量子力学知识点小结

1、弟一早L 玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。2.黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。7.普朗克量子假说：表述 1:对于一定频率 v 的辐射，物体只能以 hv 为能量单位吸收或发射电磁辐射。表述 2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：=hVO表述 3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量的整数倍来实现，即 e,2e,3e,。&光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。9 .光电效应有两个突出的特点：存在临界频率丫 0:只有当光的频率大于一定值 V0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于

2、该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。10 .爱因斯坦光量子假说：光（电磁辐射）不仅在发射和吸收时以能量 E=h 丫的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程U.光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为 E=hV 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。12 .解释光电效应的两个典型特点：存在临界频率 V0：由上式明显看出，当 hV-WoW0 时，即 yWv0=W0/h 时，

3、电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率丫有关，而与光的强度无关。13 .康普顿效应：高频率的 X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。14 .康普顿效应的实验规律：散射光中，除了原来 X 光的波长入外，增加了一个新的波长为入的 X 光，且入入；波长增量 A 入=入-入随散射角增大而增大。15 .量子现象凡是普朗克常数 h 在其中起重要作用的现象16 .光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性17 .与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。E=hv=%一h一 1P一n一拖2一2冗-九19 .光谱线：

4、光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。20 .线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。21 .标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。L 量子力学中，原子的轨道半径的含义。2 .波函数的物理意义：某时刻 t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻 t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。3 .波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点

5、找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。24 .波函数的归一化条件 J(Xy,z,t)d.=1(2.1-7)5 .态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态 W1,W2,Bn,则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态 W 时，体系部分地处于态 W1,W2,Bn 中。6 .波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。7 .定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。9 .定态的性质：由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。粒子几率流密度不随时间改变。任何不显含时间变量的力学量的平均值不随

6、时间改变。10 .本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数 fn 为该算符的第 n 个本征值。波函数少 n 为 fn 相应的本征波函数。11 .束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。12 .宇称：在一维问题中，凡波函数少（x）为 x 的偶函数的态称为偶（正）宇称态；凡波函数少（x）为 x 的奇函数的态称为奇（负）宇称态。13 在一维空间内运动的粒子的势能为（Wco2x2）/2,3 是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。线性谐振子的能级为：En=（n-2），n=0,1,

7、2,3,-.14 .透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。15 .隧道效应：粒子在能量 E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。16 .量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？答：量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。17 .什么是量子力学中的定态？它有什么特征？答：定态是一种特殊状态即能量本征态，在定态下，一切显含时间的力学量（不管是否为守恒量）的平均值和几率分布都不随时间改变，粒子在空间的几率密度和几率流密度也不随时间改变。代*

8、弟二早L 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。2 .厄密算符的定义：如果算符卢满足下列等式出帝F?ldx=N?并dx，则称卢为厄密算符。式中小和。为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。3 .厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。4 .简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。5 .氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。电离能：电离态与基

9、态能量之差6 .氢原子中在半径 r 到 r+dr 的球壳内找到电子的概率是：Wnl（r）dr=R2（r）r2dr2在万向(04 附近立体角 da 内的概率是：wim(9/P)dQ=Yim(0/P)dIQ7 .两函数比和如正交的条件是：出 1 中 2dlr=0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称函数比和如相互正交。&正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数 4k 或 41。9 .厄密算符本征波函数的完全性：如果 4n(r)是厄密算符卢的正交归一本征波函数，An 是本征值，则任一波函数少(r)可以按。n(r)展开为级数的性质。或者说。n(r)组成完全系。10 .算符与力学量的关系：

10、当体系处于算符 F?的本征态。时，力学量 F 有确定值，这个值就是算符 F?在。态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。U.算符对易关系：区,0 三 A 国一百 A可对易算符：如果 k,*k,*】=0 0,则称算符 A 与 8 是可对易的；不对易算符：如果 A?,3#A?,3#0 0,则称算符 A 与目是不对易的。12 .两力学量同时有确定值的条件：定理 1：如果两个算符目和&有一组共同本征函数 4n,而且 4n 组成完全系，则算符对易。定理 2：如果两个算符目和 G?G?对易，则这

11、两个算符有组成完全系的共同本征函数。13 测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值,Z=,二 2(F)2(G)2一片14 .量子力学中力学量运动守恒定律形式是:dFJF.1?k=工厂F,H=量子力学中的能量守恒定律形式是：瞎=/H?，H?=015 .空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号宇称算符：表示空间反演运算的算符。宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。16 .相关关系式:(如 r 一一 r)的运算。产3VLi”油fl旦( (R=x,y,z)向?x=-i峨向?zj=-i3yc?c?ML+LM?=2itpL 基底：设 ei,e2,e3为线性无关的三个向量，空间内任何向量

