2020届高考数学(理)一轮必刷题专题50椭圆(解析版)

1、考点50 椭圆1.（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三100公里，远月点与月球表面距离为号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为 3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为【解析】B.40C.D.如下图，F为月球的球心，月球半径为:1X3476= 1738,2依题意,| AF | = 100 + 1738= 1838,| BF | = 400 + 1738=2138.2a= 1838 + 213

2、8,a= 1988,a+c=2138,c= 2138 1988= 150,一、C1503椭圆的离心率为：ec-150-a198840选B.y22.（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆卷 1 , a b 0的左、右焦b点分别为Fi, F2, M为椭圆上异于长轴端点的一点,MF1F2的内心为I ,直线MI交x轴于点E,若MIIE2 ,则椭圆C的离心率是（）A,显2【解析】E解：MF1F2的内心为I ,连接IFi和尸2,MF1 MI可得IFi为MF1F2的平分线，即有哥哥，F1EIEMF2MIF2EIE可得MFiMF2即有即有FiEF2EMI 2而2MF1F1E|mf2EF22a

3、 c2 , 2c3.（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）C.返2D.百2A.B.C.【答案】B【解析】解：设椭圆的两个焦点为 E,F2,圆与椭圆交于 A,B ,C ,D四个不同的点设 F1F2 2c，则 DE c, DF2 J3c.椭圆定义得 2a |DF1| |DF2| /3c c,所以 e .31,a 3 1故选：B.4.（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学理）在平面直角坐标系 xOy中，已知点A, F22分别为椭圆C:Xy -yy

4、1（a b 0）的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点，线a b段AP的中点为M，若Q, F, M三点共线，则椭圆 C的离心率为（）【解析】如图设 P X0,y0 , Q Xo, v。又 A(a,0), F(c,0),QQ,F,M三点共线,kMFkQFV。c x血02x° ac2y°x0yox0 a 2c 'Xoxo a 2c,3c,1一，故选A.32yyi a b 0 的b22x5 .（陕西省汉中市2019届图三全真模拟考试数学理）已知Fi、F2分别是椭圆C：a左、右焦点，点 A是Fi关于直线bx ay ab的对称点，且AF2 x轴，则椭圆C的离

5、心率为【解析】F1、F2分别是椭圆2 y b21(ab 0）的左、右焦点，点 A是Fi关于直线bx ay ab的对称点，且AF2 x轴，可得 AF2的方程为AFi的方程yc)，可得2ac、A(c,),bacAFi的中点为（0丁），代入直线bx ayab,可得:ac b2可得e2e i 0,解得e故选:V2 X2y21 a b 0b2的右焦点,A是椭圆短轴的一个端点，直线 AF与椭圆另一交点为L uuuvB，且 AF2Fuv,则椭圆的离心率为6 .（河南省洛阳市2018-2019学年图二5月质量检测（期末）数学（理）已知F是椭圆 ？ a2。2a 3c3【解析】设A 0,y轴，垂足为C,如下图所示

6、:uuv L 则：AFJb,uuiv UUV/口由AF 2FB得:uuv AF uuv ABcuuvBCuuvBC3c,即:2Xb由椭圆的焦半径公式可知:uuv AF uuv FBa exBuuv BFexBc 3c a 22,整理可得:本题正确结果：虫37.（安徽省合肥市 2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“DandelinM球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球。1,球。2的半径分别为3和1,球心距离 OO28,截面分别与球Oi ,球O2切

7、于点E , F , （ E , F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .5【解析】如图，圆锥面与其内切球 Oi , O2分别相切与B,A,连接OiB,02 A则OiBA AB , 02AA AB，过。i作QDA 02A垂直于D ,连接O1FQ2E , EF交OQ2于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在 RtDOQzD 中，DO2 =3- 1 = 2 , QD =a2- 22 = 2压OiD 2、15.15cosa =-=O1O284Q O1O2 8CO2 =8 - O1CQ DEO2C : DFO1C8- O1C _ 01c o2e -01F解得0iC=2CF = 'O

