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型, 可参看附件的参考论文。根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调査的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标 体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型， 并找出影响他们幸福感的主要因素。3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，

7、试讨论之。4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门（例如政府、或学校管理部门等）写一封短 信（1000字以内），阐明你对幸福的理解和建议。2问题分析2. 1问题一分析对于幸福感的评价是一个定性的评价，而对于幸福指数的评价则是一个定 量的评价。材料中给出了网民幸福指数的调查结果，可以默认为广大网民幸福指 数的样本。在建立模型过程中，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个 回答的指标都是肯定的。评分规则由有利提高幸福指数依次升高，指标得分为20、 40、60、80、100。贝叶斯统计的特点在于利用先验信息形成的先验分布，参与统计的 推断。本模型中考虑到网民的幸福指数本质上是一种主观多级量化评分

8、的贝叶斯模型。 由此，我们建立评价幸福感的指标体系并根据指标建立衡量幸福感的贝叶斯估计模型。2. 2问题二分析问题一所建立的模型没有考虑到各指标对幸福指数的权重大小，在客观评价上 有所欠缺。我们通过网上査找资料和分析，对评价幸福指数的建立了新的数学模。幸福指数可以由一级隐性指标和二级显性指标来进行评判，第一级的隐性指标 由身体状况、人际关系、生活环境、物质条件、自身价值（学生幸福感第一级指 标：¥境、校园生活、自我实现、学习状况）组成。建立的层次分析结构如图3、 4所示。对于一级隐形指标，由于没有相关数据，我们采用层次分析法对一级指标的权 重进行赋值。然后根据第二级指标数据最齐全，采

9、用了更加客观的埔值法对二级 指标赋权，得出二级指标和一级指标的关系，再根据第一级与幸福指数的关系运 用加权平均法得出对幸福指数的量化值。3模型假设1）被调査对象所反映的思想都是内心的真实想法2）调査范围足够广3）所抽取的样本忽略社会各个阶层的差异4）对上下级指标量化相对关系的权重时，忽略主观因素的影响5）调査问卷是随机的，网民分布均匀6）提取主成分的过程中，不考虑信息最损失对模型结果的影响4符号约定符号含义第j个指标分数序号为i的票数Z分数序号为i的所有指标的总投票数Xj贝叶斯估计值p实际幸福指数P"模型计算幸福指数值E残差A对比矩阵鸭第i个指标对上级指标的权重调査问卷中第i个一级指

10、标调査问卷中属i个一级指标下第j个二级指标fy第i个一级指标下第j个二级指标的分数第i个指标的分数CR一致性指标CIA的一致性指标RI平均一致性指标5模型的建立与求解与检验5. 1问题一5.1.1模型建立在建立此模型前，首先对网民调查指标最化处理，如下表:表1幸福程度量化值序号内容量化值(分数)1很不幸福202不太幸福403一般604比较幸福805非常幸福100而对网民各指标的设定，有Z =, ° = 123,4,5),其中n为指标个数，(其量化分析见附表A-l) o由贝叶斯估计法，。k = £莒毛，*产严，其中$为贝叶斯估计值。由贝叶斯估计 (原理见北京币幸福指数的贝叶斯

11、估计)，得出幸福指数模型P姑=EQn, x) = J尤)d9&_ lCV2k)n+(m+l)/2k)化简公式，可得网民幸福指数模型为：_ JZZ + (l/2k)戸亦 _ n + (m+l)/2k)5.1.2模型求解与检验将附表1为z矩阵，带入mat lab运行(程序见附录A),结果如下：n = 18m = 5Z = 20054435123061224345979k=1977P = 0.056340.124620.34578034401与附表中题一的数据进行对比，比较结果为：0.12917量化值20406080100实际幸福指数P0.056650.124430.345980.34396

12、0.12898模型幸福抬数P0.056340.124620.345780.344010.12917残差£0.000310.000190.00020.000050.00019表2幸福指数计算值与实际值的比较运用excel作图，可以看出，附表屮的总体幸福感指数与模型计算幸福指数差距共微, 拟合度高。/通用略式/通用珞式/通用略式/通用略式实障圭福指数模埜计笄幸福主数图1幸福指数实际值与计算值比较通过对残差的考察來判断模型的精度，利用相对误差检验标准來检验幸福指数的贝叶 斯模型。2（閱'|黃|''氏 |）相对谋差序列平均相对误差=国=4,模拟误差尸詢幸福指数贝叶斯模

