2020高考数学答题技巧集锦(104页)

1、2020高考数学答题技巧集锦(104页)专题01函数的性质及其应用【自主热身，归纳提炼】1、已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=2x x2,则f(0)+f ( 1)=.【答案】：【解析】：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0) =0, f(1) = f(1)= (2 1)= 1,因此 f(0) +f( 1) = 1.2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x3,则不等式 f(x)< - 5的解集为.【答案】(一8, 3【解析】：当x>0时，f(x) = 2x 3> 2;因为函数f(x)是定义在R上的奇函 数，所以

2、 f(0) =0;当 x<0 时，一x>0,所以 f(-x)=2 x-3, f(x)=-2 x + 3,此时不等式f(x)W 5可化为2一x+305,解得xw 3.综上所述，该不 等式的解集为(一00, 3 .x x-b ,x>0,3、 若函数f(x)=(a, bCR)为奇函数，则f(a+b)ax x+2 ,x<0的值为.【答案】：-1【思路分析】本题是一僧段觥的奇偶性问题，破解方法是运用赋值法或运用+ 求让康数中3的值.解法1因为函数/5)为奇函数，所以九-U二一式1),1 工一8 a 1+ 2 #式 2) = 汽23即'l2 2-b -2 -2+2 ，解得k

3、- 1, =2,经验证3=-1； b2满足题设条件.所以 /(a+ » = F(1) = -L解法2因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，bb2当x>0,二次函数的图像顶点为2,-当x<0,二次函数的图像顶点为(一1, a), bb2所以一2二一1， 4 = a，斛行 a 1, b=2,经验证a= 1, b = 2满足题设条件，所以 f(a+b)=f(1) =1.4、设函数y=ex +二一a的值域为A,若A? 0 , +oo)则实数a的取值范围是 ， e【答案】(一8, 2【解析】：因为ex>0 ,所以y=ex+Ja2 ,ex exa=2a,当且

4、仅当 ex= 1,即x = 0时取等号.故所求函数的值域 A=2a, +oo).又A? 0, 十 8),所以2a>0,即a<2.5、设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+ln4,记an = f(n 5),则数 歹久an的前8项和为.【答案】：-16【解析】数列an的前8项和为f( -4) + f(-3)+ - + f(3) =f( -4) + (f( 3)+f(3) +(f(-2)+f(2) +(f(-1) + f(1) +f(0) =f(4)= f(4) = 24+ ln 4= 16.6.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x 1,1)时,/W-,一，

5、1工工亡0则f目的值为二23”【解析】北3)=/?-5),因为函数f(x)周期为2,所以/G + 2)-/,于是所以代入已知【解析】式中，有 ，_；尸7；2二1,即£：1.«JU J'a .exk,7、已知函数f(x) =)是R上的增函数，则实数k的取x<0,1 k x + k, x>0值范围是.1 .【答案】：-< k<1e 一 k w ki【解析】：由题意得 解得片&k<1.1-k>0,2本题中f (x)是R上的增函数，所以必须注意在 x = 0处两段函数值的大小关系.8、定义在 R上的奇函数f(x)满足当x>0

6、时，f(x) =log2(2+x) + (a1)x+ b(a, b为常数).若f(2)= 1,则f( 6)的值为.【答案】4【解析】：由题意得f(0) =0,所以log22+b=0,所以b= 1, f(x) = log2(2 + x) + (a1)x1,又因为 f (2) = 1,所以 log 2(2 + 2) + 2( a1) 1 = - 1,解 得 a=0, f(x) =log2(2+x) -x-1, f( 6)=f(6) = log 2(2 + 6) -6-1 =4.【问题探究，开拓思维】例1、.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(一°°, 0上为单调增函 数

