第二部分第五课时

1、第二部分第五课时：第二部分第五课时： 方程与几何的综合方程与几何的综合 思想方法提炼思想方法提炼 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用 课时训练课时训练 思想方法提炼思想方法提炼1.1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等知识解决有关几何问题；知识解决有关几何问题；2.2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化通过方程的性质和几何图形的性质实行转化. . 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用【例例2 2】已知已知ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，A

2、CAC切半圆于切半圆于A A，CBCB交交O O于于D D，DEDE切切O O于于D D，BEDEBEDE，垂足是垂足是E E，BD=10BD=10，DEDE、BEBE是方是方程程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的两个根的两个根( (DEDEBE)BE)，求求ACAC的长的长. .【解析】【解析】已知半径，一般先构造已知半径，一般先构造90的圆周角，的圆周角，故可以连故可以连AD，由此可容易由此可容易推得推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m

3、的方程组，的方程组，解之，于是解之，于是RtBED可解可解.欲求欲求AC，只要先求出只要先求出AB，而而这通过相似三角形易求得这通过相似三角形易求得. 解：解：DEDE、BEBE是方程是方程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的两个根的两个根( (DEDEBE)BE)且且BEDEBEDE，BD=10BD=10连接连接ADAD，ABAB是直径是直径ADB=90ADB=90DEDE是是O O的切线的切线EDB=DABEDB=DABRtRtBDERtBDERtBADBADABC=DBEABC=DBE， AB= AB=ACAC切切O O于于ACAB=9

4、0ACAB=90RtRtCABRtCABRtDEBDEB AC=AC= 8BE6DE5m100BDBEDE3mm2BEDE2m2BEDE2222) )( (BEBDBDAB 8100BEBDAB2 225BEABDEAC 87586225BEDEAB 【例【例3 3】已知：已知：ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC的长是关于的长是关于x x的一元二的一元二次方程次方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的两个实数根，第三边的两个实数根，第三边BCBC的的长为长为5.5.(1)(1)k k为何值时，为何值时，ABCABC是以是以BCBC为斜

5、边的直角三角形为斜边的直角三角形? ?(2)(2)k k为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周长的周长. .【分析】【分析】ABAB、ACAC是方程的两根，则根据根与系数的关系以是方程的两根，则根据根与系数的关系以及及ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形联立关于为斜边的直角三角形联立关于k k的方程，即的方程，即可求得可求得k k的值；而的值；而ABCABC为等腰三角形，则要通过分类讨论为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k k值，值，从而求得等腰三角

6、形的周长从而求得等腰三角形的周长. . 解：解：(1)(1)ABAB、ACAC是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的两根的两根AB+AC=2k+3AB+AC=2k+3，ABABAC=kAC=k2 2+3k+2+3k+2又又ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形，且为斜边的直角三角形，且BC=5BC=5ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2(AB+AC)(AB+AC)2 2-2AB-2ABAC=25AC=25即即(2(2k+3)k+3)2 2-2(k-2(k2 2+3k+2)=25+3k+2)=25kk2 2+3k

7、-10=0k+3k-10=0k1 1=-5=-5或或k k2 2=2=2当当k=-5k=-5时，方程为时，方程为x x2 2+7x+12=0+7x+12=0解得解得x x1 1=-3=-3，x x2 2=-4(=-4(舍去舍去) )当当k=2k=2时，方程为时，方程为x x2 2-7x+12=0-7x+12=0解得解得x x1 1=3=3，x x2 2=4=4当当k=2k=2时，时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形. .(2)(2)若若ABCABC是等腰三角形，则有是等腰三角形，则有AB=ACAB=AC，AB=BCAB=BC，AC=BCAC=BC三种三种情况情况

8、. .=(2k+3)=(2k+3)2 2-4(k-4(k2 2+3k+2)=1+3k+2)=10 0ABACABAC，故第一种情况不成立；故第一种情况不成立；当当AB=BCAB=BC，或或AC=BCAC=BC时，时，5 5是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的根的根即即25-5(225-5(2k+3)+kk+3)+k2 2+3k+2=0k+3k+2=0k2 2-7k+12=0-7k+12=0kk1 1=3=3或或k k2 2=4=4当当k=3k=3时，时，x x2 2-9x+20=0-9x+20=0，x x1 1=4=4，x x2

9、2=5=5等腰三角形的三边长分别是等腰三角形的三边长分别是5 5、5 5、4 4，周长是，周长是14.14.当当k=4k=4时，时，x x2 2-11x+30=0 x-11x+30=0 x1 1=5=5，x x2 2=6=6等腰三角形的三边长分别是等腰三角形的三边长分别是5 5、5 5、6 6，周长为，周长为1616，故当故当k=3k=3或或k=4k=4时，时，ABCABC为等腰三角形，周长分别为为等腰三角形，周长分别为1414或或16.16.【例【例4 4】已知，在】已知，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分别是分别是A A、BB、CC的对边，的对边，ta

10、n Atan A、tan Btan B是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程方程x x2 2-kx+12k-kx+12k2 2-37k+26=0-37k+26=0的两个实数根，的两个实数根，求：求：(1)(1)求求k k的值；的值；(2)(2)若若c=10c=10，且且a ab b，求求a a、b b的值的值. .【分析】利用根与系数的关系列方程即可求【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k k的值；再利的值；再利用三角函数知识可求出用三角函数知识可求出a a、b b的边长的边长. . 解：解：(1)(1)tan Atan Atan B=12ktan B=12k2 2-37k+26-37k

