备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题54抛物线几何性质的应用很关键

1、专题54抛物线几何性质的应用很关键考纲要求：1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.3掌握抛物线的简单几何性质，理解数形结合的思想.基础知识回顾：1 .抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离_ 的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线 I 叫做抛物线的_.标海方和y2=2/J-V(/ O )y2=-2尹笙S A o)x= 2/ty(P O )(/J o)p的几何恵:文：値点F到港线1的師离图形44J/jh vo1才KX x厂r顶点UmSEl超1占F.6.F.7_MSMSe = 1准线方程11EJ范围隽MO jER% WOw R

2、y WO，咒u R开口方向向右向左向上向下焦半径IPFI =画IFFI =PF =PF =答案：相等 焦点 准线y =0 x=0(-p,0)(-卫,0)(0,卫)(0,-卫)x二-卫x =p2 22 2 2 2以AF或BF为直径的圆与y轴相切.应用举例：类型一、求抛物线的标准方程 【例 1】已知过抛物线C:y2= 2 px（ p 0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC =2BF（其中点B位于A、C之间），且AF =4，则此抛物线的方程为（）.A.y2=2xB.y2=6xC.y2=4xD.y2=8x【答案】C【解析】过也作-Q 垂直于抛物线的准线，垂足为D,过B作丑E垂直于

3、抛物线的准线，垂足为町P为抛 物线的准线与x轴的交点，由抛物线的定义知：|=|,|.| = |0| = 4 , vBC=2SF|JC1| =ZBCA =30 ,AC = 2AD = ，A |CF| = 8-4 = 4 ,二=弓 =2 ,即左=科=2 ,所以抽物线的方程为分二斗兀，选C【例 2】【2018 届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线y2=2px（p 0）的焦点为F,过焦点F倾斜角为上的直线与抛物线相交于两点 代B两点，若AB =8，则抛物线的方程为3A.y2=3xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x【答案】C2+X02-X02+yo2-yo(以图22Pyiy2=p,xiX2= 4

4、.(2)|为依据）AB=X1+X2+p= si；2( 0 为AB的倾斜角).1 1 2|A+両为定值 p(4)以AB为直径的圆与准线相切.图 12.与焦点弦有关的常用结论y冷y諾2 23第一象限且AF =3FB，所以y1-3y20,y2=4xx二ty 12得y 4 t y- 4 - 0,则【解析】设直线方程为二占卜-彳卜代入抛物线/ =20)可得3-5px+|=O,记 虫黑讯)帀宀)，则由抛物线的定义可得|期卜码十帀十卩二=则抛物线方程为y2=6x?应选菩案c.2【例 3】【2017 届北京市昌平区高三第二次统一练习】双曲线C :X=1的渐近线方程为;3若双曲线C的右焦点恰是抛物线N : y2

5、=2px(p 0)的焦点，则抛物线N的准线方程为 _ .【答案】y = , 3xx = -2【解析】：一二.3，.渐近线方程为y=：j3x,；C二-、口=2，.双曲线右焦点为2,0，即a-2，.抛物线准线方程为 x =-2，故答案为y -一3x，x = -2.2点评：1、求抛物线方程应注意的问题(1) 当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2) 要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3) 要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程

6、的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.类型二、抛物线的焦点弦问题1、焦点弦的弦长问题【例 4】【2018 届甘肃省兰州第一中学高三上9 月月考】已已知过抛物线y2=4x焦点F的直线I交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，若AF =3FB，则直线I的斜率为()A. 、3B.3C. 丄 D.22 2【答案】A【解析】设过抛物线y2=4x焦点F的直线l:x=ty 1交抛物线于A x1,y1,B x?, y2两点，因为点A在_ 23y亠y = 2 y u 4t3力22，解得?，即直线l的斜率为.3;故选 A.yiy =-3y2一4、3t =-3点

7、评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 IAB=xi+X2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2、焦点弦中距离之和最小2【例 5】【2017 课标 1,理 10】已知 F 为抛物线 C: y =4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 li, l2，直线l1与 C 交于 A B 两点，直线 l2与 C 交于 D E 两点，贝U|AB|+|DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A【解析】试题分析：设心西宀直线4方程

8、为y = Ai(x-l)联立方程 力得好一无+斥=0“西+花二一加打 =绍.y =占(x1)矗益同理直线厶与抛物线的交点满足可+斗二怨吴由抛物线定义可知|曲| +1DE戶视+在+西十召+2戸当且仅当池=一血=1或一1时，取得等号.3、焦点三角形冋题【例 6】过抛物线y2= 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点，O为坐标原点若|AF= 3,则厶AOB勺 面积为5()解析：如图，设A(xo,yo)，不妨设yov0,由抛物线方程y2= 4x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x=- 1，故|AF=xo-( 1) = 3,可得xo= 2,yo=- 2 羽，故A2 , - 2 羽)，直线A