7、.若f(1) = 2,则满足f(2x 3)&2的x的取值范围是.【答案】(2【解析】：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(8, 0上为单调增函 数，所以f(x)在R上为单调增函数.又因为f(1)= 2,所以f(1) =2,故 f (2x-3)<2=f (1),即 2x-3< 1,解得 x<2.【关联1、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+x.若f(a)+f(a)<4,则实数a的取值范围为.【答案】.(1,1)解法1(奇偶性的性质)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a)+f ( a) =2 f(| a|)<4

8、 ,即 f(| a|)<2 ,即|a|2+|a|<2, (| a|+2)(| a| -1)<0,解得一 1<a<1.解法2(奇偶性的定义)当x&0时，一x>0,又因为f(x)是定义在R上的偶 函数，所以，f(x)=f( x)=( x)2+( x)=x2 x,故 f(x) = x2+ x,x>0,x2- x,x<0.当 a0 时，f(a)+f( a)=(a+a)+( a) ( a)= 2a + 2a<4,解得 0< a<1；当 a&o 时，f(a)+f( a) = (a a)+( a) +( a)= 2a 2a&l

9、t;4,解得一 1<a00.综上，1<a<1.解后反思 解法2是从函数的奇偶性定义入手，先求函数【解析】式，再对a分类求解，没有充分运用函数的奇偶性，而解法 1借助了函数奇偶性的性质， 即对于R上偶函数乂)有£(乂)=乂)=| x|),把自变量化成非负值，避免 分类讨论.【关联2】 设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x,若对任意 的xCa, a+2,不等式f (x + a)f2(x)恒成立，则实数 a的取值范围是3【答案】- 3思路分析在函数性质问题中，出现“双 f”特征“f(x +a)f2(x) ”应联想到直接代入【解析】式求解(解法

10、1)、用函数的单调 性求解(解法2),故法1只需根据条件求出函数f(x)的【解析】式；法2的难点 在于是否能够把f2(x)写成f(t)的形式，易知f2(x) =f(2x).解法1(利用【解析】式)当x0时，定义在R上的偶函数f(rx)=2x,易得， f(x)=2|x|, xCR 由 f(x + a)f2(x)得，2|x+a|>(2|x|)2,即 |x+a| 引2x| 对于 xCa, a + 2恒成立，即(3x + a)( x a)00 对于 xC a, a + 2恒成立，-3斛行a< .(3a+a) (aa) < 0,3 (a + 2) +a (a+2-a) <0,解法

11、2(偶函数的性质)当x>0时，定义在R上的偶函数f (x) =2x,易得， f(x)=2|x|, xCR,易证 f2(x)=f(2x), xC R,故由 f (x+a)f 2(x)得，| x+ a|引2 x|对于x C a, a + 2恒成立，下同解法1.,一14x o例2、已知函数f(x) =sinx x+ 2 ,则关于x的不等式f(1 x) + f(5x 7)<0的解集为【答案】：x2<x<3【解析】；因为因数£小)=口本一、+三3的定义域为R,且/(-X)'JT)- (-X)+4, 114$_simr-Fx-F=- £inr-jr+ =

12、-jf(jr),所以由奇函教I的定义可知真3为区上的奇函数.又产 上、2 JC OSJT- 1-13-因为 lCOSJTli Ln2>0; 则有W所以F为R上的激的数,因此不等式IIXl-V) + (5jt-7)<0,即 F(1-t：)<-F(5n-7),亦即 式1艮)<式¥-&0，即解得2<j<3,故不等式f(l-切+ F(5l7>8的解集为京|豕K3.解后反思 解此类抽象不等式，很少运用函数表达式，通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f ,将它转化为关于变量x的具体不等式

13、来解.【关联1、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0, +8)上是单调增一，、， 一-1 一 ，函数.如果实数 t满足f(ln t) + f ln , 02f(1),那么t的取值范围是e1一 一 一 一【解析】：f(ln t)+flnf=f(ln t)+ 了(一匕-,工加1)M 2川)；函数是定义在R上的偶函数。【关联 2、已知函数 f(x) =x3+ 2x,若 f(1) +f( log-3)>0(a>0 且 a*1),则实 a数a的取值范围是.【答案】：(0,1) U(3 , +oo)【解析】：由函数f(x)的【解析】式易得，该函数为奇函数且在定义域R上是单111调增函