8、iC2- FOi2 = . 22- 12 = .3即 cosb =史-= OiC2则椭圆的离心率e= cosb_= 2 =2_3cosa ； 15548 .（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆22E：、匕:21 2a bi a b o与y轴正半轴交于点m o, J3 ,离心率为:.直线i经过点pt,o 0 t a和点Q 0,1 .且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）（1）求椭圆E的标准方程;uuu uuu（2）右 AP PB，当 o2 303时，求 的取值范围.3【解析】c 1解析：（1）.由题意，e 且b J3 ,所以a 2,a 2所以椭圆E的

9、标准方程为(2).因为直线l经过点P t,0a和点Q 0,1 ,八一， 1所以直线l的斜率为一，设l :y1，-x 1 ,将其代2入椭圆方程之421中,3消去 x 得 3t2 4 y26t2y3t2120,时，设 A x1,y1、B X2,y2则 yy2uuu因为AP6t23t2 4uuuPB，所以联立,消去y1、3t2y1y1y2Xi, yiy ，整理得X2t, y2 ,所以1224t2 1yiy2t号味y21y212,412,6t23t2 40且V21, 29.(山东省威海市2019届高三二模考试数学理)在直角坐标系2一XxOy中，设椭圆C : a2y 1(a b 0) b2的左焦点为(I

10、)求椭圆C的方程; _1 ,F1,短轴的两个端点分别为 A,B,且 AF1B 60 ,点(V3-)在C上.(n)若直线l：y kx m(k 0)与椭圆C和圆。分别相切于P,Q两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线 l的方程.2【答案】(I ) y2 1.( n ) y x 75.4【解析】(I )由 AF1B 60，可得 a 2b,131由椭圆C经过点(乖,),得1, 24b4b由得a2 4,b2 1 ,2所以椭圆C的方程为x- y21 .42 X 2. y 122 一2_(n)由 4消去 y整理得 1 4k x 8kmx 4m 40(*),y kx m由直线l与椭圆相切得，222264k2m

11、2 16 m2 1 1 4k20,整理得m2 4k2 1 ,故方程(*)化为m2x2 8kmx八r4k解得x 'k ,m4 km设 p x1，y1 ,则 x1 21 4k4k 1因此 P(4,1). m m又直线l : y kx m(k16k2 0 ,即(mx 4k)2 0 ,，故 y1kx1 m 一 ,mmO相切，可得|OQ| J m 1 k所以 |PQ| , | OP 2 |OQ|216k2 1m2 m21 k2所以OPQ1 八 “2|PQ|OQ|1 16k2 1m2 _|m|_2 m21 k2 1 k2将m2 4k2 1式代入上式可得1 16k2 1 4k2 1 4k2 11 4

12、(4k2 1) 3 4(k2 1) 34k2 1OPQ 2 4k2 11 k2 1 k22 4k2 11 k2 1 k21 / 9k2卜k2 1 1 3k - -2 ： (4k2 1)(k2 1) 1 k22 1 k22 k 1S 313所以SOPQ 2 1 4,当且仅当k 1时等号成立，即k 1时Sopq取得最大值. kk由 m2 4k2 1 5,得 m 旗, 所以直线l的方程为y x J5 .22x y10.（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆E： 二 1 a>b>0 ,a buuu uurA 4,0是长轴的一个端点，弦 BC过椭圆的中心 O,且c

13、osOACA2月 uuLT,OC13uuuOBluut2 BCuuuBA（1）求椭圆E的方程.（2）过椭圆E右焦点F的直线，交椭圆E于A1,B1两点，交直线x 8于点M ,判定直线CA1,CM ,CB1的 斜率是否依次构成等差数列？请说明理由.22【答案】（1） 土匕1；（2）是，理由见详解16 12【解析】lut uuu(1)由 OC OBLUU2 BCLUTUTT LUUTulutLUTBA，得 BC 2 AC ,即 OC 2 AC ,所以 AOC是等腰三角形，又a OA 4, 点C的横坐标为2；LUU LUU 2 13又 cos OACA ，1322 J3设点 C 的纵坐标为 yC,2