12、v 必是 ei,e2,e3的线性组合,则 ei,e2,e3称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于 1,这样的基底叫做正交规范基底。2.希耳伯特空间：如果把本征波函数m 看成类似于几何学中的一个矢量（这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因），则波函数的集合。m构成的一个线性空间。3.表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。第五章1 .斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。2 .分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。3 .周期微扰产生跃迁的条件是：0=Smk 或跖=7土自色，说明只有当外界微扰含有频率mk 时，体系才能从 6k 态跃迁到m态，这

13、时体系吸收或发射的能量是mk,这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。4 .光的吸收现象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。5 .原子的受激辐射（跃迁）现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。6 .原子的自发辐射（跃迁）现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的现象。(R=x,y,z)(R=x,y,z)综合写成：I?Xl?I?Xl?= =i/i?i/i?=-iz=-iy第四章7 .自发发射系数Amk:表示原子在单位时间内，由 S 能级自发跃迁到取能级，并发射出能量为坛mk的光子的几率。8 .受激发射系数Bmk:作用

14、于原子的光波在 6T0+d频率范围内的能量密度是 I( (Q) )d,则在单位时间内，原子由m能级受激跃迁到能级&、并发射出能量为网 mk的光子的几率是Bmk1(mk)。9 .吸收系数 Bkm：原子由低能级&跃迁到高能级防、并吸收能量为坛 mW 光子的几率是BkmkmIMk k)。第七章L 斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。2 .塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，

15、在磁场中将分裂为更多条光谱线。产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。3 .两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S:S=Js(s+1)方，s=s+0,5_&=1,0所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。4 .两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量 L:L=Jl(l+1)吊,l=ll+l2,ll+l2-1,ll+l2-2,|ll-l2对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。5 .电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量 J1:J1=l1si,l1siU每个电子只有两个 J1值。6 .LS 耦合总角动量 J:J=Jj(j+1),j=l+s,l+

16、s-1,l+s-2,l-s7 .jj 耦合总角动量 J:J=VT(Hi)%j=j+j2,ji+j21,jl+j22,ji-j2&价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。9 .内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。10 .原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。11 .电子组态：价电子所处的各种状态。12 .原子态：原子中电子体系的状态。13 原子态符号：用来描述原子状态的符号。.原子态符号规则：用轨道总量子数 1、自旋总量子数 s 和总角动量量子数 j 表示轨道总量子数 1=0,1,2,一，对应的原子态符号为 S,P,D,F,H,I,K,L,一；原

17、子态符号左上角的数码表示重数，大小为 2s+1,表示能级的个数。原子态符号右下角是 j 值，表示能级对应的 j 值。形式为：2s1Sj,2s1Pj,2s1Dj,2s1Fj,15 .光谱的精细结构：用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线，会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。16 .原子态能级的排序(洪特定则)：(1)从同一电子组态形成的、具有相同 L 值的能级中，那重数最高的，即 S 值最大的能级位置最低；(2)从同一电子组态形成的、具有不同 L 值的能级中，那具有最大 L 值的位置最低。17 .辐射跃迁的普用选择定则：1、选择定则：

18、原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。2、原子的宇称：如果原子中各电子的 l 量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。18.LS 耦合选择定则：於=0,要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。四=0,1,当&=0 时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。百=0,1,j=0 至 j=0 的跃迁是禁止的。jj 耦合选择定则：.jl可可 2=Q-1&a

19、mp;j=0,1,j=0 至 j=0 的跃迁是禁止的。19 .全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。20 .全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才是可以区分的。21 .全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。22 .对称波函数：设 qi表示第 i 个粒子的坐标和自旋，（q,qi,qj,t）表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则是 q 的对称波函数。23 .反对称波函数：设 qi表示第 i 个粒子的坐标和自旋，（q,qi,qj,t）表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则是 q 的反对

20、称波函数。24 .对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（反对称）的状态，则它将永远处于对称（反对称）的状态上。25 .费密子：自旋为胃或看奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称22的，服从费密一狄拉克统计。26 .玻色子：自旋为零、市或行整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色一爱因斯坦统计。27 .交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。28 .泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。29 .交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或