13、型的平均相对误差20001839<001,模拟误差A5= 0.001473 < 0.1 r贝叶斯幸福指数模型为一级模型。可看出该模型的计算结果与附 表中网民总幸福感的统计值儿乎一致，由此证明本模型用贝叶斯模型的可行性与准确度 因此也用于预测网民的幸福指数。网民幸福感的比重，可以看出大部分人觉得现在自己是幸福的，但是那些觉得不幸福 的群体更应该引起关注。通过计算得到网民幸福感总分为67. 4042,可见整体网民的幸 福感属于一般程度。社会以及政府更应该加大力度，创造一个更加祥和幸福的环境。5.1.2模型求解5. 2问题二5. 2. 1模型建立1、建立幸福指标体系表我们通过网络等工具査

14、询到一份关于幸福指数的调査报告，并根据结果整合得到如 下图。12图3教师幸福感层次分析图4学生幸福感层次分析142、层次分析法求一级权重(1) 构造两两比较判断矩阵。设要对比n个因素对目标z的影响。A=(h)旳(1)其中 a” >0，码严1/备(i j ) axj =1 (i, j=l, 2,.n)(2)由(1) (2)构成的矩阵为正反比较判断矩阵，其中根据saaty等人提出用1-9 尺度作为尺度，见表3。表3 1-9尺度Aij的含义尺度含义1Ai与Aj的影响相同3Ai比Aj的影响稍强5Ai比Aj的影响强7Ai比Aj的影响明显的强9Ai与Aj的影响绝对的强2,4,6,8Ai与Aj比的影响

15、在上述两个相邻等级之间1,1/2,. 1/9Ai与Aj的影响之比为Aij上面的互反数心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个。用13,15,117,1旷9卩(p=2,3,4,5), cHQl出09 (d=123,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与 实际对比发现，19尺度较优用matlab软件得出一级指标对幸福指数的权重向量。(mat lab代码见附录B) 由此可得出影响教师幸福感的主要因素。(2) 层次分析法的一致性检验°首先计算A的最大特征值入神，再计算一致性捋标CT 定义CI=心_口(3)11-1式中，n为A的阶数，当CI=0,即心二n时，A有完全一致性，

16、CI越大，A的一致性越 差。将CI于半均随机一致指标RI进行比较，令CR=,称RI为随机性一致性比率。 当CR<0. 10时，A具有满意的一致性，否则要对A重新调整，知道具有满意的一致性。表4 RI随机一致性指标值n1o34567891011RI000.580 901 121 241 321 411 451 491.513、爛值法求二级权重（1）对二级指标进行归一化处理，消除虽纲的影响。公式如下:（2）计算第i项指标下第j项因素的比重冲严S叫冋（3）计算第i项指标下第j想因素的爛值e； = -kV pnInp » k= 其中k >0,e, >0（6）肓InnJ（4）

17、计算第j项指标的差异系数。对于第j项指标，抬标值的差异越大，对方案 评价的作用就越大，境值就越小。定义差异系数：emmg严品一詁式中，E二£勺,0"111 一匕J=1J=1（5）计算第i项指标下第j项因素的权重OW广羊（8）冋此过程可用mat lab编程求解，代码见附录C。4、加权平均法求幸福指数我们采用百分制体系对调査的结果进行量化，得到加权分。其评分表如下：表5评分表等级非常满意满意一般不满意很不满意100分制10080604020最化计算方法如下：划=100sxj,i + 80 屯 2 + 60 屯 3 + 40s# + 2% 5（9）即通过每一个选项的票数在总票数中

18、的百分比与其他相应分值相乘所得乘积并相 加。最后通过加权平均法算出第一层各项得分情况：Fx=辄 i=l，2 3（10）最后，幸福指数H=F*W。5.2.2模型求解1、教师幸福指数求解级指标两两的比较判断矩阵为:3112213632 -21 -331£ 1_2 46324用 mat lab 编程求解得一级权 W=(0. 4891, 0. 1384, 0. 0852, 0. 2304, 0. 0569) 一致性比例CR二0. 0012<0. 1通过检验，w可作为一级权重。图5教师幸福感各指数比重用爛值法编程求的的二级指标的权重如下：邓二(0.2118 0. 2327 0. 3916