14、数.故 f (1) +f (log 占3)>0 ,即 f(log a3)> f (1) =f ( 1),即 log£3>111>1,0<1<1,=log aa.所以a或 a解彳30<a<1或a>3.3>a3<a,解后反思遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性，将所给不等式转化为自变量不等式，不要忽视函数的定义域对自变量的限制.【关联3、已知函数f(x)为定义在2 a,3上的偶函数，在0,3上单调递减，并且月-册：-f'八用-刀，则实数m的取值范围是.【答案】：1-&W陋4

15、.【解析】：由题设可得2 q-3 = 0，即a 5,f(-m: -1)>/2加-2)即T”-2廊-2)，又1W/+1工工1W / 为-2W3 ,故 力-lc/一 2两- 2n桁 ；，且m 1 版,故1 一/W*«1. X【关联4】、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3,且满足ma o g 3，则实数m的取值范围是源3【解析】因为fW的最小正周期为3,所以/(2AR2 7)度41»又函数工)是定义在R上的奇函SL于是-D = ra)=胴-二,即/。卜-用3 mmJ由得一：制一三；生一，即用一WW2 j整理得沔-二,即、二域瞋一1)WQ j mJ

16、mwrn于是尸解得阴W-l或0"W3.附¥ 0(e为自然对数的底数)，若,则实数x的取值范围为.【变式】、已知函数以'b/3-1巾4-玲2【答案】：1 x 3【解析】：曲7"/(4一0>2二反2彳-1卜小|/(4-f)-“)。不妨令以瑜三/CML则原式可化为:g(2lD + *4-60 g(x)为奇函数且为增函数。£(2x-1) > -(4 - y )-2底，-4) 2x-l > - 4 /. -1 < jc < 3=3l -3-1/(I 2logr)+f(31 oei r - 1) > log, t【关联I、

17、.已知函数八,，次/八7 J ；，则t的取值范围是 .【答案l ： t 1【解析】：由川-2 log 2 tJ+,/131o r -11 >1g i t三得1-，- -1 -进而/tl-21og;zl-/(l-Slog: r i> 11-Slog 2 fl- 1-21ob 2 r),所以/tl -21og ; r l+(l-21og2 f) N/(I-Slog :门+(1310g : 11构造函数g(x)=/(工1+工二宫工-葭，+R则g x是奇函数，并且在R上是增函数所以有 g(l-2k>g；。之gll - 31og = f), 1-21og二工之 1-31og“，解得 t

18、 1例3、(2016江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，fW = 2 * nY, 1，其中a R,若，则f (5a)的值是.(-X 乏/ <1=3【解析】/(-彳)=%$=*=抬)，则下一='一号，得aa 2f() = /C3) = Ai = /(-1) =-1+4 = -因此)'.【关联1】、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)ax+1, -1< x<0,=bx+ 20<x< 1, x+1，一 .4 1其中a, be R若f 2则a+3b的值为【解析】因为f(x)的周期为2,所以fl=f

19、 12一一 1又因为f 21 一 11=-?a+ 1, f 2b 一 2+2二1 2+1_b+4.整理,2 .=3(b+1) .b+ 2 -2-,即 b= - 2a.3又因为 f( 1) =.f(1),所以一a+ 1 =将代入，得 a=2, b= 4.所以 a+ 3b = 2 + 3X ( 4) = 10.时,【关联2、已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数“当x 0,3,若函数y f (x) a在区间3,4上有J0个零点,则实数a的取值范围是(互不相同)图&)= j？-2x+!x 0,3的公共点数为14,则有 a (0,2).例4、已知函数/=3'外广S wR)(1)若f(