21、反对称波函数的缘故。30 .交换能 J 与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。31 .LS 耦合引起的精细结构分析。 如 n=3 能级中， 有一个 p 电子和 d 电子所引起的能级差别 （原子态） 。32 .对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。33 .反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。)量子力学期末试题及答案一、( (20分)已知氢原子在t=0时处于状态1.(x,0

22、)=-2(x)3其中，味(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t0时的波函数。解已知氢原子的本征值为二124999于是，归一化后的波函数为_4_1WE,0=7；WE,0：W能量平均值为2-%(x)。3Ene4122n2，(D将t=0时的波函数写成矩阵形式(x,0)=,22x3x31x3(2)利用归一化条件2二1*,2*dx12x?3x二332巾*-71(x)3)1中2(X)+邛3(X)332-V，x)3(3)(x,0);能量的可能取值为2x仔仔3x-t1x知知X)(4)EEE,相应的取值几率为(5)412E07E2,E3=e4411121161e4-TT

23、一=-=2IL717479504一,八一一，一一，左拄,、，一一一，自施z分量的可能取值为一,一,相应的取值几率为222,自旋z分量的平均值为tA0时的波函数i3xexp-E3t.（20分）质量为m的粒子在如下一维势阱中运动（V00）解对于-V0E0的情况，三个区域中的波函数分别为利用波函数再x=0处的连接条件知，6=nn,n=0,1,2:在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件,；2a=3a二2a=匚 a(6)sz=14(8)(x,t)=xexp-iEt-Elt(9)Vx-V。,0，x：:00_x_axa若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=-；的状态，试确定此势阱的宽度a其中,11x=0

24、W2(x=Asintkx+6)Y3(x)=Bexp(-x)J2m(EM).q_v2m|E|(1)(2)最后得到势阱的宽度(8)三、( (20分)证明如下关系式(1)任意角动量算符j满足上?=附。证明对x分量有?=麋-部=旦x同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立投影算符？n=n)(n|是一个厄米算符，其中，|n)是任意正交归一的完备本征函数系。证明在任意的两个状态了)与中)之下，投影算符肉的矩阵元为而投影算符巧的共聊算符第的矩阵元为得到Asinkan二-Bexp-：aAkcoskan=-B：exp-:a(4)于是有ktanka-a(5)此即能量满足的超越方程。,1.当E=V。时，

25、由于2tanmV01T.mVoh-1(6)故故n=1,2,3,(7).*?nPn|L|；良=.*.一*n）（n5）=网n”n*=n“n中）显然，两者的矩阵元是相同的，由性）与阳的任意性可知投影算符0n是厄米算符。利用Z或（x凡（x）=6（xX）证明（x?焉=Xmk（仅In，其中，剃k。）为kk任意正交归一完备本征函数系。证明Q0一.*-.x?xmn=dxm乂x%nx=-oOcdoO.*dxmxxdx、x-x?xnx=_oO_oOcdoO.*dxmxxdx、x-x?xnx=_oO_oOQOQO一*_.一dxmxxdxkxkx?xnx=.二：koOoO.*-,.*dxmxxkxdxkx?xnx=_

26、oO_oOxmk?xkn在L2与Lz表象中，在轨道角动量量子数l=1的子空间中，分别计算算符？、匕与？的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。xyz解在L2与Lz表象下，当轨道角动量量子数1=1时，m=1,0,-1,显然，算符B、B与LZ皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100、2=000(1)901相应的本征解为-O0kZk四、（20分）；二对于算符g、Ry而言，需要用到升降算符，即?Ly.2一乙h；L?二.一；Ly2L?y满足的本征方程为=；;=0；1-0(2)闿lm=W(l/)-(mm)|(4)当l=1,m=1,0,-1时，显然，算符2、

27、12y的对角元皆为零，并且,1.-121,4-101;=1,1L假1,5&1-)1,只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即(5)1|1?,j0-)1,(1|L?1,)0=(1L?1h、,12：1,-1匕Ly(6)于是得到算符2、2y的矩阵形式如下(3)hL?二一LxJ将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为L?x满足的本征方程为得到三个本征值分别为2=0；将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为2C1C1相应的久期方程为将其化为2，=0C21c3)、 :2C21c3，(13)(14)(15)相应的久期方程为将其化为，0iC1C2C3i-一、2得到三个本征值分别为C1C2(8)(9