14、22,解得 yC3,yC 213应取 C(2,3),-cr22又点c在椭圆上，2423 1,解得 b2 12, b22所求椭圆的方程为 162L 1；12(2)由题意知椭圆的右焦点为F(2,0) , C(2,3),由题意可知直线 CA，CM ,CB,的斜率存在,设直线AiBi的方程为y k(x 2),2代入椭圆x.162 y121 并整理，得(3 4k2)x2 16k2x 16k2 48 0；设 A(xhyj ,B(x2, y2),直线CA，CM,CBi的斜率分别为k1, k2, k3 ,则有Xx216k23 4k216k2 483 4k2可知M的坐标为M(8,6<)；kk13y23kI

15、Y|qx2x22x 2 3x1 2k x2 2 3为22k3?x1 x2 4 x1x2 4 2(x1 x2)又2k26k 32? 2k 1;8 2所以kik3 2k2,即直线CA,CM ,CBi的斜率成等差数列.11.(天津市河北区 2019届高三一模数学理)已知椭圆 C:2y2 1(a b 0)过点 2,1 b2,且离心率为(I )求椭圆C的方程;(n )若过原点的直线 与椭圆C交于P、Q两点，且在直线l2:xy2n0上存在点M,使彳导VMPQ为等边三角形，求直线11的方程。【答案】（I1 ( n ) y=0 或 y= 2 x 31b2由题ab2田解得22 ca=2、,2,b=:2,c= .

16、6 ,一 、一 x2椭圆C的方程为一 8（n）由题，当li的斜率k=0时，此时PQ=4 72,直线12:x y 2品 0与y轴的交点（0, 2 J6）满足题意;当li的斜率k 0时,设直线11kx,与椭圆联立kx2y2得 1 4k2 x2 =8, x2 18 、儿2，设 P1 4k（茂，yo）,则 Q（x。，yo)2x0822,y。1 4k28k21 4k2 ,PO8 1 k21 4k2，又PQ的垂直平分线方程为1x,由 k1x k2626k x k 12、6 , y k 12、6k2、；6MO24 k2 12k 1，: VMPQ为等边三角形MO 拘 PO24 k2 1k 1 28 1 k2-

17、，解得k=0(舍去),1 4k2k=23直线l1的方程为y=-x3综上可知，直线11的方程为y=0或y=2x.312.（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知椭圆2 y b2b 0的右顶点为A,上顶点为M ,下顶点为N,B是ON的中点（O为原点），连接AB并延长交椭圆AM MC .(1)求椭圆E的离心率;(2)若D是E上一点，以MD为直径的圆经过椭圆 E的右焦点，求直线 MD的斜率.咯案】e /k22 1试题分析：(1)求出C点坐标，根据 AM【解析】MC可得a2 3b2 ,结合a2 b2 c2可得结果；(2)方程为y kx by,由 3b2kx b2y声,结合韦达定理可得D1uuuu

18、urnr点坐标，利用FM FD0列方程，进而可得结果试题解析：(1) A a,0 ,B 0, b，直线AB方程为- 2y 1, 2a ba由 2 xa2yb2 y b2得C点坐标13a54b5AMMC,M 0,b ,4b53a 0,22.2 b c , c2b2,，离心率e2.6一；33(2)分析题意，易知直线MD的斜率存在，设方程为 y kx b ,y kx b由 x2y2得D2-213b b26kb 6k b1 3k2,1 3k2b ,由以MD为直径的圆经过右焦点F c,0 得2山山"6kb - 6kbFM FD 0, - c,b ? d ok2 c, d b 0,I 3k I

19、3kc2 2b2,k2 272k 1 0， k72 12213. (2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理)已知点点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线F为椭圆E:j七 1(a b 0)的左焦 a bx y 1与椭圆E有且仅有一个交点 M4 2(I )求椭圆E的方程;E交于两不同点A, B,若(n)设直线1_y 1与y轴交于p ,过点p的直线与椭圆4 2PMPA PB ,求实数 的取值范围.22亍%341 .【解析】(I)求椭圆标准方程，只要求出参数a,b ,由于有2,2a bc2,因此要列出关于 a,b,c的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得a

