9.3.1-用相同的正多边形铺地板.

1、图片欣赏图片欣赏观察各种建筑物的地板，你有没有发现一些美丽的平面图案 能否能否 平面平面 镶嵌镶嵌 图形图形一个顶点周一个顶点周围正多边形围正多边形的个数的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能（1） 正三角形的平面镶嵌606060606060（2） 正方形的平面镶嵌90（3） 正六边形的平面镶嵌120 120 120 解得解得仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求要求在公共顶点上所有内角和为在公共顶点上所有内角和为360360度度。(2)180360nmn63mn44mn36mn2

2、4222nmnn3,nn m因为且都是正整数故n只能取3,4,6能单独镶嵌平面的正多边形只有三种：能单独镶嵌平面的正多边形只有三种： 正三角形、正四边形、正六边形正三角形、正四边形、正六边形令正多边形的边数为令正多边形的边数为n,n,个数为个数为m,m,则有则有1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ） A、三角形、三角形 B、正方形、正方形 C、任意四边形、任意四边形 D、正八边形、正八边形2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（正方形的个数是（ ） A、 3 B 、

3、4 C、5 D 、63、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（个正多边形，则该正多边形的边数为（ ） A、3 B、4 C、5 D、6DBA 只用一种正多边形进行镶嵌，只用一种正多边形进行镶嵌，只有（只有（6 6，6 6，6 6）；（）；（4 4，4 4，4 4，4 4）；）；（3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3）三种情形。）三种情形。 那么，如果用两种正多边形进行镶嵌，又那么，如果用两种正多边形进行镶嵌，又有几种情况呢？请尝试有几种情况呢？

4、请尝试用两种正多边形进行用两种正多边形进行平面镶嵌平面镶嵌1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，（先用纸片进行实验，再理论解释）（先用纸片进行实验，再理论解释）2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图注：m、 n分别指同一顶点处正三角形、正方形的个数。图案图案注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果1201206060图案图案（）图案图案（）60601206060每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.1、如果用正四边形

5、与正八边形，如何镶嵌？、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？2、如果用正三角形与、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？正十二边形，如何镶嵌？正八边形与正方正八边形与正方形的平面镶嵌形的平面镶嵌正十二边形与正三角形正十二边形与正三角形的平面镶嵌的平面镶嵌正十二边形正十二边形与正方形、与正方形、正六边形的正六边形的平面镶嵌平面镶嵌资料：资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这组解。有书记载说明这17组解是组解是1924年一个叫波年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一

6、个不少地制出了这些图尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止样，真是令人叹为观止。任意形状的三角形或任意形状的三角形或四边形的四边形的平面镶嵌平面镶嵌小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什么东西妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什么东西 只好丢掉！只好丢掉！小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的桌布吧。小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块

7、漂亮的桌布吧。结论：结论：形状、大小完全相同的任意三形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。角形能镶嵌成平面图形。在一个工厂的废料堆里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块在一个工厂的废料堆里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们说说行吗？说说

8、行吗？结论：结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形发现二发现二: 用一种用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行也能进行 平面镶嵌平面镶嵌发现一发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形、正三角形、 正方形、正六边形正方形、正六边形发现三发现三: 正多边形镶嵌的条件：正多边形镶嵌的条件： （1）同一顶点的各角度数和为）同一顶点的各角度数和为180度；度； （2）各个正多边形的边长要相等。）各个正多边形的边长要相等。课后研究题课后研究题: （1）设计一幅平面图形铺满地面的美丽图案）设