2020-2021学年中考数学压轴题的满分攻略-几何计算域说理计算问题

1、几何计算说理与说理计算问题【真题典藏】1. (2007年上海市第24题)参见考典 35 梯形的存在性问题第 1题，如图1.2. (2008年上海市第24题)如图2,在平面直角坐标系中，O为坐标原点.二次函数 y=x2+bx + 3的图像经过点 A(1,0),顶点为B.(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点 B的坐标；(2)如果点C的坐标为(4,0) , AEXBC,垂足为点E,点D在直线AE上，DE= 1 ,求点D的 坐标.图1图23. (2010年上海市第24题)如图3,已知平面直角坐标系 xOy ,抛物线y=- x2 + bx+c过 点 A(4,0)、B(1,3).(1)求该抛物线的表达

2、式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线1,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为 F,若四边形 OAPF的面积为20 ,求m、n的值.1 - t fa j7 O 1 2 3 J图34. (2012年上海市第24题)如图4,在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2+6x+ c的图像经过点A(4, 0)、B(1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上，OD = t，点E在第二象限，/1ADE = 90 , tan DAE 一，EF± OD,垂足为 F. 2(1)求这个二次函数的解析式;(2)求线段EF、

3、OF的长(用含t的代数式表示)；(3)当/ ECA = /OAC时，求t的值.我们用三种方法证明第 1题( 2007年上海市第24题)的第(2)题DC/ AB:方法一，由于点B(a,b)在双曲线4y工上，所以bDE xA因为 DB xB1生些a CA yA4£1包一，所以4 aDE CE，因此DC/AB.DB CA这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”方法二，因为tan CDE E- 在f tan DE xE aABE BlyA VeXb Xe所以 CDE ABE,因此 DC/AB.方法三，如图6,由反比例函数的图形与性质，知4AOC与ABOD的面积相等.图5中的 ADC与图6中

4、的 AOC的面积相等,图 5中的 BCD与图6中的 BOD的面积CD的,相等，经过等量代换，图 5中的 ACD与 BCD的面积相等.因为这两个三角形是同底因此它们是同底等高的三角形，所以DC/AB.巾y图5图6其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明.D的坐标是几何计算.第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点2,22准备动作：yx2 2x 3 （x2 2x 1 4） （x 1）2 4 .罗列点：A（ 1,0） , B（1,4） , C（4,0）.画图：先画直线 BC,过点 A向BC画垂线，垂足为 E.拿起圆规，以E为圆心，1长为半径画圆，圆与直线 AE有几个交点？这就

5、是行动体现思想，你 画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D有两个（如图7）.试问有必要画抛物线吗？解题的过程反复用到数形结合思想一一不要问为什么一一拿来就用.示范一下：2)作FFIx粕，。开li粕,转.垂足分别为匕 乩 BF 4在 B1A5CF 中.BF - 4,BC- 1二 sinZBCF - BC 5AE 4在 Rt4月C1 中 *- 5j sin - 一 1 4 , AC 5 W 9412当3 时，在 Rt/VIDH 中.=- AD = - , AH = - AD =,5555OH. 才4：T RL-.4 rrir- .-A/.).<-A/)I .5|当DE-L在5时|:.OU =

6、.4/7-1 = 3. aZ),(13).注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力.2)题,第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（ 否则就是徒劳无益.第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图.抛物线的表达式为 y=x2+4x,对称轴为直线 x=2,顶点坐标为（2,4）.第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图 8,只要顺次画出点 A、 对称轴、点P的大概位置（在点 A的右下方）、点E、点F,就可以直观感受到，四边形 OAPE是等 腰梯形，四边形 OAPF是平行

7、四边形.说理是关键的一步：VO。入E与P都X抛物线的对称一对称:二四边形OAPE是等概梯 1 OA EP.ZE-ZP,YE。1夫尸岫对称.二AOEF是等腰二坨形，ZE-ZOFE.，NCFE - /P, OF AP.二四边形&4PF是平仃四边形.平行四边形 OAPF的底边OA=4是确定的，高是点 P至ij x轴的距离，用点 P的纵坐标表示为 -n,列方程4 n = 20容易求的n = 5.解方程m2 + 4m= 5,会得到m有两个解，根据题目 条件“点P（m,n）在第四象限”舍去不合题意的解.如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：V因为我心）与E关于直线1=己而

