初中(中考)《深本数学116解题模型》116句口诀覆盖中考全部解题套路(含配套母题143道PPT369页)

1、深本数学116解题模型（初中版）配套母题严正声明：本课件已经权威部门版权认证，购买后只限自己使用, 未经授权不得在任何媒体发布，更不得用于商业用途。一经发现, 将追究法律责任。您所付的费用购买的仅是自己的使用权，您无 权买卖或转让，请购买前慎重考虑。李潮学堂I i s h u mathematician【李谕学堂深本数学】专业 的初中（中考）数学培优辅导深本数学，立体通关; 深入本质，举一反三; 模型导学，难题不难。以概念、知识点的深度讲解为切入点，按照：“前世T今生今后续今 朋友圈”的顺序进行“地毯式”突破。做到知识、规律、法则不遗漏、无死角。深度讲解概念 精准归纳题型 有效题位训练 解题升

2、华技巧 模型经验积累“五位一体立体通关”教学法厂概念烂熟于心1 公式运用自如 题型掌握熟练 速度令人称奇L有效得分助阵获得了什么“经验” 学到了什么“技方 用到了什么“模型”Ls标：会；对；快T会不会对不对快不快目录1等角套 鸡爪图（旋转大法） 内含半角模型（截长补短+旋转大法） 将军饮马（牛喝水）一两村一路问题及拓展 妙趣横生的“十字架"（四边形十三角形） 中点处理策略五大模型角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加） 相似模型俱乐部 倍半角处理策略 三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化） 一次函数中K的颜值及其妙用 二次函数常用二级结论及解题套路反比例

3、函数中的几何模型及二级结论完美无缺的冲的模型）妙不可言、威力无穷的12345模型目录2 “魔鬼模型”婆罗摩笈定理及模型 方、不、函综合应用题解题策略 数与代数中的二级结论 正方体展开模型识记 方程与不等式重点、难点、易错点处理策略 瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加） 胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归） 最大张角（米勒定理）阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹）包头中考六道大题破解策略总结及示例作辅助线的的原则季渤学堂初中数学116解题模型完整版与初中数学紧密相关的几个历史人物初中数学通关口诀代数抓精髓；代入是关键。 算功过三关；解功四门槛。函数三姐妹；勾股三用途。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。几何要

4、通透；精髓是特殊。重点特殊图；识图定性判。代数一般式; 方程辨两类; 系数不为零; 统计要通关; 四图加一表; 数据分析透;两得全搞定。函数识三型。 指数要相吻。 两查走在前。 数据整理好。三差加三数。两图谈感情；特殊关系联。概率也不难;全等加相似；对称与旋转。平移与投影；位似也要算。考点说举做;条件挖隐含;思路技巧精;应用均同宗;元量同回代;做题改变找。 分类不漏点。 反思记模型。 关系是根本。 运算有六种O列表和树型; 鱼池鱼几多; 动点巧分类; 找准临界点; 代数两特殊; 数数拉关系;频率能估算。搞清总和分。应用记概型。最短牛喝水。相似巧破题。首先特殊数。方不与函数。关系大小等；再加倍比

5、分。 每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一 次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明乖 I直的三项功能。初中数学精髓1 .几何：两个字概括一一特殊：特殊图形；特 殊关系（全等、相似）。2 .代数：两个字概括一一代入：字母的含义代 入代数式、方程、不等式或者函数。3 .几何三大方法：全等、相似、勾股定理。4 .辅助线的认识对内分割对外补形5 .压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综口 O戏说数学之一代数特殊数死数（实数）1代数式（定义）整式Y有理式4L多项式J分式无理式整式方程相等关系

