9-简单超静定结构的解法解析

1、简单的超静定问题1、 超静定问题及其解法静定结构静定结构: : 仅靠静力仅靠静力平衡方程平衡方程就可以求出结构就可以求出结构的约束反力或内力。的约束反力或内力。FAB2AF1BaaC超静定结构超静定结构( (静不定结构静不定结构): ): 静力静力学学平衡方程平衡方程不能求解。不能求解。超静定结构的未知力的数目多于超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的独立的平衡方程的数目；两者的差值称为差值称为超静定的次数。超静定的次数。BDCA132FaaFFCFBFABCAAFaaFFFN2N3N1yxBCAD习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多

2、余约多余约束束，相应的约束反力称为，相应的约束反力称为多余未知力多余未知力。 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。目。注意：从提高结构的注意：从提高结构的强度和刚度强度和刚度的角度来说，多余的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。约束往往是必需的，并不是多余的。超静定的求解超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。题。补充方

3、程补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。充方程的数目等于多余未知力的数目。根据变形几何相容条件，建立根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程变形几何相容方程，结合物理关系（结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充胡克定律），则可列出需要的补充方程。方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题

4、进行说明。进行说明。2、拉压超静定问题例例1 两端固定的等直杆两端固定的等直杆 AB，在，在 C 处承受轴向力处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力。，求杆的支反力。解解：一次超静定问题：一次超静定问题0FFFBAFBAFABablFC(1)(1)力：由节点力：由节点 A A 的平衡条的平衡条件列出杆轴线方向的件列出杆轴线方向的平衡方平衡方程程（2）变形：变形： 补充方程补充方程( (变形协调条件变形协调条件) ) 可选取固定端可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的该处的施加对应的约束反力约束反力FB，得到一个作用

5、有原，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构荷载和多余未知力的静定结构 -称为原超静定结构的称为原超静定结构的基本静定系基本静定系或或相当系统相当系统 注意原注意原超静定结构的超静定结构的 B 端端约束情况，相当系统要保持和约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在原结构相等，则相当系统在 B 点的位移为零。点的位移为零。0B即得补充方程即得补充方程BFFBCA在在相当系统中求相当系统中求 B 点的位移点的位移, ,按叠加原理，可得按叠加原理，可得 BBBFB（3 3） 胡克定理胡克定理( (物理关系物理关系) )EAFaBFEAlFBBB（4 4）补充方程变为补充方程变为0EAl

6、FEAFaB得lFaFBFB为正为正,表明其方向与图中所设一致表明其方向与图中所设一致.xFBCABFxFBBABB例例2 2 设设l，2，3杆用铰连接如图，杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2， E1= E2=E；3 3杆长度为杆长度为l3 ，横截面面积为横截面面积为A3，弹性模量为，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力。试求各杆的轴力。解解：一次超静定问题：一次超静定问题(1)(1)力：由节点力：由节点A A的平衡条件列的平衡条件列出出平衡方程平衡方程0sinsin, 02N1NaaFFFx0coscos,

7、 03N1N3NFFFFFyaaBDCA132FAFaaFFFN2N3N1yx(2)(2)变形：变形：补充方程补充方程 ( (变形协调条件变形协调条件) )acos31ll(3)(3)胡克定理胡克定理EAlFl1N1333N3cosAElFlaaall31B1aa32DCAA(4)(4)补充方程变为补充方程变为a2333N1NcosAEEAFF联立平衡方程、补充方程，求解得联立平衡方程、补充方程，求解得aa2332N1Ncoscos2EAAEFFFa3333Ncos21AEEAFF 在超静定杆系中，各杆在超静定杆系中，各杆轴力的大小轴力的大小和该杆的和该杆的刚度刚度与与其它杆的刚度其它杆的刚度