20、 2c,b . 3c ,再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为 0可求得椭圆方程;(n )由(I )得点M的坐标，从而可得 PM ,要求 范围只要求得 PA PB的范围，为此可直线 AB分类，对AB斜率不存在时，求得 PA PB ,而当直线AB斜率存在时，可设出直线方程为 y kx 2,同时设A(xi,yj Bd, y),则PA PB (1 k2) XX2 ,由韦达定理可把 pA 1PB表示为k的函数，注意直线与椭圆相交，判别式 0,确定k的范围，从而可得 PAPB的范围，最后可得的取值范围.试题解析：(2I)由题意，得a 2c, b 辰，则椭圆E为：三 4 c22或13c2，由 4x

21、42y3工22c，得 x2 2x 4 3c2 0 ,Q直线工y4 21与椭圆E有且仅有一个交点3c2椭圆E的方程为2y31与y轴交于P 0,2PM当直线l与X轴垂直时,PA PB2由 PM | PA PB当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y kx 2, A为，0,B X2, y2y kx由223x2 4y2124k216kx依题意得,X1X243 4k2484k2PA11PB2kx1x2k243 4 k214k2综上所述,14k2的取值范围是5,1 .14.（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知ABC的周长为6, B,C关于原点对称,且B(1,0）.点A的轨迹为求的方程;

22、若D( 2,0),直线l:y k(x 1)(k 0)与交于 E,1F两点，若,一kDE k成等差数列，求的值.x 2 ; ( n ) 2.(I)依题意，B( 1,0) , C(1,0),故 BC 2,则 AB AC 4 BC 2,故点A的轨迹是以B, C为焦点的椭圆（不含左、右两顶点）21(x2).的方程为土4）依题意，21kDEkkDE联立 y 2 k(x 21)3x2 4y2 12整理得04k228k2x2_4 k2 12 0.设 E(xi,yi),F(x2, y2),则XiX28k2X1X22_4k2 1223 4k2,k故 kDEkkDFk x1 2k x2 2k x115.y1y2x

23、1k x2 2k x2 13x1 13x2 18k23 4k24k2 123 4k22.3 x1 x2x1 x2 2x1x2 13 8k2x1 x2x1 x26 8k2与13 4k2（辽宁省葫芦岛市普通高中b2-2224k2 12 8k2 3 4k22019届高三第二次模拟考试数学理）1（a b 0）的上顶点为A ,左、右焦点分别为 FI,2 4 2,在平面直角坐标系 xOy中，椭圆f2,直线af2的斜率为-J3,点P,Q在 .3椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为（1,3）.（1）求椭圆E的标准方程;P点重合），直线PH , PK与x轴分别交（2）作直线l与x轴垂直，交椭圆于 H ,K

24、两点（H ,K两点均不与于点M ,N .求| OM | |ON |的最小值及取得最小值时点 P的坐标.2【答案】（1）42J 1 （2） |OM | |ON |的最小值为4,此时点P的坐标为（2,0）或（2,0） 3由直线AF2的斜率为 J3可知直线的倾斜角为120 .在 Rt OAF2中，AF2O 60,于是 a 2c,b J3c,2椭圆E：- 4c22 y 3c21,将Q3i,|代入得c i所以，椭圆E2的标准方程4(2)设点Ph，Vo，HXi,yi,QXi,yi .于是，直线PH : yVoyoXoyiXiX Xo ，令 y0,yoXiyXoyo yi所以|OM yoXiyiXoVoyi

25、直线PK :yyoy。yiXXo XiXo，令 y o,yoXiyiXoyoyi所以|ON |yXoyoyi|OM | |ON | -2V|OM | |ON|又y：yoXi yiXoyo yiyoXiyiXoyoyi22yoXiyiXo2yo2yi3X2T，yi平.代入上式并化简2323j2即|OM|ON|4当|OM|ON |(即、yoXiyiXoi )yo yiyoXiyiXoV。 ViyoXiyiXoyoyiVoXiViXoyoyi)时取得最小值,时，化简得yiyo Xi Xoo根据题意：Xi Xo ,若y 0亦与题意不符,所以yo0 ,此时Xo2或2yoXiyiXoyoyiy0X1 y1