6、：等式及方程,一元（一次；二次）二元（一次方程组）活数（含有字母的数）I分式方程（可化为一元一次方程）数与数之间的特殊关系 不等关系：不等式（组）代数学什么？数以及 数与数的关系！I全部关系：函数与图象按照数的性质为代数式分类（死数（实数）永正数：非负数十正数I活数（含字母的数）非负数：平；绝；根代数式永负数：一（非负数+正数） 条件活数（川剧变脸）戏说数学之一一几何特殊图基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）厂全等关系图与图之间）,“一 的特殊关系 相似关系三角形（直角等腰）特殊图形 （ 四边形（平矩菱正）多边形与圆（正、圆）定义Y性质 一判定定义Y性质-判定普通图形（丑）（整

7、容）特殊图形（美）I变换关系 一对称一兴致一平移一位似一投影一视图几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系!学习几何要过四关 画图关：按照题意画图形。 语言关：文字语言（自然语言）、图形语 言、符号语言这三种语言的转换和翻译。 推理关：证明，推理的能力和步骤。 模型关：掌握常用的几何模型。® 诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。如图：若NAOB=NCOD （等角套：内套；外套） 则立得：NAOC=NBOD （理由：）等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两 个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用

8、之一一拨开云雾见天日！诀曰：歪八套，和歪A,形影不离似李生。特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）若ND=NC,这个图形为“歪8”， 显然aods/xboc,添油加醋一若ND=NC,这个图形为“歪8”，显然AODsBOC,添油加醋一连接AB、DC, AOBsDOC相彳以吗？为I什么？J八字倒角（共边等角，一等三等）：如图：如果NBAC与ZBDC； ZDAC与ZDBC； NABD与ZACDNBDA与NACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？（学了圆，理解、记忆更容易）/口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。1 .如图：ABC和4ADE均为等边三

9、角形, 连接BD、CE （手拉手），延长BD交CE 于F,连接AF。求证：ABDgACE NBFC=60° AF平分NDFE2 若把上题已知条件中的等边三角形 改为等腰直角三角形，NBAC和NDAE 为直角，请判断：上述结论有什么变化? 试证明你的判断。3,若把1”题已知条件中的等边三角形 改为顶角相等的两个等腰三角形，ZBAC 和NDAE顶角，请判断：上述结论有什么 变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为：ABC中, DE/7BC,把AABC旋转到如图所示的 位置。其他条件不变。请判断：上述 结论有什么变化？试证明你的判断。L如图：点B、C、D在一条直线上，ZkABC与A

10、ECD 都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。 证明：（l）ABCEAACD （BE二AD本质：等角套+旋转全等）CDFCEG ACBGACAF （旋转全等）ACGF是等边三角形。MC是NGMF的平分线。（以点M为顶点的角有 六个60°角，请你找出来并说明理由）。注意：2中的点M为AABC的费 马点：三角形中到三个顶点距 离的和最小的点！且这个最小 距离就是DC或BE （为什么？）2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点 反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的 “双等边三角形”。已知：为任意三角形，AB<AC, ZBAC<120° ,分别以AB、AC

11、为边向三角形 外侧作两个等边三角形：4ABD与AACE。其中 中的点及对应的字母如图所示。证明：BE二DCMA是NGME的平分线。（以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出 来并说明理由）。4AEG是等边三角形吗？ 为什么？ AE二AE吗？说明理由。母题三双正方形模型ADL如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形, G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证： BG=DE (2)BG±DE（内含：歪八套歪A十四点共圆，与圆结合：宝藏也）BF2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,BG交DE于H。求证： BG=DE (2)BG±DE（对、“1”，类比

12、推理）母题四L如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC 上的中点，E、F分别在AB、AC上，ED±EF, 求证：(DBE=AF4EDF为等腰直角三角形 (3)BE2+CF2=EF2(4)S»bc=2S 四边形 aedf2.在ar中,若EF与AD相交于G,其他条件 不变，求证：(1)ED2=EG-EA (2)GE-GF=GA-GDABC母题五(1)已知正方形中,对角线/C与3D相交于点O,如图1, 将色卫。绕点。逆时针旋转得到90C1 0C与CD交于点M 0B与BC 交于点M请猜想线段CW与3N的数量关系，并证明你的猜想.(2)如图2,将 中的友七丁点B逆时针旋转得到BOB

