第4讲函数迭代和函数方程上

1、1.函数迭代函数迭代与函数方程函数迭代的定义设f:DtD'(其中D'JD)是一个函数，对任意xwD,记f(0)(x)=x,f(1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x),产=f(f(f(x),f"(x)=f(f(n)(x),则称f(x)是函数f(x)在d上的n次迭代，并称n是f(x)的迭代指数.如果f(x)有反函数，则记为f(9(x),于是，迭代指数可取所有整数.简单的函数迭代n次迭代求一个函数的n次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型.对于一些简单的函数，它的是容易得到的.f(x)=x+c,则f(n)=x+nc,f(')(x)=x-c,f(")

2、(x)=x-nc.iif(x)=x3,则f(n)(x)=x3,f('(x)=x3,f('(x)=x3n.b-af(x)=ax+b,则f(n)(x)=anxb+b,f(J(x)='x1-a1-aaff)函数迭代的求法数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数f(x)迭代几次，观察出其规律，然后猜测出f(x)的表达式，最后用数学归纳法证之.这种方法只适用于一些较为简单的函数.递归法设f(x)是定义在D上且取值于D的函数，由此定义数列an：a0已知，且a0WD,an=f(an。，n>1.一方面，若已求得f(n)(x)=g(x)，则an=fa)=f(2)/)=f(n

3、)(ao),即an通项公式；另一方面，如果已求得an的通项公式an=g(a°),则取a。=x,an=g(x),而an=f)=f(n)(ao)=f(n)(x),从而f(n)(x)=g(x),即f(n)(x)的表达式.由上述知，函数的n次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为第一步，设a0=x,an=f(n)(x)；第二步，由an=f(n)(x)=f(anx),求出an=g(aO)；第三步，f(x)=g(a°)=g(x).相似法相似法是求函数f(x)的n次迭代的一个重要方法.若存在一个函数中(x)以及它的反函数中工(x),使得f(x)=*,(g(中(x),我们就称f(x)通过

4、中(x)和g(x)相似，简称f(x)和g(x)相似，记为f)g,其中平(x)称为桥函数.相似关系是一个等价关系，也就是说它满足：自身性，ff;对称性，若fg,则gf;传递性，若fg,9八，则£八.如果f(x)与g(x)相似,即f(x)=cp-(g(tp(x),那么f(x)=<P(g(n)W(x),g(x)=9(f(-(x),g(n)(x)=%f怦,(x).这样一来，我们便把f的迭代问题转化为g的迭代问题.不动点法关于x的方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点.不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n次迭代.函数

5、的不动点具有如下的性质：若x0是f(x)的不动点，则f(n)(x0)=x0,即x0也是f(n)(x)的不动点.1设f(x)=9(g(9(x),因此有中(f(x)=g(平(x),右一比)=劭,则有中(x0)=g(平(x。)，即一%)是g(x)的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些.利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数邛具有下列性质：它将f的不动点x。映成g的不动点中(x。)，通常为了便于求解g(n)(x),g(x)通常为ax,x+a,ax2,ax3等.2.函数方程函数方程的定义解为函数的方程为函数方程.例如f(-x)=-f

6、(x),f(x+5)=f(x)等都是函数方程.函数方程解法寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法：代换法代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数.如f(2x1)=x2+x(xRR),令y=2x1,则x=1(y+1),于是2121-123f(y)=(y+i)+(y+1),即f(x)=x+x+,经检验匕是函数万程的解.4244代换法在单变量函数方程中尤为多用.赋值法所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含

7、的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标.如函数f:RtR满足f(xy)=f(x)+f(y),x,yWR,x+y=0,求f(x).x-y令y=1,得f(x)=f(x)'f(x¥1),由此xf(x)=f(1),令x=0则f(1)=0,从而可知x1f(x)=0(x#0,-1),令x=2,y=0易得f(0)=f(2)=0；令x=-1,y=0易知f(1)=f(0)=0综上可知f(x)=0.递归法函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法.设f(n)是定义在正整数集N+上的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件f(1)=a1,当知道f(1),f(2),，f

8、(n)的值后，由S可以惟一地确定f(n+1)的值，我们就称f(n)为递归函数，递归法主要解决递归函数.板块一函数的迭代【例1】已知f(n)是定义在NJ的函数，并且满足 f(f(n)=4n+9,nWN十 f(2k)=2k+3,kWN.求f(1789)的值.例2设f(x)=ax+b,求f(x);设f(x)=,求f(x)；axb设f(x)=x+24+1,求f(x).例3设2f(x)=x，求2x-1f(n)(x)；设f(x)二土1,求4x-3f(n)(x)；设4x-2十f(x)=，求f(x).x板块二函数方程1，、一【例4】定乂在R+上的函数f(x)满足关系式f(x)=f.-lgx+1,求f(x).x

9、求解函数方程f(x)+f,'l-=1+x,x=0,1.x已知函数f(x)对任意x、y有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,求f(x).【例5】求所有满足下列条件的函数f：N+tN+，使得f(2)=2;f(mn)=f(m)f(n)对所有m,n成立；若m<n,则f(m)<f(n).【例6】已知函数f(x)满足f(x2)f(x)=1,x>0.求满足条件的一个f(x).瓢真显身事习题1.设f(x)=ax+b,其中a,b为实数，fi(x)=f(x),fn4(x)=f(fn(x),n=1,2,3,，若f7(x)=128x+381，贝Ua+b=.习题2.某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘中心.之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心.接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱.若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花了多少钱？习题3.设f(x)=x2+4x+2,求f(x).习题4.求解函数方程(写出一个符合方程的解即可)，小题中x,yWR,