8、称，二呼4一日】内）.| 丁因为F与史关于1轴对称，:即6）, .PF=OA=4.又PF/ OA,二四造形是平行四边胫这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标（4-m,n）.图8第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE ： AD = 1 ： 2,既是RtAADE的两条直角边的比，也是两个相似的DEF和AADO的斜边比.第（1）题求得抛物线的解析式y=- 2x2+6x+ 8,与y轴交于点C（0 , 8）.已知/ADE=/ EFD= 90 ,所以/ DEF与/ ADO 者B是/EDF的余角.因此/DEF= / ADO .所以DEF ADO .因此 RL 空AO DO1

9、, ，于TE倚到DF 2 , EF t .所以OF2DEADDFEF 1T 2图9图10第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当/ECA = / OAC 时，如果延长 CE与x轴交于点M,根据等角对等边，那么 MAC是等腰三角形,MA = MC .这样我们作 AC的垂直平分线先找到点 M,在MC的适当位置画一个点 E,这样示意图就画好了.如图10,设AC的垂直平分线与x轴交于点M,那么MA = MC , / MCA = / MAC .ECA = /OAC 时，点 E 在 MC 上.由于因此A AO cosA -ACAC2MA - 2AO1 AC2一，而 OA =4, OC =8, MA

10、10 .所以 MO =6.所以AC 475.AD 2第（2）题，如图9,在RtAADE中，已知tan DAE 1,所以把11t由EF/ MO ,得解得更CF,即/8 « 2) MO CO 68考典40几何计算说理与说理计算问题1 .如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2+6x+c的图像经过点 A(4, 0)、B(- 1,0),1与y轴交于点C,点D在线段 OC上，OD = t，点E在第二象限，/ ADE=90 , tan DAE ,2EFL OD,垂足为F.(1)求这个二次函数的解析式；(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示)；(3)当/ ECA = /OAC时，

11、求t的值.2 .如图2,已知 ABC中，/ ACB = 90。，点P到/ACB两边的距离相等，且 PA = PB.(1)先用尺规作出符合要求的点P (保留作图痕迹，不需要写作法)，然后判断 ABP的形状,并说明理由；(2)设PA=m, PC=n，试用m、n的代数式表示 ABC的周长和面积；CD CD(3)设CP与AB交于点D,试探索当边 AC、BC的长度变化时，CD CD的值是否发生变化,AC BC若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由.3 .在 ABC 中，/ BAC = 90 , ABvAC , M 是 BC 边的中点，MN ±BC 交 AC 于点 N.动 点P从点B出发

12、沿射线BA以每秒J3厘米的速度运动.同时动点 Q从点N出发沿射线NC运动， 且始终保持MQ XMP.设运动时间为 t秒(t>0).(1) 4PBM与4QNM相似吗？以图3为例说明理由；(2)若/ ABC =60 ° , AB 4褥厘米.求动点Q的运动速度；设 APQ的面积为&平方厘米)，求S与t的函数关系式；(3)探求BP2、PQ2、CQ 2三者之间的数量关系，以图 3为例说明理由.图34.在RtAABC中，AB=BC = 4, / B= 90 ° ,将一直角三角板的直角顶点放在斜边 AC的中 点M处，将三角板绕点 M旋转，三角板的两直角边分别与边 AB、BC

13、或其延长线上交于 D、E两 点(假设三角板的两直角边足够长 )，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形.(1)直角三角板绕点 M旋转过程中，当 BE=时， MEC是等腰三角形；(2)直角三角板绕点 M旋转到图1的情形时，求证：MD = ME；(3)如图6,若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设 AM ： MC = m ： n(m、n为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由.图4图5图6DE 1AD 2已知/ADE=/ EFD= 90 ,所以/ DEF与/ ADO 者B是/EDF的余角.因此/DEF= / ADO .所以DE巾 ADO .因此RL 空AO DO1于是得到DF

