高考数学创新能力型问题

1、上海市封浜中学高三数学第二轮专题复习第1讲 从高考数学创新题谈起创新能力是指在运用已知信息开展思维活动中，产生某种新颖、独特的有社会或个人价值产品的能力，数学创新能力一般指对已经掌握的数学知识、数学方法进行推广和拓展，对未来的数学领域通过探索得到新的结果的能力。高中数学中创新能力型问题常见的有以下三种情况：1类比发现型；2拓展推广型；3设计构造型。一高考中的创新题2006年全国各地高考数学试卷中出现了不少创新题，让我们来欣赏其中的一些题目：1（广东卷第10题）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则（ ）A B C D本题在实数运算的基础上定义了实数对的

2、两种新的运算“”和“”，要求考在阅读理解及准确把握的基础上，把这两种新的运算转化为熟悉的解方程组运算，从而运用已有的知识去分析、解决问题解：由题意，解得，所以正确答案为（B）实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算我们可以把该题还原为：已知复数满足，则_2（陕西卷理第12题）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A4,6,1,7 B7,

3、6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7本题注意敢联系实际，是近年来高考数学命题的一个特点此类题能较好地体现新课程改革的亮点，信息密码在现实生活当中无处不在，只要列四元线性方程组就能读出明文有关密码安全的教学尝试，可参考数学教学2006年第2期第4页的文章这里介绍四种简单的密码方案（以数字密码为例可映射到英文字母或汉语拼音）（1）置换密码把一个数字置换成另一个数字，必须是一一对应的（2）加法密码（）（如）（3）乘法密码（），为常数（4）仿射密码（乘法和加法相结合）（），互质，3（北京卷理第20题）在数列中，若 、是正整数，且,3，4，5，则称为“绝对差数列”（1）举出一个前五项不为零的“

4、绝对差数列”（只要求写出前十项）； （2）若“绝对差数列”中，,，数列满足 =1，2，3，分别判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项解：（1）解：,（答案不惟一）（2）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,即自第 20 项开始每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限 不存在当时, ,所以（3）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下： 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减

5、少下去，必然存在某项 ，这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.评析：本题是典型的开放、探索型数列新概念考题实质是递推数列问题，但命题者赋予了新的定义“绝对差数列”，同时为考生提供了一个广阔的自由开放的探索空间作为试卷的“压阵题”，能够使大多数考生在做题时较容易“上手”，但是要完全地答对就要求考生必须具备扎实的基本功及探索能力本题是一道区分度较强的考题，较好地体现了数学高考“压阵题”的特点由于新概念型考题能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力，从而成为近年来高考

6、命题的热点4（上海卷文第22题）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由解：(1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,当1c2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2c4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0x1x2,g(x2)g(x1)=. 当x1g(x1), 函数g(x)在,+)上是增函数； 当0x1x2g(x1),

7、 函数g(x)在(0, 上是减函数. 当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)是偶函数, 函数g(x)在(,)上是减函数, 在,0上是增函数评析：本题给出函数的性质，注重创新性和探索性，要求考生根据已给出的性质，对该函数进行深入的探讨，从数学的角度来讲，体现了实践能力对新颖的信息情境进行设问，以最有效的方法和手段正确地选择和提炼已给的信息综合所滨数学知识、思想方法进行独立的思考、探索和研究，从而确定解决问题的思路，创造性地解决问题我们再来看此题的姊妹题2006年上海市高考数学理科卷第22题：5（上海卷理第22题）已知函数有

8、如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）解：（1）易知，时，（2）是偶函数易知，该函数在上是减函数，在上是增函数；则该函数在上是减函数，在上是增函数（3）推广：函数，当为奇数时，是减函数；，是增函数，是增函数；，是减函数当为偶数时，是减函数；，是增函数 ，是减函数；，是增函数 当时， ，是减函

9、数；，是增函数 函数在区间，2上的最大值为，最小值为与文科题相比，该题在探究能力的要求上明显要高出一筹6（北京卷理第8题）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A B C D 解析：本题是比较新颖的实物图形信息迁移题，是从某三岔路口交通环岛的简化模型中得到信息，并对信息进行加工处理，把实际问题转化为数学问题，即建构数学模型本题看起来非常麻烦，分析这道题的时候可以把这些量固定住比如把当作一个起点，在动中求静来解决：到为，即