9、B的斜率为k-2 2 0=2-1 -=-22 ,直线AB的方程为y= - 22x+ 22 ,联立直线与抛物线方程1 11，可得 2x2- 5x+ 2= 0,得x= 2 或x=，所以B点的横坐标为，可得 IBF= 2-(-1) =3，|AB= |AF| + |BF= 3+3=9,O点到直线AB的距离为d=響，所以SM=f|ABd=耳2.答案：C222322类型三、与抛物线有关的最值问题1、动弦中点到坐标轴距离最短问题【例 7】已知抛物线 x2= 4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,贝UAB 的中点到 x 轴的最短距离为()33A.-B.C . 1 D .242解析：由题意知，抛物线的准线I:y

10、= 1,过点A作AA丄l交I于点A,过点B作BB丄l交I于点B,设弦AB的中点为M过点M作MM丄l交I于点M,则|MM=丨BB|.因为|ABGAF+ |BF(F为抛物线的焦点)，即|AF+ |BF6,所以|AA| + |BB| 6,2|MM6, |MM3,故点M到x轴的距离d2,故选 D.2、至憔点与定点距离之和最小问题【例 8】【2017 届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M(7,8 )，贝U PM与PQ长度之和的最小值为 _ .【答案】9【解析】抛物线/=4x的焦点为F(LO)，准线方程为：fiigx=U|Pj3| = |P

11、F|-l ,连结倔,则 加| + |阿|的最小值为阿鬥二& +斛=1Q二+1旳 的最小值为10-1 = 9,故答案为9 .3、至至点与准线的距离之和最小问题A. -2B.2C.畔 D . 2 2y=-2 迈x+ 2 眾y2= 4x7【例 9】已知P为抛物线y2 3= 4x上一个动点，Q为圆x2+ (y 4)2= 1 上一个动点，那么点P到点Q的距离与 点P到抛物线准线的距离之和的最小值是 _ .解析：由题意知，圆x2+ (y 4)2= 1 的圆心为 Q0,4)，半径为 1，抛物线的焦点为F(1,0)根据抛物线 的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线

12、焦点的距离之和，因此 |PQ+ |PF 1 PCf + |PF 1|CF 1=0 1.4、到直线与准线的距离之和最小问题【例 10】已知直线h :4x -3y 6 = 0和直线l2：x = -1,抛物线y2=4x上一动点P到直线11和12的距离之禾廿的最小值是【答案】2【解析】试题分析：设抛物线上的一点P的坐标为(a2,2a)，则P到直线l2: x = -1的距离d2 = a2+1；4a2-6 + 6尸到直线：4无一3 y + 6二0的距离J-2解析：法一：如图，设与直线4x+ 3y 8= 0 平行且与抛物线y=x相切的直线为 4x+ 3y+b= 0，切线方程与抛物线方程联立得24消去y整理得

13、 3x2 4xb= 0,贝U= 16+ 12b= 0，解得b=-,36-ej + 6贝I珀+鸟二门丸+1-“ + 1+5当时，尸到直线4和心的距离之和的最小值为2.5、到定直线的距离最小问题【例 11】抛物线y= x2上的点到直线 4x+ 3y 8= 0 距离的最小值是 _ 2y= x,*4x+ 3y+b= 0942故切线方程为 4x+ 3y 3= 0,抛物线y=x上的点到直线 4x+ 3y 8= 0法二：对y=x2，有y= 2x.如图，设与直线 4x+ 3y 8= 0 平行且与抛物线y=x2相切的直线与抛物线的切点是T（m卅），则切线斜率24T(,)，点T到直线 4x+ 3y 8 = 0 的

14、距离3924y= x上的点到直线 4x+ 3y 8= 0 距离的最小值是3.3点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线 焦点弦有关问题的重要途径.方法、规律归纳：1、与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化.（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段

15、最短”原2与焦点弦有关的常用结论（以图 1 为依据）距离的最小值是这两条平行线间的距离|=m= 2m= 3,所以 m= 3，即切点43，由图知抛物线843822P(1)yiy2=p,X1X2= .(2)|AB| =X1+X2+p=2p2八sin 9（9为AB的倾斜角）111 1 2(3)+ 为定值.(4) 以AB为直径的圆与准线相切.|AF| |BF|p(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.实战演练：1.【2017 届山东省青岛市高三期初】 过抛物线y2=12x的焦点F且倾斜角为一的直线交抛物线于A、B两3AF点，若AF a BF，则=()BFA.2B. 、-3C.2D.3【答案】D【解析】