20、x)为奇函数，求 的值和此时不等式f(x) 1的解集；(2)若不等式“*)&6对* 0,2恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)函数*= 3 一人尸的定义域为Rf(x)为奇函数，.,(_*_汽_幻_0对x R包成立，即37 中工门度+堂+小3工=0-1X31+3。=。对x R包成立，1 .此时/。)=3工-37>1即0_y-i>O,解得$工鸯'或于父二(舍与，(2)由 f(x)<6得即 3x _< 6, 3令t 3x 1,9,原问题等价于t ,W6对t 1,9恒成立，亦 即 < t2 6t 对 t 1,9 恒 成 立，令一- -g(t)在1,3上

21、单调递增，在3,9上单调递减， 当 t 9时，g(t)有最小值 g(9)27, < 27 .2* 十 a【关联1】、设 - 7(a,b为实常数).(1)当a b 1时，证明：f(x)不是奇函数；(2)若f(x)是奇函数，求a与b的值；(3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集 D,对任彳B属于D的 x、c,都有一支7成立？若存在试找出所有这样的D;若 不存在，请说明理由.【解析】 证明：三九所以八-1卜-加，所以了不是奇困虬（2）八戈）是奇国勉时F即三工一告:对定义域内任意实数K都成立士T 十。 2 4占即仁人力>+口3-4>2+（为-2） 丁。,对定义域内任

22、意实数£都成立"m则;二扣仁-经检蛉都符合题意（2）当：1 -2时，汽工）-严十1因为2x 0 ,所以2x 1 1,10 12x 1而-苛-洛对任何实数c成立;所以可取D=R对任何x、c属于D,都有工-竞、成立所以当1 ;2时，-2-112 1-21（工 hQ）x 0 时，f（x）1）因此取D （0,工；当x 0时，f （x） 122对任何x、c属于D ,都有，J、立72）当 c 0 时，u -女-3>3,解不等式一:一占岂3得：x所以取D = Cf噫争,对任何屈于D的x、专题02二次函数及指、对数函数的问题的探究【自主热身，归纳提炼】1、已知4a=2, logax

23、= 2a,则正实数x的值为.1【答案】：2111 1【解析】：由4=2,得2 =2,所以2a= 1,即a=2.由10g/x= 1,得x= 5 = 12.的定义域为，即。3 x 1 ,即 0 3 x 1 ,解2、函数/二IQ-万【答案】：(2,3【解析】：由题意，1 一行%>°得 2 x 3.3、函数f(x) = 1og2(x2+ 25)的值域为.3【答案】|、-00, 2【解析】：由题意可得一x2+2j2>0,即一x2+ 2V2C (0,2 15,故所求函数的值3域为一OO, 2 .4、设函数f(x)=x2 3x + a.若函数f (x)在区间(1,3)内有零点，则实数a

24、的取 值范围为.9【答案】0, 4一力3。 9 一,一、.3解法 1 由 f (x) = 0得 a= x +3x= x-2 +4.因为 x (1,3),所以一x-2 99,9+ 46 0, 4 , 所以 aC 0, 4 .解法2因为f(x)=x2 3x + a= x-| 2-4+a,所以要使函数f(x)在区间(1,3), ，一 , 一一 3 一 一一 9内有零点，则需f 2 0 0且f(3)>0 ,解得0<a< 4.解后反思 解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a,从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系 的应用；解法2则是借助于函

25、数的图像，通过数形结合的方法来解决的.5、已知函数f(x) =x2 + ax+b(a, bCF5的图像与x轴相切，若直线y = c与y = c+5分别交f(x)的图像于A, B, C, D四点，且四边形ABCD勺面积为25,则 正实数c的值为.【答案】4【解析】：由题意得 a2=4b.又由 x2+ax+b = »m AB= |x1一x2| =a-4 b- c1= 24.同理CD= 2，C。.因为四边形 ABCD为梯形，所以 25 =万(2后行+ 2QE) X5,解得 c=4.6、 .已知对于任意的工DU。")，都有29-3+曰>0,则实数a的取值范围是.【答案】：(1