13、 连接)。 DC请猜想线段4。与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图3,已知矩形，3c。和Rt&lEF有公共点/,且乙4即=90。，连接图3图2图1母题六操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形月38上，并使它的直角顶点H在对角线月。上滑动， 直角的一边始终经过点的另一边与射线DC相交于点色设工、P两点间的距离为x.探究：（1） .当点0在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论5（2）当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为“求下与x之间的函数关系式，并写出x的取值 范围3 （3）当点H在线段月。上滑动时，PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，

14、指出所有能使P。 成为等腰三角形的点。的位置，并求出相应x的值；如果不 可能，试说明理由.（备用图）（备用图） 诀日：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过 角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与a 相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用 全等的性质去解决问题，事半功倍。如图：若已知AB=AC, AD是过A点的一条线段一一怎么做辅助线? 作AE=AD,且NEAD二/BAC （或：把线段AD绕A点旋转一个 与NBAC相等的度数），可以达到柳暗花明又一村的奇效。母题

15、七如图：等腰直角ABAC中，ZBAC=90° , D为 BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量 关系并证明。母题八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略；1而反 定力戒ABCD而看一Me, KEA=1, EB=2 i；EC=3,求NAEB的度数。；鸡爪一旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。如果AB=4, BC=3,求BD二？；2而国:ZABC=30° , ZADC=60° , AD=DC, ；求证：AB2+BC2=BD2图)W：图中直角=360- (360-30-60) =90如图：等边三角形ABC中，EA

16、=3, EB=4, EC=5 求NAEB的度数。母题十邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形!“邻补四边形模型” 口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。如图：四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90° ,且AB=AC, 求证：BD平分NADC=90(2)DA+DC=V2 BDS四边形abcd=1/2BD?特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短” 法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解 题能力。母题L如图：四边形ABCD中，ZABC=60° ， ZADC=120° 且AB=AC,求证：（DBD平分NADCDA+DC= BD（3）S四边形abcd

17、二手BD2特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了 什么变化？2.如图：四边形ABCD中,ZABC+ZADC=180° 且AB=AC, 求证：BD平分NADC问：“1”中的其它结论还成立吗？为什么？小结，拓展:上面是所谓的共点等线构成的，鸡爪图，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗?如图：若已知ABHAC,假定AB： AC=m, AD是过A点的一条线段一一 怎么做辅助线？作AD： AC=m,且NDAE二NBAC （或：把线段AC绕 A点旋转一个与NBAC相等的度数，并使AD： AE=m ）,会发生什么？ 有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现

18、了相似一一神气的一转成双!一、首先说明什么是“一转成双”：如下如图1所示：AADEAABC,将 ADE绕着点A逆时针旋转a角度后得到AAMN,如图1T1-2所示.连接BM、CN,则可证：AABMsAACN.且相似比为:AB1c不难发现: 新AABM和新AACN是由原来一对相似 ABC与 AMN的对应边AB和AM、AC和AN组合而成的.由一对相似得两对相似三角形，即“一转成双”.® A ABC AMN AABMsdACN. “一转成双”母题十二如图 2 所示,在 RtAACB 中,zACB=90tt rzCAB=30Q ,点口是AACB内一点,满足CD=1,BD=7LAD二国,求NAD

19、C的度数.分析s图形定量分析如下：在Rt ACB中，zACB=90ft , zCAB=30° .图2B则BC:AC:AB=1:石:2.我们将分散的条件通过旋转集中起来.方法 如图27所示：将A ACD绕点A逆时针旋转30° ,再放177 /s大彳倍，得至IJAABF.即AACDsAABF.所以：BF二彳,AF二*V3V3 V3连接DF,此时，Rt A ACB Rt ADF （一转成双）.所以,DF:AD:AF=1:方：2 且NAFDA&0：由于 A庐后，所以.DF=在根据勾股定理逆定理可证：A BDF为Rt 且/DFB二夕（T所以：ZADC=ZAFB=600 +90