28、)J20-2,-flj一(10)(11)1-11-2(12)(16)1111=1,12中2=；2V20L1甲-1；,丁2-V2、1(17)五、（20分）由两个质量皆为H、角频率皆为。的线谐振子构成的体系,加上微扰项W=-九X1X2（X1,X2分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为呻 A=11秒m,nJjnm.J式中，0=J华0解体系的哈密顿算符为H?W?其中H?0=217?2?22Xi2X2W=-X1X2(1)(2)其中已知H?0的解为E：=nT；n：.Xi,X2=：Xi2X2ni,n2,n=0,1,2

29、,二二1,2,3,fn(4)将前三个能量与波函数具体写出来E。=；E10=2,1,:0=0X1；：0X2:11=0X1X2:12=1X1；：0X,21=2X1%X2二22=0X12X2,-；23=IX1X2(5)对于基态而言，n=叫=n=0,f0=1,体系无简并可知利用公式E。1：0班：0：fnE02匚：n二0二二oWJnW：。E：-E：显然，求和号中不为零的矩阵元只有-0W：23.=123W：0.于是得到基态能量的二级修正为2：2其中E02)=2-00423E0-E24：8匕第二激发态为三度简并,W11台匕目-耳匕里-E21W21W31Wi1=级修正满足的久期方程为W12W22-E；W32W

30、13W23W33-E；W2kW33W1=2W(21行；2：2将上式代入（10）式得到整理之，E21确足-E21,2：2-E213-E212：2-E21-E21=0(6)(8)(9)(10)(11)(12)(13)于是得到第二激发态能量的一级修正为E211=-=；E22=0；E2；二三22量子力学期末试题及答案二一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1、A,B两束光，A的波长k=3Ml0m,B的波长/=4父10,m,请问哪束光的能量更高?2、微观粒子的波函数中应满足的三个标准条件是单值性，连续性，有限性粒子的波函数中（x）=3x2e”，请问该粒子是否处在动量的本征态？上

31、.4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易6、对易关系?,Lz=0,2,g=i柜Z,2,W=i%-A1A7、已知步pxj=i%则Ax之a.8、算符在其自身表象中的表示是方/对角矩阵?(2)(x)=AsinkxBcoskx,3、9、已知泡利算符分量心=?0I。11,ox,CTy的矩阵表达式分别为ax=1011,10-0-i二y二yJ010、写出氧原子（原子序数z=8）的电子排布：1s22s22p4.二、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）1、二,x:二0,粒子在一维势场U（x）=（0,0 xa中运动，

32、求粒子的能级和对应的波函数。Ik,x-a解：一位无限深势阱中，定态薛定谓方程d21-(x)2.(U-E),-(x)dx2(2 分)一.d2-在阱外，x0,xa,U（x）=8,若波函数（x）o,由（1）式得一-=8,这是没有dx意义的。因此，在阱外必有中（x）=0。（2分）在阱内，0：二x：二a,U（x）=0,令k2-2E-2式得上式的通解是c(P)=,1-P(x)-(x)dx12二一e92(X”e-12i另二板fte-Pxedx-2-eJOO二dx2二 34x22edxA,B是两个待定常数.由于中（x）在边界处连续，有B=+（0）=0，且Asinka=(a)=0.由于A#0，否则只能有零解，故

33、卜二门工，n=1,2，.将粒子波函数中（x）=Asinkx代入a归一化条件a4”仪)中汽)=1,积分得A=0n(x)=J2sin蹩.(4):aa一2二粒子能量为E=n2-.(5)2a2（5 分）（3 分）2、粒子状态处于一维谐振子的基态一(x,t)量的几率分布函数。（利用积分公式:二2edx;-ad解：平均值x为*七*s二j 一!(x)x-(x)dx=dx,722,：xe-dx=0(4 分)因为动量的本征函数为p（x）二2eipx-h所以，归一化波函数为试求平均值7和动JOOCL1/2e2xa1/2eTlrt二2x2t2t3、有二个物理量，它们的矩阵表示为:如果测量Lz,得到的可能的值是什么?解：Lz的久期方程为的本征值为0,(2)求Lz的本征函数。解：g的本征方程3其中中=|a2设为？z的本征函数。a3/动量几率分布函数为（4分）2co （p） =c （p）（2分）O O1 1O O2 2- -X X1，Lz0，00000-bh100”a000/2za22011a3J1a3J（1分）一九0=0二h0衣”九.(72十九1(J一，)=。=1二0,一、.2（3 分）-a3/由归一化条件0）二I当=尸时，有.2一a3J由归一化条件a11=（a1,0,0）0=a1,所以a=1ria210-1a31