8、的的比值有关。比值有关。 增大或减少增大或减少1 1、2 2两杆的刚度，则它们的轴力也两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点特点在静定杆在静定杆系中是不存在的。系中是不存在的。归纳起来，求解超静定问题的步骤是：归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)(1)根据分离体的根据分离体的平衡条件平衡条件，建立独立的平衡方，建立独立的平衡方程；程； (2)(2)根据根据变形协调条件变形协调条件，建立，建立补充方程补充方程; ; (3) (3)利用胡克定律，改写

9、补充方程；利用胡克定律，改写补充方程； (4)(4)联立求解联立求解。 例例3 3 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用模量均分别相同，用A A、l l、E E 表示。设表示。设ACAC为一刚性横为一刚性横梁，试求在荷载梁，试求在荷载F F 作用下各杆的轴力。作用下各杆的轴力。解解: : ( (1)1)受力分析受力分析-平衡方程平衡方程0, 03N2N1NFFFFY05 . 05 . 05 . 1, 03N2N1NFFFMD123laaa2BCADFFDABCFN1N2FN3F(2) (2) 变形分析变形分析协调条件（补充方程）协调

10、条件（补充方程）(3) (3) 胡克定理胡克定理(4)(4)联立求解得联立求解得3121)(2llllEAlFlEAlFlEAlFl3N32N21N1,3N2N1N2FFF127,3,123N2N1NFFFFFFABBC l1l2Cl32、装配应力温度应力(1)装配应力装配应力 在在静定问题静定问题中，只会使结构的中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力。如生附加的内力。如1杆较设计尺寸过杆较设计尺寸过长，仅是长，仅是A点的移动。点的移动。 在在超静定问题超静定问题中，由于有了多中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力。余约束，就将产生附加的内力

11、。 附加的内力称为附加的内力称为装配内力装配内力, ,与之与之相应的应力则称为相应的应力则称为装配应力装配应力, ,装配应装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为应力，也称为初应力初应力。 3DBCAaAA1a2e例例4 两铸件用两钢杆两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为连接如图，其间距为 l=200mm。现需。现需将制造得过长将制造得过长 e=0.11mm的铜杆的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有等间距的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径钢杆直径d=10mm，铜

12、杆横截面为，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的的矩形，钢的弹性模量弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其。铸件很厚，其变形可略去不计。变形可略去不计。 解解： 画出结构装配简图，画出结构装配简图，并可确定装配后并可确定装配后3 杆受杆受压，压，1、2杆受拉杆受拉BB1AA2CC3CC111aael1=l12lBAACBACB12111Cl3(1) 列出列出平衡方程平衡方程, ,一次超静定问题一次超静定问题0, 02N1N3NFFFFx2N1N, 0FFMC(2) 变形分析变形分析协调条件（补充方程）协调条件（补充方程） 因铸件可视作刚体，其变

13、形相容条件是三因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在几何和物性均对称于杆几何和物性均对称于杆3 3，可得补充方程，可得补充方程ell31(3) (3) 胡克定理胡克定理333N31N1AEEAlFllFlFN1N3FFN2aaACBx补充方程变为补充方程变为elFlF333N1NAEEA(4) (4) 联立求解得联立求解得332N1N211AEEAleEAFFAEAEleAEF2113333N3 所得结果均为正，说明原先假定杆所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力为拉力和杆和杆3为压力是正确的。为压力是正确的。

14、将已知数据代人，可得装配应力为将已知数据代人，可得装配应力为 MPaAF53.741N1MPaAF51.1933N3计算中注意单位计算中注意单位 在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起不利的后果，也可能带来有利的影响。起不利的后果，也可能带来有利的影响。 土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子。用装配应力来提高构件承载能力的例子。(2)(2)温度应力温度应力静定问题静定问题：由于杆能自由变形，

15、由温度所引起的变：由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力。形不会在杆中产生内力。超静定问题超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所：由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为种内力称为温度内力温度内力。 与之相应的应力则称为与之相应的应力则称为温度应力温度应力。 杆的变形杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形以及与温度内力相应的弹性变形。 例例5 图示的等直杆图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。的两端分别