20、" =150°诀曰:旋转+截长补短：破解半角模型一 共顶点，等线段，绕着顶点来旋转 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转 线段和，要得证，截长补短是正本 正方形，等直三，内含半角转一转母题十三正方形内含半角L如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的 点，且NEAF=45。,证明：EF=BE+DF证明ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。过A作AHLEF于H,证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G, AF于 M,连接EM、GFo GF与EM相交于。点。证明：BG2+MD2=GM2证明：4AGF与AAME是

21、等腰直角三角形证明：AE平分NBEF； AF平分NDFE证明：EABsEFG； A ADF EMF图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角 形可以自己去找。更多结论参考下页一一正方形ABCQ中，N£4F = 45。，则有卜列结论: 线段之间的关系：EF = BE + FDBG1 + *心=GA/2CE =鼻DM、DF = 6BC. EF = 6GMBM - DCi=Aii2BE DF _ 1CE FC = 2AM = EM.AG = FG的边上户上的高等于正方形的边长AfcFC的周长等于正方形边长的2倍角度之间的关系：/.AEB = /LAEF. 户石=Z4FD根据卜面共圆的结果,

22、每个共圆都至少可以得到四对相等的力.特殊三痢形：协5与5ME是等腰直用三加形ABEM. ADFC.GEFAh CEMF CEGE CEGMF 分别共圆面积关系：SdAEF = S&jiRE + 5a.4DFSdAEF = 2$ 丛GV$2 : Sd臼=加 3 ； EF相似关系,lAEF. AAWG. dBGE, dDAG, 8WA 相似；EFG AEA& ADF EMF母题十四邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）CL如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的 点，ZABC= ZADC= 90° 且NEBF=45° , 猜想并证明线段EF、

23、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的 点，ZABC+ZADC= 180° 且NEBF=l/2 NABC ° , 猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角AABC中，ZABC=90° , E、F都 是AC上的点，且NEBF=45° ,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题 其实就是母题十二“2”中的第一问！自造半角模型解体策略：三角形作高翻折!说明：上图依次是

24、45。、30°的三角形对称（翻折），翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等。（半角可以为任意角去折叠，常见度数还有22.5°半角）说明：轴对称有如下性质：把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。在反射变换下，任意两点A和B,变换后的对应点为A'和B',则有直线AB和直线A' B所 成的角的平分线为1。两点之间的距离保持不变，任意两点A和B,变换后的对应点为T和旷，则有研二A, Q中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴时称性质，可以帮助我们解决 一些计算和证明的几何问题。将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最

25、短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折好化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马七模型！一村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（异侧） 差最大母题十五函数中的将军饮马(四大模型)如图：平面直角坐标系中有A、B两点A (1, 3) ； B (4, 2) o若x轴上有一动点P,当PA+PB最短 时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。若x轴上有一动点P, y轴上有一动点 Q,当APQ的周长最短时，求出P、 Q两点的坐标，并求出此时APQ的 周长的最小值。若x轴上有一动点P, y轴上有一动点 Q,当四边形AQPB的周长最短时， 求出P、Q两点的坐标。若x

26、轴上有一线段EF,且EF=1,当四 边形AEFB的周长最短时，求出E、F 两点的坐标。备用图母题十六“变态的将军饮马”造桥选址问题直线h ”,在直线心上找一个点C,直线上上找一个点D,使得CDJL占目AC+ BD+ CD最也.作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度至点A：,连接A：E,交办于点D,过点D作DCJJ二于点C,连接AC.则桥CD即为所求.此时最小值为*B-CD原理：两点之间，线段最短，（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米,请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最矩？军营腺望台母题十七最小值BD如图，在等边ABC中，AB=6, A

