专题03随机变量的分布列、期望、方差-2019浙江高考数学试题探源与变式

1、2019浙江高考试题探源与变式专题三随机变量的分布列、期望、方差【母题原题1】【2019浙江，7设。则随机变量X的分布列是:X0a1P2 3132 3则当。在(。,1)内增大时()B. Q(X)减小D. O(x)先减小后增大A. D(X)增大c. o(x)先增大后减小【答案*】D【解析】方法1：由分布列得E(x)=彳，则0(X) =-0 x- +1x- +313i) *泻(吗)4*则”在(0,1)内增大时，O(X)先减小后增大.故选D.【母题原题2】【2018浙江，7设随机变量孑的分布列是g012pl-pP221则当在(0, I)内增大时,A. D (c)减小 B. D 增大C. D(4)先减

2、小后增大 D. D (先增大后减小【答案*】D【解1-pE(O=0x-y +pX-+2x-=p22nnn点睛：E0 = Z%Pi，D© = Z(xE©)% = x/pj-E2). i=li=li=1【母题原题3】【2017浙江，8)已知随机变量。满足P (。二1)二口，P(q=0)=l-p：, i=l,2.若 0<p1<p3< i ,则2A. E(§)< E(Q D«,)< D(4) B. E信)< E($), D(4)> D(%)C. E信)E,D(1)< D(刍)D. E(§)> E($

3、)，D(4J> D©)【答案*】A【解析】E(4) = P,EG) = p” .E信)<E).VD«I) = A(l-pI),D() = p2(l-p2),：。(灯一。© ) = (Pl - 2 )。一 P2 ) <。，故选 A.【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后 利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的随机变量, 其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽 到的某类个体的个数.由已知本题随机变量,服从两点分布,由两点分布数学期望。方差

4、 的公式可得A正确.【命题意佟I】1.分布列的概念及其性质；2.考查期望、方差的关系及其计算公式；3.考查运 算求解能力、分析与解决问题的能力.【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与 排列、组合、概率等知识综合命题.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在 实际问题中的应用，是高考的主要命题方向.近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要 考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质 的应用，逐渐形成稳定趋势.【答题模板】求离散型随机变量均值、方差的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值：(2

5、)求X的每个值的概率：(3)写出X的分布列；(4)由公式求出E(X)、方差.【方法总结】1 .求离散型随机变量均值、方差的基本方法已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解：(2)已知随机变量看的均值、方差，求g的线性函数的均值、方差和标准差，可 直接用4的均值、方差的性质求解：(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们 的均值、方差公式求解.2 .六条性质E(C)= C (C为常数)(2) E(aX+b) = aE(X)+b (/为常数)(3) E(Xi+X2) = E(X1) + E(X2)如果X,匕相互独立，则七(X1

6、 X2) = E(X J E(X?) £>(X) = E(X2)-(E(X)2(6) D(aX+b) = a2D(X)3.均值与方差性质的应用若X是随机变量，则 = /(X)一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.生事源而腐秘一、选择题1.【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】设随机变量J的分布列是一c012P1P2则当在(0,1)内增大时()A. E(9减小,。优)减小B.石侑)减小，D&)增大C.4乡增大，。值)减小D.石侑)增大，增大【答案*】A【解析】由题意得E4) = Ox: + lx4 + 2

7、x? = l-4，所以"在(0,1)内增大时，颐§)减少: 22220(4 = 。一 (1_7)2x； + 1 (17)x§+2 (1 §)2xF = 1 乙乙乙乙乙乙乙2所以当P在(0,1)内增大时,。(乡减少.故选：A.2 .【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知随机变量X的分布列如下表:X-101PabcDX<-其中。力,c > 0.若x的方差3对所有a e (0,1 -田都成立，贝ij()0<bW之A. 320<b 4 B. 3<b<l C. 3【答案*】D【解析】由x的分布列可得：X的期望为EX=

8、-a + c, a + b+c = l, 所以X的方差OX = ( - 1 +q -c)2q + (a-c)2/? + (1 + q-c)2c =(a-c)2(q + b + c) - 2(a- c)2 + a + c =- (a-c)2 + q + c,=-(2a - 1 + b)2 + l-b=-4a-+ 1因为aw (0,1)_l-b所以当且仅当“=亍时，DX取最大值1-6，1122DX < . x1 二 b 二又 3对所有aW(0,l-b”；成立，所以只需3,解得 3,所以3故选D3 .【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】已知随机变量的分布列如下，则E (，)的最大值是()-10

9、aP1 412 1。-b 4515119A. 8B. 64C. 4D. 64【答案*】B【解析】=_ 庐 + 二 b 化简得到4 4,根据：根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0, 0. ) =- 1 x + q( b =根据公式得到4" J 4_15次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到- 64. b =- 此时 8.经检验适合题意.故答案为：B.0 < a < -4.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知 4,随机变量的分布列如下：-101p341一 a4a当a增大时，（）A.夙C增大,，（）增大 B.凤）减小，（）