11、+26则由则由C=90C=90知知A+B=90A+B=90即即tan Atan Atan B=1tan B=112k12k2 2-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0k=25/12k=25/12或或k=1k=1当当k=1k=1时时 ，方程变为，方程变为x x2 2-x+1=0-x+1=0因因00不合题意舍去不合题意舍去当当k=25/12k=25/12，方程变为方程变为x x2 2-25/12x+1=0-25/12x+1=0因因00成立成立k k的值为的值为25/12.25/12.(2)(2)又又tan A+tan B=ktan A+ta

12、n A+tan B=ktan A+(tanA)(tanA)2 2- (tan A)+1=012(tan A)- (tan A)+1=012(tan A)2 2-25(tan A)+12=0-25(tan A)+12=0tan A=3/4tan A=3/4或或tan A=4/3tan A=4/3又又a abtan A=a/bbtan A=a/b1tan A=4/31tan A=4/31225A1 t ta an n 6b8a10ba34ba2221225【例【例5 5】如图所示，锐角三角形】如图所示，锐角三角形ABCABC内接于内接于O O，高高ADAD、BEBE交于点交于点H H，过点过点A

13、A引圆的切线与直线引圆的切线与直线BEBE交于点交于点P P，直线直线BEBE交交O O于另一点于另一点F F，AB12AB12的长是关于的长是关于x x的方程的方程x x2 2- x+ (sin- x+ (sin2 2C- sin C+1)=0C- sin C+1)=0的一个实数根的一个实数根. .(1)(1)求求C C的度数与的度数与ABAB的长；的长；(2)(2)设设BH=xBH=x，BP=yBP=y，求求y y与与x x间的函数关系式；当间的函数关系式；当y=3 y=3 时，试判断时，试判断ABCABC的形状，并的形状，并说明理由说明理由. . 214133【分析】【分析】(1)(1)

14、利用根的判别式利用根的判别式00可迅速求得；可迅速求得；(2)(2)要寻找要寻找y y与与x x的关系式，就要寻找的关系式，就要寻找y y、x x所在的两个所在的两个三角形相似，故即证三角形相似，故即证PBAPBAABHABH；再利用再利用y y与与x x的关的关系式，已知系式，已知y y值即可求出值即可求出x x的值的值. .在在RtRtAHEAHE和和RtRtABEABE中中运用勾股定理及三角函数知识求出运用勾股定理及三角函数知识求出HEHE、BEBE的长度，最后的长度，最后计算出计算出BAC=60BAC=60=C=C即可即可. .21解：解：(1)(1)方程有实根方程有实根=(-1/2)

15、=(-1/2)2 2-4-41 11/4(sin1/4(sin2 2C-C-3sin C+1)03sin C+1)0即即-(-(sin C- )sin C- )2 20sin C= 0sin C= ，C=60C=60由由=0=0知知x x1 1=x=x2 2，而而x x1 1+x+x2 2=2x=2x1 1=1/2x=1/2x1 1=1/4=1/4即即AB12=14AB=3.AB12=14AB=3.(2)(2)ADBCADBC，BEACBEACP+PAC=BAD+ABC=90P+PAC=BAD+ABC=90又又PAPA切切O O于于APAC=ABCAPAC=ABCP=ABHP=ABHPBAPB

16、AABHABHx x即即y=y=23x33yBHABABPB x923当当y= y= 时，即时，即 在在RtRtDACDAC中，中，C=60C=60DAC=30DAC=30在在RtRtAHEAHE中，设中，设HE=mHE=m，则则AH=2mAH=2m，AE= mAE= m在在RtRtAEBAEB中，中，AEAE2 2+BE+BE2 2=AB=AB2 2 =3 =32 2m=- (m=- (舍舍) )m=m=BE=HE+HB=BE=HE+HB=sin BAE=sin BAE=BAE=60BAE=60BAE=C=60BAE=C=60ABCABC为等边三角形为等边三角形. . 33333339BH

17、322m33m) )( () )( ( 323323323 233323 课时训练课时训练1.1.斜边长为斜边长为1313的直角三角形的两直角边长为方程的直角三角形的两直角边长为方程x x2 2-(m- -(m- 1)x+3(m+2)=01)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径的两根，求其内切圆的半径r.r.解：设两直角边长为解：设两直角边长为a a、b b，则则a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(m-1)-2ab=(m-1)2 2-6(m+2)=13-6(m+2)=132 2m=18m=18或或m=-10m=-10又又a+b=m-1a+b=m-10m0

18、m1m=-101m=-10舍去舍去a+b=m-1=18-1=17a+b=m-1=18-1=17r= (a+b-13)= (17-13)=2.r= (a+b-13)= (17-13)=2.21212.(20022.(2002年年北京东城区北京东城区) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，斜边斜边c=5c=5，两直角边的长两直角边的长a a、b b是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2- -mx+2m-2=0mx+2m-2=0的两个根，求的两个根，求RtRtABCABC中较小锐角的正弦值中较小锐角的正弦值. .解：解：a a、b b是方程是方程x x2-mx+2m-2=0-mx+2m-2=0的两个根的两个根a+b=a+b=m m，abab=2m-2.=2m-2.在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得a a2 2+b+b2=c=c2 2即即( (a+b)a+b)2 2-2ab=25.-2ab=25.mm2 2-2(2m-2)=25m=7-2(2m-2)=25m=7或或m=-3(m=-3(舍舍) )当当m=7m=7时时 ，原方程，原方程x x2 2-7x+12=0 x=3-7x+12=0 x=3或或x=4.x=4.假设假设a=3a=3则则sin A=ac=sin A=ac=Rt