16、与刚性支承连接。设两支承间的距离设两支承间的距离(即杆长即杆长)为为l，杆的横截面面积为，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，线膨胀系数为a al。试求温度升。试求温度升高高 t时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。 解解：一次超静定：一次超静定 （1）变形：如杆只有一端）变形：如杆只有一端(A端端)固定，则温度升高以固定，则温度升高以后，杆将自由伸长后，杆将自由伸长。 现因刚性支承现因刚性支承 B 的阻的阻挡，使杆不能伸长，相挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压当于在杆的两端加了压力力FN而将杆顶住，而保而将杆顶住，而保持持 B 点的不动。点的不动。 AB

17、lABltABFNlF0Ftlll得到变形协调条件（补充方程）得到变形协调条件（补充方程）使用胡克定理得使用胡克定理得EAlFlFN温度引起的变形温度引起的变形 ltllta得补充方程得补充方程0NEAlFltla解得解得tEAFlaN温度应力温度应力 tEFlaAN 以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。一个不容忽视的因素。 在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸

18、缩。考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。 如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。妨碍结构物的正常工作。 如杆为钢杆，如杆为钢杆， a al =1.2 10-5/(oC), E=210GPa, 如如温度升高温度升高 t=40 oC，杆内的温度应力为，杆内的温度应力为 压应力）MPa(100tEla3、扭转超静定问题 扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立件建立补充方程。补充方程。例例 两

19、端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆 AB ，在截面，在截面 C 处受一扭转处受一扭转力偶矩力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试，试求杆两端的支反力偶矩。求杆两端的支反力偶矩。 解解： 一次超静定一次超静定 设想固定端设想固定端B为为多余约束，解除后多余约束，解除后加上相应的多余未加上相应的多余未知力偶矩知力偶矩MB，得基，得基本静定系本静定系。MeABablCIIIMeMACABIIIxBM 变形协调条件变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基：根据原超静定杆的约束情况，基本静定系在本静定系在B端的扭转角应等于零端的扭转角应等于零, 即即补充方程为

20、补充方程为 平衡方程平衡方程：设固定端设固定端A A的支反力偶为的支反力偶为MA , ,方向同方向同MB0,0eBAxMMMM0B 按叠加原理：按叠加原理：0BMBBB BB、 BM分别为分别为MB、Me引起的在杆端引起的在杆端B的扭转角。的扭转角。线弹性时，物理关系线弹性时，物理关系(胡克定理胡克定理) )为为pBpe,GIlMGIaMBBBM代入上式代入上式可解得可解得 laMMBeMA可平衡方程求得可平衡方程求得 。例例6 图示一长为图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、

21、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。作用在内、外杆上的扭转力偶矩。 解解：画出受力及变形简图 写出独立写出独立平衡方程平衡方程0eBAMMM 一次超静定问题一次超静定问题。 ABlaMbMMeABMeeMrbarl变形协调条件变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。

22、即故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为补充方程为BbBa 代入物理关系代入物理关系(胡克定理胡克定理) )，与，与平衡方程联立，即平衡方程联立，即可求得可求得Ma和和Mb。 并可进一步求得杆中切并可进一步求得杆中切应力如图（内应力如图（内、外两杆、外两杆材料不同），可见材料不同），可见在两在两杆交界处的切应力是不杆交界处的切应力是不同的。同的。dDT1T1ttt2min1max2max214、简单超静定梁 列补充方程：列补充方程：0BBFBqwwFBqABFAAMABqlAqBBqwAFBBwBq 可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为中力作用下的挠度为 EIlFwEIqlwBBFBqB3,834 补充方程变为补充方程变为 03834EIlFEIqlB解得解得qlFB83 也可以取支座也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为处阻止梁端面转动的约束作为“多余多余”约束，解除后可得相当系统约束，解除后可得相当系统 根据原超静定梁端面根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求