26、,5【解析】；A=4<a-2)2-4<0, 01a2 - 5a+4< 0, 1<q式4时,满足题意g当A =斗即序一5二+ 4*0；4式1或时23 < a < 7RiJ<f-2(-2)+i!>0 ,解之得，0工5,所以3<:口£5,又因为口 01或也占4,所以4式餐K 5,5:-10(<r-2) + f7>0 菱，与 综上所述，实数日的取俏范围为(15。7、 .如图，已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴，顶点A , B和C分别在函数 y 3logaX , V2 210gx 和 y3 logx ( a 1)的图象

27、上，则实数 a的值(t0),因为正方形ABCD的边长为2,31ogar21cgar = 2r* e 2 = 0M-f=2t 之得a2后,即所求的实数8、若 log詈1 1，则a的取值范围是a19、已知函数f (x) = lg 1一艺的止义域是2，+00 ,则头数a的值为.a【答案】22 解法1由1 了>0, 4导2>a.显然a>0,所以x>log2a.由题息，得1 »log 2a= 5,即 a=、2.1 a解法2 (秒杀解法)当x = 2时,，必有1 m = 0,解得a=qi10、已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x (0,2时，f(x)=2x1,函2数

28、 g(x) =x 2x + m 如果？ xe 2,2 , ? x2 -2,2，使得 g(x2)=f(x1)， 则实数m的取值范围是.【答案】 5, -2【解析】：因为xC(0,2,函数f(x)=2x1,所以f(x)的值域为(0,，3.又因 为f(x)是2,2上的奇函数，所以x = 0时，f(0) =0,所以在2,2上f(x) 的值域为3,3.而在2,2上g(x)的值域为m 1,8 + m .如果对于任意 的 x1C 2,2,都存在 xzC 2,2,使得 g(x2)=f(x。,则有3, 3? mn8+m>3,» m>-5,1,8 + nm,所以即所以一 5& m 2

29、.K - 3, 2,11、已知函数f (x) =x| x 当 aw 1 时，x a_ 有 aw x 01 ; = 1,得到 aw 1.-a| ,若存在x C 1, 2,使得f (x)<2 ,则实数a的 取值范围是.【答案】：(-1,5)解法 1 当 xC1,2时，f(x)<2,等价于 |xxx 1 ax|<2,即一2<x3ax<2,即 x3-2<ax<x3+2,得至I x2-2<a<x2+2,即 x2- min<a< x2+- ma:x 得至ij 1<a<5. x xxx '解法2原问题可转化为先求：对任意

30、x 1,2,使得f(x)>2时，实数a 的取值范围.则有 x|x2a|>2, IP | a-x2| >2. x(1)当 a>4 时，a>x2+2>22+2 = 5,得至I a>5. x 2(3)当 1<a<4 时，| a x2| >0,与 2>0 矛盾.x那么有aw 1或a>5,故原题【答案】为1<a<5.解后反思 对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1);也可以转化为命题的否定即包成立问题来处理(如解法2).12、已知函数f(x) =ex-1

31、+ x2(e为自然对数的底数)，g(x) = x2 axa+ 3,若存在实数xb x2,使得f (xi) =g(x2) =0,且|x1一x2|01,则实数a的取值范围是.【答案】：2,3【解析】；易知的数十nY为单调递增团数1且r(i)=eaM-2=oJ从而，因为I师一 抵|W&所以.1一鹏|11,所以口工弱Wz，题意也就可转化为存在实散犷E 2、使得3-初一占+3二。成jfH- 3f - 1 2 -j- 3d立，即存在实数0, 21 ,使得 户工77成立，令寸=#+1(长13。，则£区=；二升1JT1- 1tt2?= 2 2=29当且仅当即f=2j *=L时取等号.又因为人