10、，到就是，即，从流走，所以到为，即这样就比出来，最大，最小7（湖北卷文第15题）半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于的式子：_式可以用语言叙述为_解：， 球的体积函数的导数等于球的表面积函数评析：本题是由低维到高维的类比型信息迁移题，是某种类型的结论迁移性、相似性的推理形式，它在发现科学奥秘方向要胜于逻辑推理的作用，因为一旦通过类比得到猜想之后，再进行检验多数是不难的同时该类题能够较好地考查考生的创造性思维和发散性思维，因此备受命题者的青睐，成为热点试题这种类比推广型的试题，在最近几

11、年的上海市高考数学试卷中，已是屡见不鲜二上海高考数学试卷中的类比、推广、构造型题（一）类比发现型通过类比得出新的结论是培养学生创新能力的重要方面，等差数列和等比数列又是高中数学中进行类比的典型例子。1（2000第12题）在等差数列中，若，则有等式（，）成立类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式_成立此题是把等差数列中的有关加法的性质向等比数列中有关乘法的性质推广的问题该试题的期初设计了以下几个问题：（1）给出等差数列的一般性质：在等差数列中，若，则有等式（，）成立若，则有等式_成立（2）给出等比数列的对应性质：在等差数列中，若，则有等式（，）成立类比上述性质，相应地，在等比数列中，若

12、，则有等式_成立（3）高考原题。（4）给出等比数列的一般性质：在等差数列中，若，则有等式（，）成立类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式_成立2.（2003年春第21题（3）已知椭圆（ab0）具有性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值，试对双曲线，写出具有类似特性的性质，并加以证明（二）拓展推广型3（1）（2001年第11题）已知两圆：与，则式减去式可得上述两圆的对称轴方程将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广的命题的一个特例推广的命题为：_本问题

13、设计的原始命题来源于：（1）如果两个圆方程相减可以得到它们的公共弦所在直线的方程；（2）两个圆关于一条直线对称的充要条件是两个圆的半径相等。此题中两圆半径均为，在推广时如果保持两圆半径相等，可以得到怎样的结论？比如：两个圆的半径相等，那么无论它们相交、相切、还是相离，已知两个圆方程相减所得到的方程都是两个圆的对称轴方程；进一步地我们还可以思考，如果两圆的半径不相等，那么能推广到怎样的结论呢？另外已知命题还可以推广到圆锥曲线，例如：如果两个椭圆的长、短轴长相等，长轴互相平行，且短轴在一条直线上，那么两个椭圆方程相减，可以得到已知两个椭圆的对称轴方程。4（2002年春第12题）如图，若从点O所作的

14、两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_该试题原来的设计是要求将一个特例推广到一般的情况：如，在三棱锥P-ABC中，平面a分别交侧棱PA、PB、PC于点D、E、F，若平面a平面ABC，则三棱锥的体积之比。若平面a不平行于平面ABC，则三棱锥的体积之比 。但从推广的角度考虑，用二维到三维的推广更有意义。5（2003年第19题）已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列求和：由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明本

15、题原设计为最后的“压阵题”：若实数a1、a2、a3成等差数列，则有a1-2a2+a3=0。将此性质进行推广，得命题1. 若实数a1、a2、a3、a4成等差数列，则有a1-3a2+3a3 - a4=0；命题2. 若实数a1、a2、a3、a4、a5成等差数列，则有a1-4a2+6a3 - 4a4+ a5=0.（1）命题1及逆命题是否成立？说明理由；（2）试将命题1和命题2归纳概括出关于正整数n的一个命题，加以证明.6（2004年春第20题）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点(1) 求证：；(2) 在任意中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两

16、个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明（三）设计构造型问题 7（2004年秋第21题）如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC为正四面体；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在

17、,请说明理由. 8（2005年秋第21题）对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xDf且xDg 规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDg g(x) 当xDf且xDg(1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+), 其中是常数,且0,请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.从考察创新能力出发，要求学生设计两个函数经过某种运算得到某个指定的函数，框架中试图体现函数的“因式分解”思想。最初的设计原型