26、Xo一y° 1 y1o时,化简得yo yi22yo Xiyi Xo33XoXiXiXoo422x yC ： 工 夫 1 a b 1离心a2b2与椭圆的方程，结合韦达定理根据中点坐标公式化简可得i 4k24km，求出No,列出AB的中垂线方将y： 3 3"，y12 3 注代入并化简得: 443根据题忌：XiXo ,右 3 xox1o,XoXi4 ,而2蒯2, 2x124 yoxi yixo yoxi yixo 一所以 XoXi4不成立，即 不成乂yo yiyo yi综上，Xo 2或2,点P的坐标为（2,o）或（2Q）16.（内蒙古呼伦贝尔市 2。19届高三模拟统一考试一数学（

27、理）已知椭圆率为直线x 1被椭圆截得的弦长为品2（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m交椭圆C于A, B两点，且线段 AB的中点M在直线X 1上，求证：线段 AB的 中垂线恒过定点.2【答案】（1） 土 y2 1 （2）见解析4【解析】【分析】（1）根据题意易得椭圆过点1,，结合e c J1 耳 也,求出a,b即可得结果；（2）联立直线2a a22-13e程y- X -即可得结果k 4（1）由直线x 1被椭圆截得的弦长为 J3,得椭圆过点1f ，即工 2 1,2 a24b2又 e c J1 1且，得 a2 4b2, a . a 22所以a2 4，b2 1 ,即椭圆方程为 y2 1. 42

28、x 2 d , y 1222(2)由 4' 得 14kx 8kmx 4m 4 0,y kx m由64k2m2 4(1 4k2)(4m2 4)16m2 64k2 16 0,得 m2 1 4k2.,8km由 x1 x22 ,1 4k设AB的中点M为x0,y0 ,得xo一 yo4km1 4k2kx0m1，即 1 4k24km，m1 4k214kAB的中垂线方程为y14k313 3一x-，故AB的中垂线恒过点N,0k4417 .（湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试理）已知椭圆22C ： xj -yy 1 a b 0 的 a2 b2离心率为3,焦距为2,3.2（1）求C的方程；

29、1（2）右斜率为 2的直线l与椭圆C交于p, Q两点（点p, Q均在第一象限），。为坐标原点证明：直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.4若Q与Q关于x轴对称，证明：tan POQ -.1；(2)见解析;见解析【解析】(1)由题意可得:2c2,解得:2.3b2椭圆C的方程为:y2 1(2)证明：设直线l的方程为:乂2,丫21出y2x由2x27 ym消去y得:2mx2 m2 1则4 m20,且xx2X1X2yy21一 x121一又221一 xx241m x12X2kOPkOQV1V22 m2 1即直线OP,PQ, OQ的斜率依次成等比数列由题可知:xOQxOQ由可知：tanxOQ八 1 ta

30、n xOP 一, 4tanxOQ0,tanxOP 0tan POQtanxOQ xOPtanxOQtanxOP1 tan xOQ tan xOP4 , tan xOQ tan3xOP 4 2, tan xOQ tan xOP 3若 xOQ xOP,则P,Q两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan POQ 一3b 0)的离心率为二1,且椭圆上一点2P的坐标为22,22(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆MB两点,且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点ABC面积的22x y18.(安徽省泗县第一中学 2019届局三局考最后一模数学理)已知椭圆M ： 二 1(aa b最大值.(1)1； (

31、2)1624(1)由已知乌又2,22b c，贝U a 2b.椭圆方程为2x4b22 y b21 ,将(J2,1)代入方程得b，21, a 2,2故椭圆的方程为x y2 14(2)不妨设直线AB的方程ky2x 2联立z yx ky1 , t消去x得k22kmy0.设 A(X, y1),Bd, y2),则有2 kmy1y2k2，y1y2“2 m_k2 4又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,uuu uuuCA CBuuuuur由 CA (Xi 2,y), CB (x2 2,yz)得 X 2 x2 2y* 0,将Xi ky m, X2 ky2 m代入上式得,22k 1 y1y2 k(m 2) y