32、比.=皿弗屋1)式3)=3,所 以函鼬式t) =f+-3的值域为3,从而实数占的取值范围是2 3 .解后反思 本题的突破口是利用函数f(x)的单调性求出xi=1,然后转化成求函 数值域问题，那么求实数 a的取值范围就属于常规问题了，考生要特别关注这 种创新与传统相结合的试题.【问题探究，开拓思维】例1、已知函数'一组+ ”3(1)若f(x)的两个零点均小于2,求实数a的取值范围;(2)方程f(x)0在(1,2)上有且只有一个实根，求实数 a的取值范围.-22【解析】(1)由题意，等价于 0,解得a& 1或2&a y .f(2) > 0(2)当f(1)f(2) 0时

33、，此时f(x) 0在(1,2)上有且只有一个实根，得2a竺7，当f (1)当f(2)0时，即a 2时，此时f(x) 0有x 1,舍去;184,.0时，即a亍时，此时f(x) 0有x 2或x 7,舍去,2 a 18 a a7解后反思 求解复合方程的解的问题，通常将复合方程转化为简单方程的复合形 式，然后来分别研究简单函数的解的情况来研究问题'g(x) =x2+ 1 2a.若 x<0,x 2ax a+ 1,【变式1、已知函数f(x)= ln (-x),函数y = f(g(x)有4个零点，则实数a的取值范围是.【答案】：a|、a<1或a>1思路分析 换元 g(x) =t ,

34、 f(t) =0,由 g(x) =x2+1 2a= t 得x2= t (1 2a), 因为函数有四个零点，所以方程f(t) =0有且仅有两个不相等的根t1, t2,且t1>1-2a, t2>1 2a,因为方程f(t) =0的一个解为t= 1,故按照12a与一 1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围.设g(x) =t,因为函数y=f(g(x)有四个不同的零点，所以方程 f(t) =0 有且仅有两个不相等的根 t1，t2,且由g(x) =x2+12a= t,得x2=t(1 2a),故 t1>12a, t2>12a.当 t<0 时，由 In ( -t) =0 得

35、t = 1.若1 2a= 1,则a=1,易得函数f(g(x)有五个不同的零点，舍去.若1 2a< 1,则a>1,所以f(0)<0 ,所以方程f(t) =0有且仅有一个正 根，符合题意.若1 2a> 1,则a<1,所以方程f(t) =0必有两个正根，且ti>12a, t2>12a.因为 t>0 时，f=t2 2at-a+1,2所以 a>0, A = 4a 4(a+1)>0, f(0)>0 ,f(1 2a) = (1 2a)2 2a(1 -2a) -a+1>0,解彳导力1 <a<1.综上可知，"52 &l

36、t;a<1 或 a>1,即a| 寸521 <a<1 或 a>1.解后反思 本题考查复合函数的零点问题，处理 f(g(x) =0解的个数问题，往往通过换元令t=g(x) , f =0,研究t的解的个数，再讨论每一个解 对应的g(x) =t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理.【变式2、已知函数f(x)=x2 2ax+a21,若关于x的不等式f(f(x)<0的解 集为空集，则实数a的取值范围是.【答案】：(一8, 2思路分析 注意到f(f(x)<0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由于f(x)可分解为x a+1 x- a-1

37、 ,从而应用整体思想，可将问题转化为a1<f(x)<a+1,此时再来研究不等式 ax2-2ax + a2- 1>a- 1,1<f(x)<a+1的解集.若直接解不等式组 x2_2ax + a2_ 1<a+1则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想来加以解决，考虑函数y=£")与丫 = 21, y=a+1的图像关系，易得到问题【答案】.因为 f (a=【JT一6十 1)【L (廿一 1),所以 ) <0 等价于/(X) (tf+1) /(JT)一 3一 1) "0 p 从 而要使人打)飙的解集为空集,根据邮的图像