27、DA.BC,石是NC上的一点，河是/D上的一点，/石二2,求EM+EC的两村一路解;.二点C关于直线AD的财称点是点，连接BE,交AD于点监 则1因兔0最小, 过点,B作BH1AC于点区贝“EH = AH - AE= 3 - 2=1,BH 二一商二 J6 y 二 3小在直角3HE1 中,be = JbH,-EH，二回/如+F二25母题十八两村一路如图,正方形月28的边长为 M在少C上, 目DM=2, N是.4C上的一动点.，ZW+ AW 的最小值为 O母题十九两村一路如图所示，正方形ABCD的边长为6, AABE是等边三角形. 点E在正方形ABCD内，在对角线前上有一点P,使PD+PE 的和最

28、小，则这个最小值为.3母题二十“变态的”两村一路：固定变量法一如图，若四边形月E8是菱形，AB=Wcm, Z-45O450E为边3C上的一个动点，P为BD上的一个动点求PC+PE的最小值；母题二d答案:先设E点不变，画出P点后在确定E的位置！固定变量法解：点C关于BD的对称点是点，月, 过点/作AE1BC,交BD于点巴 则工区就是PE+PC的最小值在等腰及必中,求得AE的长为5母如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3. P为矩形ABCD 内一点，若矩形ABCD面积为APAB面积的4倍， 则点P到A, B两点距离之和PA+PB的最小值为BD由面积关系得：EF与BC的距离为2, 所以，B点的

29、对称点是A,连接AC, AC=5=PB+PC如图，在五边形 ABCDE 中，ZBAE=136° , ZB=ZE=90° , 在BC、DE上分别找一点M、N,使得AMIN的周长最小时. 则Namn+Nanm的度数为.D解答:如图，VZBAE = 136" , 二 NhN A+N岫"A=44”由对称性知，ZfflAA7 =ZMAZ A,ZNAA/y =/MT A, ZATOI+ZANM=2Z1IA/ A+2/岫" A=88°D母题二十三一村两路L如图，NAOB=30° ,点P为NAOB内部一点, 且0P=15, OA、OB上分别

30、有两个动点M、N, 当AMN的周长最短时，求周长的最小值。1 .如图，点P为NAOB内部一点且0P=15, OA、0B上分别有两个动点M、N,当AMN的周长 最短为15时，求NAOB的度数。母题二十四两村两路N如I图：矩形ABCD中，AC=6, DC=4, DM=1 BN=2, P、Q分别为AB、AC上的两个动点， 当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最 小值。母题二十五两村一路差最大如图：平面直角坐标系中，A、B两点的 坐标已知，在x轴上有一动点P。.A (2, 2)当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求、出|PA-PB|的最大值。B (8, -6)©十字架模型：诀曰：三角形

31、，四边形，十字架中有乾坤又改斜，又改正，横平竖直有矩形。母题二十六【正方形内的十字架结构】1、在正方形ABCD中, BN±AM,则常见的 结论有哪些？垂等图2、在正方形ABCD中， E、F、G、H分别为AB、 CD、BC、AD边上的点, (1)若EF_LGH,证明: EF=GH若EF二GH,证 明：EF±GH结论:ADMABANAM=BN法路习学ffi方a学数精过点H作HN1BC,过点F 作 FMj_AB结论：HNG逐FMEGH=EF以上结论，称之为“垂等图” ！以上方法：改斜 归正，横平竖直。Br母题二十七如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠， 使得点A落在CD的中点

32、E处，折痕为FG,点F 在AD边，求折痕FG的长；解析【解析】连接AE,由轴对称的性质可知， AE±FG (应该是FG垂直平分AE) 这样就可以直接用上面的结论啦!所以由垂直得到相等，所以FG=AE=()感悟：慧眼发现十字架!母题二十八【思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩【十字结构在矩形中】形内出现垂直会有什么结论呢?CE _ CD _ m BD -BC1、如图，在矩形ABCD 中，AB=m, AD=n,在 AD上有一点E,若 CE±BD,则CE和BD之间 有什么数量关系？证明 请。图1图2注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立2、如图1, 一般情况，在矩形ABCD中，