14、2 , EF -t ,所以OF2DEADDFEF 1T 2口1到图1(3)如图2,设AC的垂直平分线与 x轴交于点那么 MA = MC , / MCA =当/ ECA = /OAC 时，点E在MC上.AO 由于cosA -AC因此MA应 2AO1 AC2一 ,而 OA =4, OC =8, MA10 .所以MO = 6.所以AC 475.EF/ MO ,得EFMOCFCO1t即 2 8 (t 2)解得考典40几何计算说理与说理计算问题21 . (1) y= 2x +6x+ 8.1(2)如图1 ,在RtAADE中，已知tan DAE 1,所以22.(1)求作点P的作图痕迹如图3所示. PAB是等

15、腰直角三角形，证明如下:PMXAC , PNXBC,垂足分别为 M、N.因为点P在/ACB的平分线上，所以 PM=PN.又因为 PA=PB,所以 RtAAPMRtABPN (HL),因此/ 1=/2.又因为/ 2与/BPM互余，所以/ 1与/BPM互余，即/ APB=90 .所以 PAB是等腰直角三角形.(2)如图4,在等腰直角三角形 PAB中，PA=m,所以AB=J2m.在等腰直角三角形 MPC中，PC = n，所以CM =n.由 RtAAPMRtABPN,得 AM =BN.所以 CA + CB = 2CM =嫄 n .因此 ABC 的周长=AB + CA +CB= J2m + J2n. A

16、BC的面积可以这样割补：qeQ1-212Sa abc - s 正方形 mpnc 一 S pab n m .222 DE(3)如图5,作DEAC ,DF，BC,垂足分别为 E、F,那么四边形 CEDF是正方形，CD=2 DF.BD y DE AD BA x y ' BC AB CD CD .2.设 AD=x, BD = y.两式相加，得空匹1 .于是得到x yAC BC3 .(1)如图6, / B与/ 1都是/ C的余角，所以/ B=Z 1 ./ BMP与/ NMQ 都是/ PMN的余角，所以/ BMP = Z NMQ .所以 PBMA QNM .(2)当/ ABC = 60。时，/ C

17、 = 30。，的 c 0M 43.NM由 PBMAQNM ,得.BM- -BP-.NM NQ而已知BM = CM,所以空石.NQ因为BP 73t ,所以NQ=t.因此点Q的运动速度为每秒 1厘米.在 RtAABC 中，/ B=60° , AB 473 ,所以 AC =12, BC 8M.在 RtA CMN 中,BC 40,/ C = 30 ,所以 CN = 8 .因此 AN = 4, AQ =4+t.如图 7,当 P在 BA 上时，0WtW4, AP 4J3 J3t.此时 S 1AP AQ 1(4J3 J3t)(4 t)12 8vs.222-如图8,当P在BA的延长线上时,t>

18、4, AP 73t 473 .此时 S 1AP AQ 1(的 473)(4 t) t2 8瓜222图6图7图8(3)如图9,过点C作AB的平行线交BM的延长线于P',那么aCP'是直角三角形， P' Q2=P' C2+CQ2.因为 P' CAB, M 是 BC 的中点，所以 BP= CP' , PM=P' M.所以QM垂直平分PP' , PQ = P' Q.于是得到PQ2=BP2+CQ2p-第(3)题容易想到代数方法，通过计算得到结论:PQ2 AP2 AQ2 (4 a/3 石)2 (4 t)2 4t2 16t 64,BP2

19、 (旧)2 3t2, CQ2 (12 4 t)2 t2 16t 64 .所以 PQ2=BP2 + CQ2.4 . (1) 0, 2, 4 2拒或 4 272 .(2)如图 10, MGDMHE, MD = ME.(3)如图11, AGM 和AMHC都是等腰直角三角形，RtAAGM RtAMHC .MGMAmMDMGm因此 .又因为MGD MHE,所以 一.MHMCnMEMHn后叙一、这不是一本中考的试题集，这是一本关于中考解题策略的书，如叙家常二、本书分三部分，我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下：简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练简答题丢失一步将满分无望，因此要加强简答题的规范性训练压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句：第一部分的高频词语有：粗心，不要口算，即刻回头检查第二部分的经典