10、增大C.爪6）增大，（f）减小D.凤f）减小，（）减小【答案*】A3E （£） =a 【解析】分析：由随机变量 （ 的分布列，推导出4,从而当a增大时，E571D （）=-to） 2+0<。<增大：44.由 4,得到当a增大时，。纥）增大.3E （O = a 详解：由随机变量§的分布列，得4, I.当碉大时，E «）增大；D（C = -l-a + 2x5 +（0-a + 1j2x-aj + l-a + |j2xa=-a2 + |a + =-fa-）2 + - 0 < a < -k 4/4, 4,，当砒大时，D增大，故选A.5.【浙江省宁波市

11、2019届高三上期末】已知S是离散型随机变量，则下列结论错误的是（）A Pg如咐蜀b.（E（*的C. D（f） = D（l-0 D. D（f2） = D（l-f）2）【答案*】D【解析】P（田蜀二。卜沁蜀4P伏蜀二当“ 丁， 在 A 中，I 3J 33/ I 3） 33 ）,故 A 正确；在B中，由数学期望的性质得国产工四9），故B正确：在c中,由方差的性质得。延）=。（1-9,故c正确;在 D 中,。/）工。（1-92） = 4。（9 +。6）,故 D 错误.故选D.6.【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量4（，= 1,2）的分布 列如表所示：012P£

12、 3Pi2丁 Pi1 2若。V P < V 2 V q，则（） 23A.凤。）七©）,。（。）<。值）B.矶猫伊仁）,。信）.俗）C. EE（蜃），。佃）> D（4）D. E,E体）,。信）> D值）【答案*】D【解析】由题意得E信）=P, + 2（| - J =/不1 2V0<Pl<-<p2<-E（4）>E（&）。（。）=苴。一同刍）丁 + /山一七©）丁+（|，2 七（同2。(刍产外化一力 +/,力 +(1-,)产3) 3) 5 ) 51Q9 1设/(x) = V - 1工+ ；,则x)在0,二上单调递减.3

13、93 >1270<<-<2<-.。信)>。信) 故选D.7.【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量的分布列如下:-101Pabc其中a, b, c成等差数列，则以的最大值为（2523A. 3 B. 9 C. D.【答案*】A 28=a + c, a + b + c = 1, b = -,c =a,【解析】因为4 b, c成等差数列，332 * =- a + c =- 2a + §Df = ( -1 + 2a -1)2 x a +(2a -|)2 x b + (1 + 2a -1)2 x 6 - aj=-4a2 + + ( =- 4(a -

14、 + + U3933 32则。1的最大值为§ .本题选择4选项.0 < a < 一8.12017届浙江省高三上学期高考模拟】已知 2,随机变量6的分布如下:-101Pa12012当。增大时，()A. E(9增大,。延)增大B. 减小,增大C. £(0增大,D(9减小D. £仔)减小，D(f)减小【答案】BE() =- Q + ?【解析】由题意得，2,19191191员。= (-a + - + l)2xa + (-a + a)+(-a+-I)2 x - 乙乙乙乙乙2cl 八 1=_q/ + 2q + -0<a <-c,八 八4,又： 2, J

15、故当Q增大时，减小，。(打增大，故选B.9.【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量§满足尸传= O) = L9?p(g = l) = x, p(g = 2) = 士一X,若0<xv±,则()A. E(J)随着工的增大而增大，0(4)随着X的增大而增大B. E(J)随着大的增大而减小，。(与随着x的增大而增大C. E(J)随着x的增大而减小，。/)随着x的增大而减小D. E(J)随着x的增大而增大，。(劣随着X的增大而减小【答案*】C【解析】,随机变量看满足尸(4 = 0) = ：, P(J = l) = x, P( = 2) = j-xE(J) = 0

16、x； + lxx + 2xD)=+37 33； V 3;=一.一 一 X + - = - X d + 39 I 6 J 120 < x < 3.E(4)随着X的增大而减小，O(g)随着X的增大而减小故选C二、填空题10.【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量X的分布列如下表:Xa234P13b1614若EX = 2,则a =； DX =5【答案*】0. 2【解析】+/> + - + =l,Ab = - 由题得36441111所以EX = ax + 2 X + 3x + 4x = 2 3464解得a=0.DX = (0 2)2 .：+(2-2产：+ (3-2)2.；+ (4-2)2.： = . 所以3464 25故答案为：0, 2-102PX13y1L【浙江省2018年12月重点中学高三期末热身】已知随机变量的分布列为:若则+ > =：.214【答案*】§§【解析】由分布列的性质以及期望公式可得, 12X = V = - X + V =-解得 3.3.-lxx+0 + 2y = i1%+y+=13,*,D(c=('i4)2x§+(°4)24