16、设A(X. y) B (3刃力贝I抛物线中p=6.|AB|=KL-FKatp=-=6sin0 xi+X2=10,2又 XiX2= =9，可得 Xi=9, X2=1,4AFBF故选：D.22.【2018 届河南省郑州市第一中学高三上入学】已知抛物线x2=8y与双曲线 %-乂2=1(a 0)的一个a交点为M,F为抛物线的焦点，若MF =5，则该双曲线的渐近线方程为()A.5x二3y=0B.3x二5y=0C.4x二5y=0D.5x二4y=0【答案】B【解折】设抛物线* =即与双曲线的一个交点为M(心耳)，因为抛物线= 的焦 点为F02),且则|二匚所如十2=5工二尊一解得旳=3工=24宀则该双曲线的

17、渐近线方程为兀=即3丸5丁=0;故选艮3.【2017 届山东省济宁市高三 3 月模拟】已知双曲线 亠2=1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为a b2F1、F2，焦距为2c(c 0)，抛物线y =2cx的准线交双曲线左支于A,B两点，且.AOB = 120(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(【答案】A2 2 2c -4a b.e48e24 = 0二e2= 4 _2 .3（42、3 : 1,舍去）=e程为()【答案】B,圆心坐标为(GOT因为圆与直线相切由点到宜线距离公式可=2 ,即2 ,又因为离心率为卫1=据,可得运片讣,所以抛物线的方程,故选B1217A. ,31B.2C.、21D.,

18、5-1【解析】由题意得，当x二-c22 2-4a b4a2，则c2-4a2b24a2,Bc2-4a2b24a2，又因为.AOB =120,4a2ji=ta n工33=c48a242cc4-824=0aa4.【2017 届天津市十二重点中学高三第二次联考】 已知双曲线2 2 _才計1的离心率为5，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方A.y2=8J5XB.y2=4,5xC.=25xD.y2=,5x【解析】设1135 .已知P为抛物线y= x2上的动点，点P在x轴上的射影为M点A的坐标是(6 , )，则|PA+ |PM22的最小值是()【

19、答案】B- 11【解析】选 B.依题意可知焦点F（0 ,丄），准线为y=丄，延长PM交准线于H点（图略）.2211则 |PF= |PH|, |PM= IPH丄，IPM+1PA T PF+1PA丄，即求 |PF+1PA的最小值.22119所以 |PM+1PA 10丄=19故选 B.22已知点P X0,y0是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆C:由题意可知圆C的圆心坐标c（4）,半径为“抛物线的焦点F（LO）,虚线为抛物线的准线？I加I为点到虚线的距膏且PM = x+l?由抛物线的性质可扯|丹J= PM.故可知花+PQ= |PJ3| + |PF|-1 |PAf|-l+ |PF|-l |PAf|-

20、14-|PF|-lCF-2二J(-2-1) + -2=3。故本题正确答案为 U7.【2017 届湖南省长沙市长郡中学高三5 月模拟】已知y2=4x抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交A. 8 B.192C. 10 D.2126.【2017 届福建省莆田第六中学高三下期中】2 2x亠y-41上的一个动点，则X0 + PQ的最小值为（因为 |PF+1PA 1 FAI，又 IFA=10.A.2、5-1B.2.5C. 3 D. 415抛物线于 代B两点，则AF卜2的最小值为（）BFA.2一2-2B.5C.3-3&D.2、一3-26 2【答案】A【解析】因为F 1,0，直线AB : y = k x -1

21、,代入y2=4x可得k2x 2k24 x 0，A x1, y(, B x2, y2，则为x2= 1,由抛物线的定义可得上，则PQ的最小值为(A. 3 B. C.22 D. G【答案】AAF=花+1, BF =x2+1，所以AF乙1+1-丄（X2+12+1）-2X2+1BFx21 =t AFAF2BFX21X-Ix2，故令X21221 x2,2x2x2BF1，令X2-1二t，贝y X t 1，所以1121 t2 2t 22 t2t17哼 iQ），3 221.2应选答案8.【2017 届山西省太原市高三第三次模拟】已知点P在抛物线八X上，点Q在圆x42y -4=117圆心+ （溜一斗）2本题选择A

22、选项-则抛物线的方程是10BC【解析】+2耕一8利+16+2朋一8朋+16(册Q)10.【2018 届湖南省衡阳市第八中学高三上第三次月考】【答案】6其焦点，以F为圆心9.【2018 届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】抛物线由导函数与原函数的关系可得国数在区间（0丄）上单调递溺在区间他）上单调递増的数的最小值为/(1) = H4为 5,则p【解析】由题意可得2卫=52p = 6.填 6贝Uf（刖）=斗（朋-1）（朋2 +用已知点A是抛物线y2=2px（p 0）上一点，F为【答案】y2=16x128FA为半径的圆交准线于B,C两点，AFBC为正三角形，且心ABC的面积是12832x = -2