32、y?(m 2)0,一 6将代入上式求得 m 或m 2 (舍)，56则直线l恒过点(6,0).511 4 2825 k2 436S ABC 二 | DC 1y1 y27y1 y24y1 y2TL；222 5 -25k2 411-8 2 1设 t 一(0 t )，则 Sabc J 36t 25t 在 t (0,上单调递增，k44254,1 16当t 1时，S ABC取得最大值 .42422 x y19.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)已知椭圆 一7 4 1(a b 0), A 2,0是长 a buur uur uuuruuu uuuuuur轴的一个端点，弦 BC过椭圆的中心O,点

33、C在第一象限，且AC BC0, |OCOB 121ABBC | .(1)求椭圆的标准方程;(2)设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B,若 PCQ的平分线总是垂直于 x轴，问是否存在实uur uuu数，使得PQ AB ?若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的PQ的长.【答案】x2直1（2） 2'' 30443【解析】uuur unn AC BC 0， ACB 90 ,uur |OCuuuuuirOB | 2|ABuuur BC |.uuiruuur即|BC | 2|AC |,AAOC是等腰直角三角形, A 2,0，.一 C 1,1 , 112 4而点C在椭圆上，-2

34、1 , a 2, b2 , a b3.所求椭圆方程为x2 3y2 1.44(2)对于椭圆上两点 P, Q, PCQ的平分线总是垂直于 x轴，. PC与CQ所在直线关于x 1对称,kPc k ,则 kcQk , C 1,1，.一PC的直线方程为y k x 11,QC的直线方程为y k x 11,23 2将代入3- 1 ,得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0,44 C 1,1在椭圆上，x 1是方程的一个根,3k2 6k 1 xp 2-，P 1 3k2以k替换k,得到xQ3k2 6k 1Z 2 3k2 1k xpxqkPQ2kxpACB 900,A 2,01,1 ,弦BC过椭

35、圆的中心O,PQ/ AB ,，存在实数uuuruuu使得PQ ABuuur|PQ|12k1 3k224k1 3k29k2160k1262、303 ，当9k21, rr2时，即 k2上3时取等号, 3uuur| PQ |max2x3q,3uur 又 |AB| V10 ,max2 30.丁 2/3，,1033取得最大值时的PQ的长为2叵2220.(安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理)已知直线l经过椭圆C:3 4 1 a b ca b的右焦点1,0 ,交椭圆C于点A, B,点F为椭圆C的左焦点，ABF的周长为8.(I )求椭圆C的标准方程； _. .一2，(n )右直线m与直线l的倾

36、斜角互补，且交椭圆 C于点M、N , MN 4 AB ,求证：直线 m与直线l的交点P在定直线上22【答案】(I)L L i (n)见证明43c 1c 1o解：(I )由已知，得，b2 3,4a 8a 222椭圆C的标准方程 1 .43(n)若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线 l的斜率存在.A Xa、Va,N Xnn将直线m的方程代入椭圆方程得:3 4k2 x28k2tx 4k2t2 30,XMxN8k2t3 4k22. 24 k t同理,由MN直线AB,1 k2AB得t'xM xN3 4kMN1 k2_ 22 216 12k 3k

37、 t4 k2 2m: ykx,4、9k2 93 4k2_212 1 k3 4k24 264k4t2_ _216 3 4k22 2k2t20,P的定直线21.(湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理)已知椭圆2 x C: ay2b21(a b 0)过点2君，君，右焦点F是抛物线y2 8x的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线l过右焦点F ,且与椭圆C分别交于M , N两点.试问x轴上是否存在定点 Q,使得uuuu uuir135QM QN 恒成立？若存在求出点Q的坐标：若不存在，说明理由1622【答案】(1)二上1 (2)见解析16 12-123(1)因为椭圆C过点(2./3

