专题5.3解析几何中的范围问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品.

1、一方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（ 1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（ 2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围二解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例 1】【安徽省淮北一中 20172018第四次月考】若 A 点坐标为 1,1 ， F1 是椭圆

2、 5y29x245 的下焦点，点 P 是该椭圆上的动点，则 PAPF1 的最大值为 M ，最小值为 N ，则 M N_【答案】 2 2【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷【举一反三】 【湖北省重点高中联考协作体2016-2017x24 y21(a 0) 的右期中考试】已知双曲线 C :2a顶点到其一条渐近线的距离等于3 ，抛物线 E : y22 px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合， 则抛物线 E 上4的动点 M 到直线 l1 : 4x 3 y 60 和 l2 :

3、 x1 的距离之和的最小值为 _【答案】 2类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例 2】【 2017 届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点 为内切圆上任意一点，则的取值范围为_【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A 到准线的距离为，解得或当时，故舍去，所以抛物线方程为，所以是正三角形， 边长为为参数），则，其内切圆方程为 ，如图所示， ，设点（【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知

4、条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标， 进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018 届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 _ （用表示）【答案】即答案为.类型三利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【江西省九江市2017 年三模】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C : x24 y，点P 是 C的准线l上的动点，过点P 作 C 的两条切线，切点分别为A,B，则AOB面积的最小值为（）A2

5、B2C22D4【答案】 B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点A, B 的横坐标间的关系，便于确定直线 AB 在 y 轴上的解截距【举一反三】【 2016-2017 学年江苏泰州中学月考】已知直线yx 1与椭圆 x2y21 a b 0 相交a2b2于 A,B 两点，且 OAOB（ O 为坐标原点），若椭圆的离心率 e1 ,3 ，则 a 的最大值为 _22【答案】102类型四利用基本不等式求范围【例 4】【江西省南昌市第二中学2017-2018 期中考试】 如图，已知抛物线 y24x 的焦点为 F ，直线 l 过 F2y21于点 A,B, C,D 四点，则 AB4 CD

6、的最小值为（且依次交抛物线及圆 x 1）4A17B2【答案】 C15C13D11222【解析】由题意得F 1,0 ，即为圆的圆心，准线方程为x1 由抛物线的定义得AFxA1，又 AFAB1，所以 AB xA122同理 CDxD1 2当直线 l 与 x 轴垂直时，则有xAxD 1 ， AB4 CD33154222当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 方程为 ykx1 ，由 y kx 1消去 y 整理得 k 2 x22k 24xk20 ，y24x xA xD1, xAxD2k 24k2， AB4 CDxA4xD54xA xD513，当且仅当 xA4xD 时等号成立2222综上可得AB4 CD1

7、3选 C2【指点迷津】 （ 1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径（ 2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件【举一反三】【吉林省普通中学 2018 届第二次调研】已知F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，而且OAOB6 （ O 为坐标原点） ，若ABO 与AFO 的面积分别为 S1 和 S2 ，则S1 4S2 最小值是（）A73B6C13D4322【答案】

8、 B设点 A 在 x 轴的上方，则 y10 ， F 1,0 4 S14S21y21133193 y144y1y1y1y1 2 y1622222 y1当且仅当 2 y19y13，即时取等号2 y12 S14S2 的最小值是 6，故选 B.类型五求解函数值域得范围【例 5】【云南省师范大学附属中学2018届 12月适应性月考】已知椭圆C ： x2y21的右焦点为 F ，43过点 F 的两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， l1 与椭圆 C 相交于点 A ， B ， l2 与椭圆 C 相交于点 C ， D ，则下列叙述不正确的是（）A 存在直线 l1 ， l 2 使得 ABCDB 存在直线 l1 ，

9、 l 2 使得 ABCD值为 748值为7C 弦长 AB 存在最大值，且最大值为4D 弦长 AB 不存在最小值【答案】 DCD12 1k2， 特 别 地 当 k 21时， AB CD24 ，即 ABCD48，则B正确；由3k2477AB12 1k233，故当 k0 时， AB 取到最大值4 ，则 C正确；由 AB 333，34k 234k 24k23但当弦 AB 的斜率不存在时，AB3 ，故 AB 存在最小值 3 ，故 D 选项不对，故选 D【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示

10、为一个( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决【举一反三】 【河南省2018 届 12 月联考】已知过抛物线C ： y28x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 P ， Q两点，若 R 为线段 PQ 的中点，连接 OR 并延长交抛物线C于点 S，则OS）的取值范围是（ORA0,2B 2,C 0,2D2,【答案】 D类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例 6】【福建省2016 届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线 y22 px 相交于 A，B 两点，与圆 x 52r 2 (r 0) 相切于点 M，且 M为线段 AB的中点若这样的直线l 恰有

11、4 条，则 r 的取值范y2围是（）A1,3B1,4C2,3D2,4【答案】 D【举一反三】 【 2017-2018 学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆x2y21(a b 0) 的上、a2b2下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、 B1、 A、 F，延长 B1F 与 AB2 交于点 P，若 B1PA 为钝角，则此椭圆的离心率 e 的取值范围为 _【答案】1 5,12【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、 b、 c，（ c= a2b2）可得 B1PA等于向量 B2 A 与 F2 B1的夹角，A（ a， 0）， B1（ 0， b），B2（0， b）， F2（ c， 0） B2