18、是：利用函数模块y=f(x)，xD1，y=g(x)，xD2，和一个加法运算器可以构造如下的一个装置：当输入xD1但xD2时，输出F（x）=f(x)，当输入xD2，但xD1时，输出F(x）=g(x)；输入xD1D2时，输出F(x)= f(x)+g(x).设f(x)=arccosx，g(x)=-cosx.(1)求输出函数F(x)的表达式；(2)求函数F(x)的最大值，并给出证明；(3)利用函数模块，其中a、b、c、mz，以及一个乘法计算器，设计一个类似的装置，使得输出函数为：三类比与推广型问题举例例1（1）证明：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；（2

19、）试将上述命题中的抛物线改为其他曲线，写出相应的一个真命题并加以证明简解：（1）证明；（2）过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短（）例2（1）已知实数集合，证明：的充要条件是；（2）试对两个一元二次方程的解集写出类似的结果，并加以证明；（3）试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明（将（2）（3）结合就成为2003年高考第15题）解：（1），；（2）命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“”是“”的充分必要条件证明：充分性：若，即是方程的解，则，而非零实数和满足，设，则可得，所以，即是方程的解，即，于是同理可证，所以必

20、要性：如，若，即、是方程和的公共解，则，于是有注：如果在实数集上考虑，则“”是“”的充分不必要条件（3）如果系数和都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“”是“”的既不充分也不必要条件可以举反例加以说明例3在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题，并加以证明分析：与平面图形三角形相应的立体图形为三棱锥，与三角形中线相应的是三棱锥的顶点与底面三角形中线确定的截面这样，原来平面中是三角形的中线将三角形划分为两个面积相等的三角形，推广到空间如下的命题：过三棱锥顶点及底面三角形中线的截面平分三棱锥的体积DCBA例4在平面几何中有如下定理：若四

21、边形的对角线与互相垂直，则有试将这个结论推广到空间，写出相应的定理，并加以证明分析：平面四边形，推广到空间可以是空间四边形对角线和互相垂直，推广到空间也是和互相垂直，不过是异面垂直，猜想可能也有相同的结论DCABM证明：过作交于，连结， ， 平面，于是， 例5（1）用几何方法证明下列命题：若、，则； （2）将上述命题加以推广，写出相应的一个真命题，并加以证明分析：（1）将、和、分别作为平面直角坐标系中两点、的坐标，则所要证明的不等式转化为（三角形不等式）（2）可以推广到空间直角坐标系若、，则例6的三个顶点坐标依次为，则的重心的坐标为我们还知道，三角形的重心到每个顶点的距离等于对应中线长的试问能

22、还把三角形的这种规律推广到空间四面体上来？请叙述并论证你的结论解：我们有如下的结论：四面体顶点与其对面三角形重心连线相交于一点，且这点到顶点的距离为对应连线段长的，这点称为空间四面体的重心设四面体顶点，为的重心，则， ，在线段上取一点，使，则 点的坐标为例7空间勾股定理：将平面勾股定理推广到空间情形在三棱锥中，三条侧棱、两两垂直，则有什么结论？结论：有（证明略，请读者自行探究）例8已知对数函数f(x)=log ax具有性质：，试另外设计一个函数，使它也具有上述性质.四类比、推广与构造型问题的结构和特点：结构：1给出一个真命题2要求对类似的数学对象通过类比或进行推广后，写出相应的真命题，并加以证

23、明 3给定一定条件； 4设计构造符合上述条件的数学对象.特点：1要求发现新命题 2从平面推广到空间，从一元、二元推广到多元，从特殊推广到一般 3对类似的数学对象进行类比方法和策略：类比型1.理解给出的真命题和其中的概念； 2.根据题目的要求，运用类比法猜测出新命题. 推广型 1.已知拓展推广的方向；将已知条件中的数学对象推广为所要求拓展的对象，随 之问题的结论也业产生相应的变化； 2.拓展推广的方向不明确；这类问题只提出推广的要求，但不提出推广方向，这时就需要根据问题的特点首先确定推广方向，然后把它转化为上一类的问题。 构造型1确定构思方向；2初步设计构造；3验证是否符合要求；4继续试验不断修正。六类比与推广型问题训练题1（1）在等差数列中，设，（），其中、都是常数证明；（2）类比上述性质，相应地在正数等比数列中，写出一个类似的真命题，并加以证明2（1）已知等差数列，（），求证：仍为等比数列；（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明3下面是一个平面几何定理：底边长和腰长都确定的等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值试在正三棱锥中写出类似的结论并予以证明4（1）若椭圆的两个焦点是和，是椭圆上不重合于长轴端点的任意一点