19、 0. 1638)w, = (0. 4158 0. 2131 0. 3711)巧二(0.3741 0. 4011 0. 2247)W 二(0. 2799 0. 4608 0. 2593)% 二(0.3277 0. 4634 0. 2090)对教师调查问卷数据100分制量化得fl=(69. 85, 71. 71, 73. 46, 59. 1)f2二(59. 94, 78. 66, 83. 66)f3二(69. 9125, 72. 14, 56. 7)f4=(61. 96, 64. 5, 65. 16)f5=(77. 66, 77. 64, 75. 43)通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情

20、况如下:FlF2F3F4F569. 9372. 7367. 8363. 9685. 30幸福指数：H二F*W二69. 642、注生幸福指数求解一级指标两两的比较判断矩阵为:153351223 - 1-2 2用 mat lab 编程求解得一级权 W=(0. 0807, 0. 4427, 0, 1969, 0. 2797) 一致性比例CR二0. 0240<0. 1通过检验，w可作为一级权重。用爛值法编程求的的二级指标的权重如下:邓二(0. 1362, 0. 3808, 0. 2128, 0. 2702)w, = (0. 1124, 0. 3731. 0. 3004, 0. 2142)巧= (

21、0. 5352, 0. 1942, 0. 2706)W 二(0. 3500, 0. 1701, 0. 2550, 0. 2248)对教师调査问卷数据100分制星化得fl=(61. 29, 69. 90, 73. 71, 67. 33)f2=(59. 2, 63. 28, 79. 92, 72. 08)f3=(70. 17, 63. 19, 73. 1)f4=(71. 97, 67. 83, 72. 43, 66. 8)通过加权平均法第出第一级指标层的评价得分情况如下:F1F2F3F468. 8469. :'569. 6170.21幸福指数：H=F*W=69. 786模型的评价与推广问题

22、一模型：采用贝叶斯模型能够对网民群体的不同幸福体验估算出比较准确的不 同阶段的幸福感比例。并经过检验之后可以得出比较正确的数值，便于管理部门获得基 本数据。但本模型的针对对象单一，而且指标的额选取也没有涉及到其主耍组成的权重 因素，因此它的使用是有限制条件和前提的，因此它不可以推广到更加普遍的人群，但 是对于固定单一的人群，采用此方法是很可取的。问题二模型：层次分析法是一种主观确定权重的方法，它可以把复杂的研究对象简 化为比较系统、有条理、有序的结构，便于分析和统计。而且层次分析的使用范围广, 所需的数据信息少。但由于它的主观性，定最数据少，定性成分多，不能消除知识的局 限性，不易令人幸福。所

23、以层次分析法的适用范围广，不需要具体样本数据，专家仅凭 对评价指标的内涵和理解即可做出判断。爛值法，是一种客观的评价方法，深刻的反应 了指标信息爛值得效用价值，其给出的指标权重的可信的比层次分析法高。但它需要样 本数据多，信息最大，在应用上受到限制。所以它适用于数据量大的借况下进行更加合 理的评判。综上，可以对复杂问题进行分析，在各级指标有间同时采用这两种赋权方法 可以使结果更具可信度。该模型可用于管理人员绩效评估、民意调查、各种活动影响力 的分析等方面。7给学校管理者的一封信8参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊数学模型北京高等教育出版社.20112 吴喜之.现代贝叶斯统计学（M）.中国统计出版

24、社.20043 刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京.高等教育出版社.2006. 074 王莲芬，许数柏.层次分析法引论（M） 北京.北京大学出版社.19905 樊宏，戴良铁.基于层次分析法的岗位评价报酬要素权重确定方法（J） .20046 郭显光.改进的墻值法及其在经济效益评价中的应用J.系统工程理论与实 践.1998. 129附录:附表A 指标量化数据量化值12345J值2040608010011894478074121222852708256071903298354627398300444205793673262511618957972436961092531016431168r (3

