高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》单元检测

1、高中数学推理与证明期末考知识点一、选择题1 桌面上有3 枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2 枚硬币，那么无论怎么翻转（）A.都不可能使3枚全部正面朝上B.可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C.都不可能使3枚全部反面朝上D .都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上 【答案】C【解析】 【分析】 先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可.【详解】 对A,对两枚硬币连续翻转 2次，能使3枚全部正面朝上，故 A错误； 对B,如果能1枚反面朝上，则就有可能 3枚全部反面朝上，利用 C选项的证明，发现此 种情况不可能，故B 错误；对C,假设经过若干次翻转可以使硬币全部

2、反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面 朝上，都需要翻转奇数次，所以 3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 （3流数）次，即要翻 转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2 枚硬币，3 枚硬币被翻转的次数只能是2 的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C正确；对D,只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故 D错误； 故选： C. 【点睛】 本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.2 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断： 若甲未被录取，则乙、丙都被录取； 乙与丙中必有一个未被录取； 或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（

3、）A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙【答案】D【解析】 【分析】 分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析能否同时成立，进而可得出结论.【详解】 若甲被录取，对于命题 ，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题 成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题 成立，则乙被录取，三个命题能同时成立； 若乙被录取，命题 成立，则丙未被录取，命题 成立，命题 成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立； 若丙被录取，命题 成立，则乙未被录取，命题 成立，则甲未被录取，那么命题 就不能成立，三个命题不能同时成立 .综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推

4、理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题3 .观察下列等式：13 2332 ,13233362，132 333431 02,记-,3_3_33f n 123 n .根据上述规律，若f n 225,则正整数n的值为（）A. 8B. 7【答案】D【解析】【分析】由规律得f n 12 3【详解】由已知等式的规律可知 f nC. 622 2n n 1再解方程即可D. 5，当f n 225时，可得n 5.故选：D 本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4 .小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没

5、去过.假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A.小钱B.小李C.小孙D.小赵【答案】A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.5 .观察下列各式：72 49, 73 343 , 74 2401 ,，则71009的末两位数字为（）A. 49B. 43C. 07D. 01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可【详解】观察 72 49, 73 343, 74 2401, 75 2401 7 16807，76 16807

6、 7 117649，可知末两位每4个式子一个循环， 72 49到71009一共有 1008个式子，且1008 4 252 ,则71009的末两位数字与75的末两位数字相同，为 07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键6.已知a b c 2,则ab bc ca的值（）D.不大于2A.大于2B.小于2C.不小于2【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a ba,把2（ab bc ac）拆开后提取公因式代入 a b c, a c b, b ca ,则可判断2（ab bcac）的符号，从而得到ab bc ac的值的符号.【详解】解：Q a b c 2,a

7、b2c,ac2b,bc 2a.贝U 2(ab bc ac)2ab 2ac 2bcabacbcacab bca(bc)c(ba)b(ac)b(2b)a(2a)c(2c)一2一2一22b b 2a a 2c c222abc2 abc222abc4,_2. 22_Q abc2,abc0 ,即a2 b2 c20 ,Q 2(ab bc ac) 4,(ab bc ac) 2即ab bc ac的值小于2.故选：B.【点睛】 本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力.y y z z x x7 .设 x, y, z0,则三个数 ，一一，一（）B.至少有一个大于 2D.至少有一个不大于2A.

8、都大于2C.至少有一个不小于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于 2,则三个数之和小于 6,又？+义十三+=+二+ 2=(2+)+ xzxyzy X y( )+(+ ) 2F2 + 2=6,当且仅当x= y=z时取等号，与假设矛盾，故这三个数 z y x z至少有一个不小于 2.8 .学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为 A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B ,则该班()、好级 科ABCDE物理10

9、16910化学819720A.物理化学等级都是 B的学生至多有12人B.物理化学等级都是 B的学生至少有5人C.这两科只有一科等级为 B且最高等级为B的学生至多有18人D.这两科只有一科等级为 B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ,化学等级为B的学生人数以及物理等级为 B ,化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为 A另一科为B的学生10 5 8 5 8人(其中物理 A化学B的有5人，物理B化学A的有3人)，表格变为：ABCDE物理10 5 5 016 3 139

10、10化学8 5 3 019 5 14720对于A选项，物理化学等级都是 B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D ,化学都是B时，或化学C和D,物理都是B时，物理、化 学都是B的人数最少，至少为13 7 2 4 （人），B选项错误；对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为 B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为 B且最高等级为B的学生最多为13 9 1 4 19 （人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是 B的最多13人，所以两科只有一科等级为 B且最高等级为B 的学生最少14 13 1 （人），D选项正确.故选：D.【点睛】本

11、题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题9.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把 两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端 放的硬币为假币.现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台 天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为 3组，然后将有问题的一组再分为 3组，再将其中有问 题的一组分为3,此时每组仅为1枚硬币，

12、即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组 9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组 3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币 在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每 组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不 平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息