38、,贝篇产国+1与尸丹至多有一 个交点.又因为fCri二(L血；1三一 1,所以解得枝一£解后反思的究高次的方程、不等式通甯苜先考虑的是能否迸行降次，转化为低次的方程.不等式J 其次,在研究方程、不等式问题时，要充分注意它与函数的关系,即充分利用它所对应的为数的图像的直 观性来肝究问题n这往往可以起到化难为易n优妙为简的作用.专题03利用函数的图像探究函数的性质【自主热身，归纳提炼】1、作出下列函数的图象:(1) y = 2-2x；(2)y=logl 3( x+2);3 y=|log 1( x)|.2【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函 数图象.【解析入

39、乜)作图数尸2,的图象关于麓轴对称的图象得尸的图象，再将图象向上平移2个单位;可得产2 2工的璇.如图打(2)因为3(jH- 2) = - logs 3(jt-F2) = -logj U+2)一 1.所以可以先将函数户log亦的图象向左平移2个单位，可得产_0糜缶+2)的图象，再作图象关于N轴对称 的图象,得产一1。白5+2)的图象)最后将图象向下平移1个单位，得产一史5+2)-1的图象即为尸1口子3 3十力的图象.如图山作y = log、的图象关于y轴对称的图象，得y=log(一x)的图象，再把x轴 22下方的部分翻折到x轴上方，可得到y=|iog 1(x)i的图象.如图3.21 .作函数图

40、象的一般步骤为：（1）确定函数的定义域.化简函数【解析】式.讨论函数的性质（如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等 ）以及图 象上的特殊点（如极值点、与坐标轴的交点、间断点等）、线（如对称轴、渐近线 等）.（4）选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象.然后依次进行单一变换，最终得到所要的2 .采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线 （如渐近线）和特殊的 点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数， 将函数的【解 析】式分解为只有单一变换的函数链， 函数图象.2、若函数'33-1呜工工>4"田的值域是4,),则实数a的取值 范围是.【答案

41、】：1 a<2 .【解析】作出函数的图象，易知当x&2时，八© =一工-6年,要使f (x)的值域为4,),由图可知，显然a 1且1咀造4,即1 a<2 .3 、 已知函.数f(x) = | 2x 2| (x C ( 1,2)，则函数 y = f(x1)的值域为画出函数f(x)=|2x【答案】0,2)解法1由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域.2|的图像.由下图易得值域为0,2)-|, 2 ,所以 |2x 2| 1V解法 2 因为 xC(1,2),所以 2xe 4 , 2x-2 0,2).因为y=f(x 1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，所以值域不变

42、，所 以y = f(x1)的值域为0,2).4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的xC0, +8),满足f(x+ 2)=f(x).若当 x 0,2)时，f (x) =| x2 x 1| ,则函数 y = f(x)1 在区间 -2,4上的零点个数为.【答案】：7【解析】：作出函数f(x)的图像(如图)，则它与直线y=1在2,4上的交点的 个数，即为函数y=f(x) 1在2,4的零点的个数，由图像观察知共有 7个交 点，从而函数y = f(x) 1在2,4上的零点有7个.4,xm5、已知函数f(x)= 2若函数g(x) =f(x) 2x恰有三个x +4x 3, x<m不同的零点，

43、则实数m的取值范围是【答案】(1,2解法1问题转化为g(x)=0,即方程f (x) =2x有三个不同的解，即x> m4= 2xx<mx>m或 x2+ 4x-3 = 2x,解得 x=2x<m, x= 1x<m或cx= - 3.因为方程2>m,x>m, x<m解得1<mc 2.画出函数y=42x和y= x2+2x3的图像，可知函数g(x)的三个零点为一3, 1,2,因此可判断m在1与2之间.当1时，图像不含点(1,0),不合题意；当m= 2时，图像包含点 (2,0),符合题意.所以1<mc 2.6、已知直线y=kx+1与曲线f(x) =x