25、6944118985388417331911533919179429812400157104971341116834811502286578132291233062648240513413612014111028276147018578067726515151311839492184166914066574435917118200943506210181015999971495附表B教师调查人数为1600人1.薪水水平满意程度（单选题）选项内容得票数1非常满意2052比较满意3453满意5894不满意3245非常不满意1372良好的工作环境（单选题）选项内容得票数1环境特别好3372环境比较好

26、4233环境还可以5964环境差1845环境很差603.近一年来您的身体健康情况如何（单选题）选项内容得票数1非常好3222比较好4733一般5564不好1695很差804 了解自己的职责所在（单选题）选项内容得票数1非常了解5052比较了解6553了解2604不了解1085非常不了解725有充分发挥才能的平台（单选题）选项内容得票数1能够尽情好的发挥336232可以发挥自己的才能5823一般4334不能很好的发挥2055没有发挥的平台406.学校具有良好的社会形象（单选题）选项内容得票数1形象非常好4822形象比较好5223形象还可以5364形象差455形象很差157.您的业余生活（单选题）

27、选项内容得票数1非常充实3722比较充实4763一般5354很少1515儿乎没有668感受到学校的发展前景（单选题）选项内容得票数1非常乐观5522比较乐观4593一般3394不乐观1715悲观799您觉得工作/生活上的压力大吗？（单选题）选项内容得票数1非常大3012较大6363一般5124有一点1415儿乎感觉不到1010总体来讲，您对生活的态度怎样?（单选题）选项内容得票数1非常满意1562很满意3763一般4254不满意5265非常不满意117"请问您对现在社会公平程度的看法？（单选题）选项内容得票数1非常公平1512比较公平3253一般3994不公平5595很不公平1661

28、2您和学生之间的关系怎样？（单选题）选项内容得票数1非常好792比较好2263一般9954不是很好2115很不好8913您和朋友（或同事）关系怎样？（单选题）选项内容得票数1非常融洽6492比较融洽4923一般2314不是很融洽1595很不融洽6914您对目前社会经济发展状况满意吗？（单选题）选项内容得票数1卡常满意1952比较满意4063还可以6384不满意2865非常不满意7515您对目前的住房情况满意吗？（单选题）选项内容得票数1非常满意2522比较满意4173般5514不满意2295非常不满意14116与家人的关系融洽（单选题）选项内容得票数1非常融洽7492比较融洽4923一般281

29、4不是很融洽595很不融洽19附表C 学生调查人数1800人1.您的人生目标？（单选题）选项内容得票数1非常明确2752较明确6453一般6594不明确1625没有592您对大学生活的感觉如何？（单选题）选项内容得票数1非常满意1962很满意4163一般4654不满意5665非常不满意1573您的业余生活？（单选题）选项内容得票数1非常充实4222比较充实5463一般5954很少1715几乎没有664您觉得学习/生活上的压力大吗？（单选题）选项内容得票数1非常大3412较大6763一般5524有一点1815几乎感觉不到505近一年中，您在学业上有成就感吗？（单选题）选项内容得票数1很有成就感2

30、912比较有成就感4963一般6374很少有成就感2865几乎没有906您觉得您所学的专业的发展前途如何？（单选题）选项内容得票数1非常有前途2522很有前途4493还可以6334没感觉2665没有前途2007您对自己目前的学习成绩满意吗？（单选题）选项内容得票数1非常满意312292比较满意6063可以接受4914不是很满意2575很不满意1348您觉得自己是个什么样的人？（单选题）选项内容得票数1非常自信5352比较自信5423一般3924不自信2295自卑1029请问您对现在社会公平程度的看法？（单选题）选项内容得票数1IE常公平2712比较公平4253一般3994不公平5595很不公平14610您和老师之间的关系怎样？（单选题）选项内容得票数1非常好1792比较好3263一般9954不是很好2115很不好89仆您和朋友（或同学）关系怎样？（单选题）选项内容得票数1非常融洽7492比较融洽5923一般2314不是很融洽1595很不融洽6912您所在的学校学习条件怎么样？（单选题）选项内容得票数1非常优越4492比较优越5693一般4914不是很好2345很差5713您所在学校的生活环境怎么样？（单选题）选项内容得票数1非常舒适3532比较舒适6463一般5514不舒适191