对称多项式PPT课件

1、1一、一、一一 元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系二、二、n元对称多项式元对称多项式三、一元多项式的判别式三、一元多项式的判别式2韦达定理韦达定理设设 1212( ) nnnnf xxa xa xaP x 若若 在在 上有上有 个根个根 ，则，则( )f x12,n nP12( )()()()nf xxxx 把把展开，与展开，与比较，即得根与系数的关系：比较，即得根与系数的关系： 一、一、一一 元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系31211221212112( 1)( 1)innniikkknnnaaaa （所有可能的（所有可能的 i 个不同的个不同的 的积之和）的积之和）j

2、ka，特别地特别地 ， 为其根，为其根，20(0)axbxca 12,x x1212,bcxxx xaa 则有则有4二二 、n 元对称多项式元对称多项式定义定义设设 ，112(,),nnf xxP x xx 若对任意若对任意 ，有，有,(1,)i ji jn11(,)(,)jnijinf xxxxfxxxx 则称该多项式为则称该多项式为对称多项式对称多项式 如，如，333123123(,)f x xxxxx 5下列下列n个多项式个多项式11221212112nnnnnxxxx xx xxxx xx 称为称为 个未定元个未定元 的的初等对称多项式初等对称多项式n12,nx xx61对称多项式的和

3、、积仍是对称多项式；对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式对称多项式的多项式仍为对称多项式则则1212(,)(,)mng fffh x xx 是是 元对称多项式元对称多项式n特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式若若 为对称多项式，为对称多项式，1212,mnfffP x xx 为任一多项式，为任一多项式，12(,)mg yyy性质性质即，即，72对称多项式基本定理对称多项式基本定理对任一多项式对任一多项式 , 都有一个都有一个 元多项式元多项式1(,)nf xxn ,使得使得12(,)nyyy 112(,)(,)n

4、nf xx 为初等对称多项式为初等对称多项式12,n 8则必有则必有120nlll 作对称多项式作对称多项式2312112nlllllna 设对称多项式设对称多项式按字典排列法的按字典排列法的1(,)nf xx1212,nlllnaxxx首项为首项为证明：证明：231211212()()nlllllnaxx xx xx 再作对称多项式再作对称多项式1211112(,)nlllnnfff xxaxxx 则则 的首项为的首项为1 1212nlllnaxxx 9则则 有比有比 较较“小小”的首项的首项f1f对对 重复上述作法，并依此下去重复上述作法，并依此下去. 1f即有一系列对称多项式即有一系列对

5、称多项式11212, ,fffff 它们的首项一个比一个它们的首项一个比一个“小小”，所以必终此在有限步，所以必终此在有限步故存在故存在 ，使，使hZ 10hhhff 于是于是12.hf 这就是一个初等对称多项式的多项式这就是一个初等对称多项式的多项式10上述证明过程实际上是上述证明过程实际上是逐步消去首项逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤：逐步消去首项法的一般步骤：则一定有则一定有第一步第一步：找出对称多项式找出对称多项式 f 的首项的首项 ,1212nlllnaxxx第二步第二步：由由 f 的首项写出的首项写出 :1 2312112nlllllna 说明说明确定它对应的指数组确定它对应

6、的指数组 12( , ,),nl ll12.nlll 11第三步第三步：作作 ，并展开化简并展开化简11ff 212ff 如此反复进行，直到出现如此反复进行，直到出现 ，则，则 10hhhff 12.hf 再对再对 按一按一、二、三步骤进行，构造、二、三步骤进行，构造1f2:f 12例例1. 把多项式把多项式 f 表成初等对称多项式的多项式表成初等对称多项式的多项式,333123fxxx 令令 3 00 001123 11ff 2222221221133123321233()6x xx xx xx xx xx xx x x 的首项是的首项是1f2123,x x 解解:(3,0,0),它所对应的

7、数组是它所对应的数组是f 的首项是的首项是31,x31, 33331231xxx 作对称多项式作对称多项式1:f(2,1,0),它所对应的指数组是它所对应的指数组是131231213233()()xxxx xx xx x 2222221221133123321233()9x xx xx xx xx xx xx x x 2 11 0021233 令令123 3112333 作对称多项式作对称多项式212ff 1233x x x 33 所以，所以，123f令令1 11 11 031233 于是于是323ff 0 14对于对于齐次对称多项式齐次对称多项式还可以采用还可以采用待定系数法待定系数法(设设

8、 f 是是m次齐次对称多项式次齐次对称多项式)第一步第一步：根据对称多项式：根据对称多项式 f 首项对应的指数组写出首项对应的指数组写出所有可能的指数组所有可能的指数组 ，12(,)nk kk且这些指数组满足：且这些指数组满足： 前面的指数组先于后面的指数组前面的指数组先于后面的指数组12;nkkk 12;nkkkm 附：附：待定系数法的一般步骤：待定系数法的一般步骤：15的初等对称多项式的方幂的乘积：的初等对称多项式的方幂的乘积：231212nkkkkkn 第二步第二步：对每个指数组：对每个指数组 ，写出它对应，写出它对应12(,)nk kk第三步第三步：设出：设出 f 由所有初等对称多项式

9、的方幂乘积由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项系数即为的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数，的首项系数，其余各项系数分别用其余各项系数分别用A、B、C、 代替代替16第四步第四步：分组选取适当的：分组选取适当的 的值，计的值，计 (1,2, )ix in 算出算出 及及 f ，12,n 性表达式中，得到关于性表达式中，得到关于A、B、C、 的线性方程组，的线性方程组，解这个线性方程组求得解这个线性方程组求得A、B、C、 的值的值最后写出所求的最后写出所求的 f 的表达式的表达式将之代入第三步中设出的线将之代入第三步中设出的线17 例例2用待定系数法把用待定系数法把 表成初

10、等表成初等333123fxxx对称多项式的多项式对称多项式的多项式所有不先于所有不先于 的三次指数组及相应的初等对称的三次指数组及相应的初等对称(3,0,0)解解:(3,0,0),它所对应的数组是它所对应的数组是f 的首项是的首项是31,x多项式方幂的乘积如下表多项式方幂的乘积如下表:指数组指数组相应的初等对称多项式方幂的乘积相应的初等对称多项式方幂的乘积2 11 0012312 (2,1,0)1 11 111233 (1,1,1)3 00 0031231 (3,0,0)18这样，这样，f 可表成可表成31123fAB (1)及及 f 的值如下表的值如下表:适当选取适当选取 的值，计算出的值，

11、计算出(1,2,3)ix i 12,n 1x2xf1 3x1 1 代入（代入（1）式得）式得 2793822ABA 解之得解之得 ，3,3AB 所以所以3112333.f 19三、三、一一 元多项式的判别式元多项式的判别式有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，211(,)()nijij nD xxxx 对称多项式对称多项式D可表成可表成21122,( 1),( 1)nnnaaa 由根与系数的关系知，由根与系数的关系知，的多项式的多项式1(,).nD aa是是1,nxx1212( )nnnnf xxa xa xa (2)的根，则多项（的根，则多项（2）有重根的充要条件是）有重根的充要条件是1(,)0.nD aa 20正因为此，正