12、 A =（ a， b）， F2 B1 =（ c， b），1的夹角大于，B PA为钝角， B2 A 与 F2 B12由此可得 B2 A? F2 B1 0，即 ac+b2 0，将 b2=a2 c2 代入上式得： a2 ac c20，不等式两边都除以222a ，可得 1e e 0，即 e +e1 0，解之得 e 15 或 e 15 ，22结合椭圆的离心率e（ 0， 1），可得15 e 1，即椭圆离心率的取值范围为（15 ， 1）故答22案为（15 ，1）2三强化训练1【辽宁省凌源市2018 届上学期期末】已知直线l : xy 10截圆: x2y2r 2 r0所得的弦长为14，点M,N在圆上，且直线

13、l : 1 2m xm1 y3m 0过定点 P ，若 PMPN，则MN的取值范围为 _ 【答案】62,62所以 MN 的取值范围是62,622【福建省莆田市第二十四中学2017-2018 期第二次月考】已知椭圆x2y21(ab 0) 上一点 A 关于a2b2原点的对称点为点 B, F 为其右焦点， 若 AFBF ，设 ABF，且6,，则该椭圆的离心率 e4的取值范围是 _ 【答案】2,312故答案为：2 , 31 23【江西省临川第二中学2018 届上学期第四次月考】如图所示，点F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A, B 分y28x 及圆2216 的实线部分上运动， 且 AB 总是平行于 x

14、 轴，则 FAB 的周长的别在抛物线x 2y取值范围是 _ 【答案】8,125【福建省 2016 届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P 是双曲线 x2y21(a，b，xy 0)上的a2b200动点， F1，F2 是双曲线的焦点， M是F1PF2 的平分线上一点， 且 F2 M MP0 某同学用以下方法研究|OM|：延长 F M 交 PF 于点 N，可知 PNF 为等腰三角形，且M为 F N 的中点，得1|NF |= =a类似地： P|OM|=212221是椭圆 x2y 21 (a b， xy 0)上的动点，1，2是椭圆的焦点，M是F12的平分线上一点，且a2b2 0FFPFF2M MP0 ，

15、则 |OM| 的取值范围是 _【答案】 0 |OM| c【解析】延长F2M交 PF1 于点 N，可知 PNF2 为等腰三角形，且M为 F2N 的中点，得 |OM|= |NF |=（ |PF |-|PF| ）， |PF |+|PF2|=2 a， |OM|= a-|PF | ，11212 a- c|PF 2| a+c， P、 F1、 F2 三点不共线 0 a-|PF 2| c， 0 |OM| c6【贵州省凯里市第一中学2016-201722效果检测】点P 是圆 x 2y 51上的点，点 Q 是抛物线y24x 上的点，则点 Q 到直线 x 1的距离与到点P 的距离之和的最小值是_【答案】261【解析

16、】如下图，dPQQMAQ1QFAF261 ，所以填261 7【山东省日照第一中学 2017 届高三 4 月考试】过抛物线 y22 px( p 0) 的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且 AB4 ，这样的直线可以作 2 条，则 P 的取值范围是 _【答案】 0p2A x1, y1 , B x2 , y2x1 x2k2 p2 p， 则k 2，根据抛物线性质，得AB AF BF p x1x22p2p2 p 则 抛 物 线 的 焦 点 弦 中通 径 长 最 短 ， 则 要 使 满 足k2AB 4 的直线可以作2 条，则通径 2p4 ，即 p2那么 p 的取值范围是 0,2 故本题应填 0 p 2y28

17、【 2017 届上海市奉贤区 4 月调研测试（二模） 】双曲线 x21的左右两焦点分别是 F1, F2 ，若点 P 在3双曲线上，且F1PF2为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是_【答案】7,7；22229【河南省豫南六市 2016-2017 第一次联考】 已知椭圆 C：x2y2 1(ab 0)的左右焦点分别为F1 ，F2 ，ab点 P在椭圆 C上，线段 PF2 与圆：x2y2b2 相切于点 Q，若 Q是线段 PF2的中点，e 为 C的离心率，则 a2e23b的最小值是 _【答案】53【解析】连接 PF1 ,OQ ， 由 OQ 为中位线，可得 OQ / / PF1， OQ1 PF1，2圆 x2

18、y2b2 ，可得 OQb 且 PF12b ，由椭圆的定义可得PF1PF22a ，可得PF22a2b ，又 OQ PF2 ，可得 PF1 PF2 ，即有 2b22a2b22a22abb2c2a2b2 ，2c ，即为 b2化为 2a3b ，即 b2 a ，3ca2b25 a ，即有 ec5，3a3a2e2a251515592，则3b2a2a2a39a9a522当且仅当 a时，即 a5时等号成立，所以ae的最小值为5 9a33b310【 2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线 过 且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为 _ 【答案】，所以，应填答案11【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山