33、E、F、G、H分别为AD、BC> AB、CD 边上的点，当EFLGH时，证明：FMEsGNHEF：GH=AB：BC母题二十九如图，已知直细=-卜+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，将AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数y =-经过点D时，求k的值. XVD解析【解析】求出点D的坐标就 好啦！这个题学生不会做， 主要是图不完整，太空啦！ 所以把它围成一个矩形就 好啦！（如图）发现连接0D后，有ODLAB （发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）母题三十所以有段二g|二空，0D和AB均可求出来 AO OB AB易求A (0,2)B (% 0)所以 AB=27?j OD=2OG在A

34、ab。利利用面积法可快速求出g孚，所以皿苧所以红二匹二号二士242后 5所以ED=§, OE="，所以D (三,55516 128X =525如图把边长为AB = 6, BC = 8的矩形ABCD对折, 使点B和D重合，求折痕MN的长.答案15我们知道直角三角形是可 以看成是连接矩形对角线 后分成的图形。所以矩形 的结论可沿用至直角三角 形内在RtZXACB中，AC=4, BC=3,点D为AC上一 点，连接BD, E为AB上一点，CE±BD,当 AD二CD时，求AE的长；母题三十二A在RtZkACB中，AC=4, BC=3,点D为AC上一 点，连接BD, E为AB

35、上一点，CE±BD,当 AD=CD时，求AE的长；【解析】如图， 补成矩形ACBH, 延长CE交AH于点 G所以有结论BSsACg所以黑二受二言,AG=-, CG=z£ 3 一所以设 CEf EG=z2-x38 20所以祟=兽，即?=匚BC CE 3 x如图:再用一次X型相似即可如图，在RtABC中，ZABC=90° , BA=BC,点D为BC边上的中点，BE±AD 于点E,延长BE交AC于点F,则AF： FC的值为.简答 如图，在RtABC中，ZABC=90° , BA=BC,点D为BC边上的中点，BE±AD 于点E,延长BE交AC

36、于点F,则AF： FC的值为.分析：八字相似得：AF： FC=AB： CG 又全等得：CG=BD所以：AF： FC=AB： BD=2推广：此题变式：BD： DC=2： 3,则：AF： FC=() 族口图，在RtAABC中，NAC3=90° , AC= BC, ZABC=45° ,点。为BC的中点， CE_LAO于点其延长线交A5于点后 连 接“F.求证：ZADC= ZBDF.证明：如图，过点J5作方交CF的延长线于点G.VZACB=90° , /.Z2+ZACF=90° .VCE±AD,AZ1 + ZACF=18O°-ZAEC=A Z

37、AEC=90 ° ，好学生都用点拨180° -90° =90° .N1 = N2.在八!。和C3G中,(Z1 = Z2,ac=cb,'ZACD= ZCBG=90° , AACDACBG(ASA). ：.ZADC=ZGf CD=BG.点。为3C的中点，：.CD=BD.：.BD=BG.又./。36=90° , NOB方=45° , :.ZGBF= ZDBG- NDBF=90° 45° =45° ZDBF=ZGBF.在和BGb中，BD=BGtNDBF=NGBF,、BF-BF9：.ABGF(S

38、AS).:.ZBDF= NG :. ZADC= ZBDF.母题三十四【十字结构在其他四边形中】本题运用了构造法，通过作辅助线构造CbG, 3G方是解题的关键.还可以用十字架来寻找 思路.1.如图，把边长为AB= 2收BC = 4且NB=45°的平行四边形ABCD对折,使点B和D重合，求折痕MN的长.母题三十五若BA二BC=6, DA=DC=8, ZBAD=90° . DE±CF,请求出DE： CF的值.简答 如图，把边长为AB= 23BC = 4且NB=45°的平行四边形ABCD对折, 使点B和D重合，求折痕MN的长.【解析】看着不熟悉吗？怎么转换为熟悉