38、, J3),所以 不 1, a b又抛物线的焦点为2,0 ,所以c 2.一 123, 1-所以与。3 1，解得a2 3 (舍去)或a2 16.a2 a2 422所以椭圆c的方程为1.16 12uuuu uur 135(2)假设在x轴上存在定点Q(m,0),使得QM QN .16 uuuu当直线l的斜率不存在时，则 M (2,3) , N(2, 3), QM (2uuur m,3) , QN(2 m, 3),uuuu uu1r2135511由 QM QN (2 m) 9,斛得 m 或 m ；1644uuuruuir当直线 l 的斜率为 0 时，则 M ( 4,0) , N(4,0) , QM (

39、 4 m,0) , QN (4 m,0),uuuu uuur2135n n由 QM QN m 16,解得 m一或 m .1644由可得mQ的坐标为11八,0 .4卜面证明当m11 uuur uuir 一时，QM QN4135 、恒成立.16当直线l的斜率不存在或斜率为 0时,由知结论成立0) , M为，W，N x2,y2 .直线与椭圆联当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为y k(x 2)(k立得 3 4k2 x2 16k2x 16 k2 30,直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且X216k216 k2 3VN2k Xi2?k x2 2 k2X1X22k2 %X24k24k23, x

40、1X24k2uuuu uuur 所以QM ?QNXiX2117,y2X1X2111211 k2 X1X22k211X1X21214k216X216阳22 16 k224k2 32k211216k224k2 316135 、恒成立16综上所述，在x轴上存在点11Q 一,04，使得uuurQMuuirQN135 、恒成立.1622 .(湖北省黄冈中学 2019届高三第三次模拟考试数学理)已知椭圆C：2 X -2 a方 1(a b 0)的离心率为,左、右焦点分别为 冗、F2, A为相圆C上一点,AF1与y轴交于B ,(n)过右焦点F2的直线y k(x 2)(k 0)交椭圆于交直线X 3于点M .求|

41、PQ|MF2的最大值.(I)连接AF2,由题意得I AB|F2BF1BJ61ABi 及B'|OB1?P、Q两点若PQ的中点为N ,。为原点，直线ON，所以BO为F1AF2的中位线,b22| BO | 一 a又因为BOF1F2 ,所以AF2F1F2,且AF2b2 c2 ，得 a26，b2 2，故所求椭圆方程为2匕1.2(II)联立2 X6y2y2 k(x12)可得3k21 x2 12k2x12k2 6设 P x1, y1Q X2,y2 ,则XiX212k2 3k212k2XX23k2 16所以为y1y2k x1x24k4k3k2 1所以PQ的中点N坐标为6 k23k2 12k23k2 1

42、|PQ|2 26 . k23k2因此直线ON的方程为y1一x , 3k从而点为3,1MF2|PQ|22MF218T2224k2 k23k22)3k216311u2 2u1616、3.| PQ| 取得最大值MF223.(贵州省遵义航天高级中学2019届高三第1模)已知椭圆C：2-y2-1(a b 0)的离心率b2(1)求椭圆C的方程;222(2)已知圆M： x y 3的切线l与椭圆相交于 A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是,求出定点的坐标；如果不是，请说明理由,2【答案】(1) 2x_ y2 1 ； (2)见解析【解析】(1)因为椭圆C的离心率e迎，所以£ 巫，即a

43、72c.2 a 2因为抛物线y2 4j2x的焦点F(，2,0)恰好是该椭圆的一个顶点,2所以a J2,所以b 1 .所以椭圆C的方程为 y(2) (i)当直线l的斜率不存在时.x由2 x因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为)，不妨设A(阻骂,B(啦,3331则以AB为直径的圆的方程为(x(ii)当直线l的斜率为零时.因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y由2 x,不妨设A(_631，B(则以AB为直径的圆的方程为 x2、6 2(y T)显然以上两圆都经过点0(0,0) .(iii)当直线l的斜率存在且不为零时.设直线l的方程为y kx m .y kx m222由 x22 消去 y,