23、py p 0的焦点到直线y = 2的距离与抛物纟壯的点的距离的平方：d11 1 1 1 1 1石1 1 1 1 1 1可得丄2p 2p=2 ,3.33解得 p=8,则抛物线的方程为 y2=16x.11.2018 届四川省成都市第七中学高三上学期半期】已知抛物线其焦点的距离为 4，贝Up =_ .【答案】2【解析】抛物线毛声（p0）的准线方程为：“-匕,2T抛物线产肌（p0上横坐标为J的点到焦点的距离等于4,二根据抛物线的定义可知，3-f-l =4k 2丿.p=2故答秦为2.12.2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】过点0,3的直线与抛物线y2=4x交于A,B两点，线段AB的

24、垂直平分线经过点（4,0 ）,F为抛物线的焦点，贝U AF +|BF的值为_.答案】6由题意可得DFBF二COS30；且|DF|=p ,可得|BF|=2 P，从而 |AF|=.32p3，由抛物线的定义可得A 到准线的距离也为2p3，又厶 ABC 的面积为12832y = 2 px（ p 0）上横坐标为 3 的点到19【解析】设AB的中点为抛物的焦点为F（LO）,准纟规-1，设氛E. H在准线上的射影対2|/F|斗创|BF|二 |胡很AF|+1|= + = 2pr| ,过（Q3）的直线设为y = kx+3f与於=4工联立得：芒 + （麻一4）丸+9 = 0 ,A(6Jt-4)2-36k20 ,计

25、算得出 y 且 3,x2+(y_1$=2.故本题填x2+(y_1$=2.3，理 20】已知抛物线 C: y2=2x,过点（2,0 ）的直线 I 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB为直径的圆.（1 ）证明：坐标原点 O 在圆 M 上;（2）设圆 M 过点P 4,-2，求直线 I 与圆 M 的方程.=爪 乩H，,则|=-（ |+ip,由抛物线的走义可得,又码+花=：严、AE的中点为2-U 2k2TI线段血的垂直平分线过点（4,0）方程为卩=-二（工4）过中点k-斗），2芒+3疋一2=0解出疋二一2或氐二丄（舍去），则日（2,1）,| = 2+1 =3 ,则|F| + |F| = |

26、+12?F| = 2= 613.【2018 届河南省新乡市第一中学高三8 月月考】若一个圆的圆心是抛物线二4y的焦点，且该圆与直线y = x 3相切，则该圆的标准方程是【答案】x2+(y-1)2=2【解析】由抛物线方程可知其焦点为0,1，与所给直线的距离为0-1 312十(1)2.2，即为圆的半径则圆的标准方程为14.【2017 课标2 1【答案】（1）证明略;2 2直线I的方程为x y2=0，圆M的方程为（X3） +（y 1 ） =10 .或直线l的方程为2x y一4 =0，圆M的方程为x- y二85.I 4丿C 2丿16【解析】试题分析：1）设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为-

27、1可得0/丄OB,即得结论孑结合的结论求得实数挺的值，分类讨论即可求得肓线的方程和圆M的方程一试题解析：设/（码$）（在宀）,l.x-nty + 2 .由1可得X2附一4 = 0 ,则加产4 -y =2x又西二掘內=啦,故沁=念必=4 .224因此ON的斜率与的斜率之积为乩些=二=-1,所以加丄仙.珀巫4故坐标原点0在圆M上.由（1）可得片+卩2=2叫码+羽=加（$1+乃）+4 = 2册丄+4.故圆心M的坐标为（/?+2加）,圆施 的半径厂=J（肿+2+加.由于圆M过点P（4-2）,因此AP BP=G,故（珀一4）（花一4）+（乃+2）（乃+2） = 0 ,即与屮4佃+花）+片旳+2（曲+乃）

28、+20=0 .由可得旳旳=7 坷花=4 .21所以2m -m -1 = 0，解得m = 1或m2当m=1时，直线I的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为3,1，圆M的半径为J0，圆M的2 2方程为（x3） +（y -1 ） =10 .1f 9 1、V85当m时，直线I的方程为2x y - = 0,圆心M的坐标为，圆M的半径为21214 2丿4圆M的方程为x _9 y1=85.I 4丿I 2丿162115.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C: y2=2px 过点 P （1, 1）.过点（0,）作直线 I 与抛物线 C 交于不2同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP, ON 交于点 A, B,其中 O 为原点.（I）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（n）求证：A 为线段 BM 的中点.21