39、的模型呢？ 看下面，补成矩形不就好了!州三BD=2%/10 j DF=2)BF=6,所以 MN二BD BF3【解析】咋一看，又是个不规则的图形再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的 图形再利用一下条件，可算出BD=10,发现 BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢将这个图形补成矩形所以，由前面得到的结论，可知分二三共 CF AM眼尖的言五君发现了熟悉的一线三等角模型所以ABMCSACND,且相似比II二4 4设 BM二X）所以 CN=-x MC=8-x 335 4所以撅二：,即片二；ND 46+x4自"日42 rrpi42 192解胃，所以AM=6+

40、=2525 25所以 DE _AD_ 8 _25所以五一父丁诙一五25母题三十六工喻硼】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形 两邻边的数蚩关系进行探究,提出下列问题，请你给出证明.汨图1,矩形ABCD中，EF1GH, EF分别交CD于点巳F,FF ATGH分别交AD, BC于点G, H.求证：=5GH AB1结论应用】如图2,在满足的条件下,又AM_LBN,点mN分别EF 11BN在边BC, CD上，若二=匕, 则会的值为GH 15AM 【联系拓展】(3)如图 3,四边形 ABCD 中,/ABC=90 AB=AD=1。，BC=CD=5,DNAMI DN,点M, N分别在边

41、BC, AB上，求的值.AM答案：U略3 (2)U母题三十八附2：等腰三角形中的斜十字如图：ZkABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，G为AD、BE、CF的交点，且BD：DC=2： 1 求：AG:GE图中三边三线被分成的六个线段比知二求四!1 .平行线截线段成比例定理的应用。2 .三角形三条中线交点（重心）的性质定理。如图：AABC是等腰三角形，D、E分别 是BC、CA上的点，AD、BE相交于点F, ZAFE=ZC求证：(DZkAFEs/ACDDBFs/XDABBDFs/XBECADBsBECB(5)D、C、E、F四点共圆中点解题策略（五大模型）诀曰：见中点，造垂径，中位倍长加斜中

42、。 等腰中，造三线，两个条件快补全。A取另一边中点构造中位线CC连接中线 “角平分线、中 点、垂直”只要出 现了两个条件，考 虑补全为等腰三角 形三线合一模型。B母题三十九1.如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点, 连接BE并延长AC于点F, AF=EFo求证：AC=BE。AD倍长中线，立竿见影!2.如图，在4ABC中，AB=12, AC=20,求BC边上中线AD的范围。I倍长中线，柳暗花明！1.如图” = XC, F为QE中点，2求证：BD = CE.A£是。中点，EFII DAr若BG = CF,求证一切平分NAJC.BEBE DC2解答g寸使EH=EF，

43、连接蜉 延长FE到点H'便7H在AFEC和heb中'FE = HE< Z1 = Z2、CE= BE.KES班5 (.SAS) J4=/FBH=CF; BG = CF:,BG = BR，NH=/3 = N4 = NF,ef!Iad/.Z4=Z6, /F=/5 J.Z5 = Z6AD平分/BMC母题四寸倍长中线，思如泉涌!如图，CB是ZUEC申线，CD是ZUBC申线, .46=45,求证：(1)2CD=CZ.Q)C3B母题四十二三线合一 +等角套+旋转大法+类比探究已知 Rt2kABC 中，AC=BC, Zc=90° , D 为 AB 边的中点, 、A八/EDF=9

44、0" , /EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F。（1）当/EDF绕点D旋转到DE1AC于E时（如图），求证:+ S式:EF（2）当/EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SqeF ' 3£斯、又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明。母题四十三等腰中，造三线，两个条件快补全。三线合一+中位线例1 ：在巴ABC中CD平分/ACB r ADJ_CD于DrE是AB中点,AC =1.5,BC =27 r求DE的长.分析：本题中r点E已经是AB的中点由CD平分/AC