13、，由此入手会方便很多.10 .数列Fn ：Fl F2 1, Fn Fn 1 Fn 2（n 2）,最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的算盘全书.若将数列Fn的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 an ,则数列 an的前50项和为（）A. 33B. 34C. 49D. 50【答案】B【解析】【分析】根据an为Fn除以2的余数，依次写出Fn的各项，从而可得2口是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论.【详解】依次写出 Fn 的各项 F1 1,F2 1,F3 2,F4 3,F5 5,F6 8L ,an为Fn除以2的余数，依次写出an各项为a11,a2 1,a3 0,a4 1

14、,a5 1,a6 0L ,an各项是按1,1,0的周期规律排列，a a? a3 La49 a50 16 2 2 34 .故选：B.【点睛】本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题 11.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级 该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目 的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）第一节第F第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班

15、生物B层3班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政?B 3班C 12 种D 14 种A 8 种B 10 种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:1 物理A 层 1 班，生物B 层3 班, 政治3 班;2 物理A 层1 班, 生物B 层3 班,政治2 班;3 物理A 层1 班, 生物B 层2 班, 政治3 班;4 物理A 层3 班, 生物B 层2 班,政治3 班;5 物理A 层3 班, 生物B 层2 班, 政治1 班;6 物理A 层2 班, 生物B 层3 班,政治1 班;7 物理A 层2 班, 生物B 层

16、3 班,政治3 班;8 物理A 层4 班, 生物B 层3 班, 政治2 班;9 物理A 层4 班, 生物B 层3 班, 政治1 班;10 物理A 层 4 班,生物B 层2 班,政治1 班;共 10种 .故选 :B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12 对大于 1 的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂 ”：1373 3 33 1523 ,33 9 ,43 L，仿此，若m3的分裂数”中有一个是73,则m的值为（）5171119A 8B 9C 10D 11【答案】B【解析】由题意可得m3的分裂数”为m个连续奇数，设 m3的分裂数”中第一个数

17、为am，则由题意可得：a3 a27 3 4 2 2, a4 a3 13 7 6 2 3,，am am 12（m 1）,将以上m 2个式子叠加可得(4 2m 2)(m 2) am a2 (m 1)(m 2)22 am (m 1)(m 2) a2 m m 1当m 9时，am 73,即73是93的分裂数”中第一个数故选B13 分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的谢尔宾斯基”图形的作法是：先作一个正三角形，挖去一个中心三角形”即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个中心三角形”按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的

18、极限图形称为谢尔宾斯基”图形（如图所示），按上述操作7次后，谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A. 35B. 36C. 37D. 38【答案】C【解析】【分析】根据题意分别求出第 1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结 论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有 3个小正三角.第2次操作后，图形中有 3X3=32个小正三角.第3次操作后，图形中有 9X3=33个小正三角.所以第7次操作后，图形中有 37个小正三角.1234故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题14 为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三

19、名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名”老师乙： “我觉得 14 班比 15 班强， 14 班名次会比15 班靠前 ”老师丙：“我觉得 7班能赢 15班 ” 最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A 7 班、 14 班、 15 班B 14 班、 7 班、 15 班C 14 班、 15 班、 7班D 15 班、 14班、 7 班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班 级【详解】假设甲预测

20、准确，则乙和丙都预测错误，14班名次比15 班靠后，7 班没能赢15 班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7 班不是第一名，14 班名次比15 班靠前，7 班没能赢15 班，则获得一、二、三名的班级依次为14 班， 15 班， 7 班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7 班不是第一名，14 班名次比15 班靠后，7 班能赢 15 班，不合题意综上，得一、二、三名的班级依次为14 班， 15 班， 7 班故选：C【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题15 已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的

21、某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：甲说：我去过阿勒泰；乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是()A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】 先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话【详解】解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过.故选：C.【点睛】本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.E 1116.用数学归纳法证明1 2

22、31 L，4 2n 1112n n 12n则从k到k 1时左边添加的项是（）A.12k 111B2k 2 2k 4C.12k 21D2k 112k 2根据式子的结构特征，求出当 比较可得所求.【详解】n k时，等式的左边，再求出n k 1时，等式的左边,.11 1当n k时，等式的左边为1 1 1 12 3 4,一 ，111当n k 1时，等式的左边为1 2 3 4故从n k到n k 1，左边所要添加的项是112k 1 2k11112k 12k 2k 12k 211.2k 1 2k 2故选：D.本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k到n k 1项的变化.17.我国古代数

23、学家秦九韶在数书九章中记述了三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,则 ABC的面积222222 a b c(ab) .根据此公式，若 acosB b 3c cos A 0,且a2 b2 c2 2，则 ABC的面积为()A.亚B. 2V2C.而D. 273根据acosB b 3c cosA 0,利用正弦定理边化为角得整理为sinC 1 3cosA 0,根据sinAcosB cosAsin B 3sinCcosA 0,八m,1msin C 0 ,得cosA 一 ,再由余弦te理得3bc 3 ,又a2 b2 c2 2，代入公式124 (bc)2, 2

24、2 2c b a “ 求解.2由 a cosB3c cosA 0得 sin AcosBcosAsin B 3sin CcosA 0,即 sin A3sin CcosA 0,即 sinC 13cosA 0,因为sin C由余弦定理2，2bccosAbc3由ABC的面积公式得S124 (bc)132 12.2故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题18.下列表述正确的是（） 归纳推理是由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一种间接证明法；A.B. C . D .【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析 4个命题：对于，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误； 对于，分析法、综合法是