45、B,AD±CD r想到可以构造等腰三角形,利用三线合一使点D成为另一个中点,从而让ED变成看得见”解答：延长“交死于ES平分/2C3, WDJLCD, /NCA/FCD zUDC=NFDC=9r,.ACAD=ZCPD：.ACCF, ADFD又是,45的中点，D是用的中点DE是上3F的中位线，,死=与尸=幻C- G =3 C-.4 Q=6母题四十四女口图二ABC中r zB r /C的平分线BErCF相交于Or AG_lBE于G r AH±CF于H.(1)求证：GHllBC ;若 AB = 9 r AC = 14 rBC= 18 r 求GH .（3）若将条件 ZB, /C的平分

46、统"改为”/B的平分统及/C的外角平分线“（如图2所示），或改为, zC的外角平分浅“（如图3所示），其余条件不变，求证：结论补全三线合一 +中位线(角平分线+垂直：三线合二BGHIIBC仍成立.分析，与上例类似,有角平分线，有垂直，延长构造等腰三角形，利用三线合一. 解答：证明：分别延长2G, AH交BC于M, N,在aABM 中 BG 平分/ABMBG±M, /.Zabg=Zhbg； ZBGA=ZBGM=90°岫.G是必的中点.同理CA=C% H是AN的中点，. IGH 是画的中位线,HG/W, HG/ BC.A由知 r ABGMBG r 上ACH2NCH /

47、.MN= BM + CN - BC = AB + AC- BC = 9tG）无字证明如下，相信同学们都能看懂.r /.AB = BM = 9 r AC = CN = 14.14 - 18 = 5母题四十五造双中：如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB边的中点FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点,求证：/AHF = /BGF .F分析：与例1的变式类似，要借助其 他两个相等的角转化，考虑到 对边相等，则构造ADBC的 一半即可，则需要构造中位线f 自然想到对角线AC的中点.解答:证明:连接工G 取且C中点.W，连接J困4P.E是 8的中点，"是且C的中

48、点，初/是小h元的中位线，EM/AD. EM=aD JF If是"的中点，F是上5的中点， F_W是/5U的中位线，J./F/BC,且电片 4c'AD=BCr瓦讨=.10 /.1日=/1旌. ： EM*AH, ：.ZX/E：F=ZAHF ； FY* BG ：,ZX/FE=ZBGF&HF=£5GF.母题四十六1 .如图,边长为2的正右形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动r始终保持EFIIAB ,送段CF的中点为MDH的中点为N r则线段MN的长为2.如图在3BC中r若/B= 2zC f ADjlBJ E为BC边中点r求证：AB = 2DE .答案

49、解析解：如图，将正方形EFDGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MOLED与0,则M0是梯形FEDC的中位线,1 , 、/.E0=0D=2, M0= - (EF+CO) =2.一点N、M分别是AD、FC的中点，3，AN = ND 二,23 1A0N=0D-ND=2-=. 99在RTaMON中，MN 2=M0 2+0N即MN二取特值（图形或位置特殊化）的妙用！口诀：选填题，巧测量，排除代入特值上2.的图解，EF为中位线，综合 已知条件易得：DE=DFo OK图中有角平分线,可向两边作垂线。角平分线加垂线,三线合一试试看,角平分线、平行、等腰三个条件知二推一等腰三角必呈现。图中有角平分线,

50、可将图形对折看。角分线加平行线,若BM和CM 为4ABC的 角平分线。NBMC=()A若BD和CD 为4ABC的 内外角的角平分线。ZBDC=()A若AD和AE为ABC的高和 角平分线。则 NEAD=( )直角三角形斜高=两条直角边的乘积除以A斜边。等边三角形的 面积=四分之 根号三乘边长 的平方。母题四十七已知N1 = N2, Z3=Z4,求证：AP平分 NBACA【提示】“图中有角平分线，可向两边作垂线”母题四十八已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90° , AB=AC, BD平分NABC, CE±BD,垂足为点E,求证： BD=2CE母题四十九角平分线+垂直二构造三线合一；找全等：4CAF会4BDACE=EF=1/2CF=1/2DB作辅助性的本质就是：补全图形！1 在三角形