44、+1 x：恰有四个不同的交点，则 x x实数k的取值范围为【答案】-1, 0, 1 88【解析】：由题意得f(x) = x+1 x-1是偶函数，且f (X)= XX2 一 ,1，x< 1，2X,-1<x<0,，一入，一一,，一作出曲线的图像(如图所示).当k = 0时，直线 2x, 0< x<1,2.x> 1,xy = kx + 1与曲线f (x) = x+1 x1有四个公共点；当k>0时，要使它们有 x x2四个公共点，则需y = kx+1与y= 1(xw 1)有一个公共点，止匕时kx+1 = xI，即方程kx2+ x+2= 0有两个相等的实数解，从

45、而 A=18k=0,解得k= x1;当k<0时，根据对称性可得k = 1.从而满足条件的 k的取值范围是88二，0 1一，一 2易错警小 本题会忽视当直线与 y=-相切时，其实就是有四个交点.处理动 x直线与曲线交点时要注意两个特殊情形：一是过端点，二是相切的时候.12x-x3, x<0,7、已知函数f(x)= 2x)当乂(8, m时，f(x)的取值范围为x>0.16, +8),则实数m的取值范围是.【答案】：-2,8【解析】：由于f(x)的【解析】式是已知的，因此，可以首先研究出函数 f(x) 在R上的单调性及相关的性质，然后根据 f(x)的取值范围为16, +8),求 出

46、它的值等于一16时的x的值，借助于函数f(x)的图像来对m的取值范围进行 确定.【解析函勃式工)=2.-空恰有Z个不同的零点,即方程2/=9恰有1个不相等的根,亦即方x>a x<a程 <【) 八和(I】 >“共有之个不相等的根.P-G=OX6A30苜先(I )中2，一以=£即(2t)，= 0j若口* 则工"都是方程"5 : 0的根？不符合题意，所以4H2因此(I )中由2无-&¥ = 0解得工=0 F下面分情况讨论(1)若"=0是用呈C I >的唯一根，则必须满足03日j即叮£0 ,此时方程(ID

47、必须再有唯一的一个K口=0rr根，即 r有唯一根，因为岂H。,由？三6"士=0 >得2f = 8+式必须有满足尤士"E 02/ -6工-ax 0的唯一根，首先6十。二。，苴次解得的负根需满足一1一(口*0,从而解得一:4口£0,(2)若x 0不是方程(I)的唯一根，则必须满足 0 a,即a 0,此时方程(n)必须有两个不相等的根，即口 > o x<a有两个不相等的根，由2Y6k4 二 0，得x 0 a适合，另外2x2 6 a还有必须一满足 x a, a 0的非零实根，首先6 a 0,解得的正根需满足2 -6x- at -0J6yaa,从而解得0

48、a 2 ,但前面已经指出a 2,故0 a 2 ,3综合(1)、(2),得实数a的取值范围为(-,2).【解后反思】函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想 解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化， 运用纯代数的手段来解决问题 的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高， 此题也可通过数形结合的思想来解 决问题，可以一试.【关联2、已知函数f(x)=|sin x| -kx(x>0, k C R)有且只有三个零点，设此Xo三个零点中的最大值为 X0,贝U 1 + x2 sin2x =.一 1【答案】：2【

49、思路点拨】转化为定曲线y = |sin X|(x>0)与动直线y=kx的位置关系问题.【解析】：由y=|sin x|( x>0)和y = kx的图像可知，当曲线与直线恰有三个公 共点时，直线y = kx与曲线y= sinx(xC冗，2兀)相切，设切点横坐标为 xo,斜率为一COSxo.得 tanxo=x。.一 sin xo = kx0, 由cosx° = k,、，2sin xocosxo因为 sin2 x0=cos2x + sin 2x =2tan xo21 + tan xo2xo 一用，所以xo1: 2 =二1+xo sin2 xo 2=Lr-4r 4-2"一

50、 人 公一【关联3、已知函数J 、,e x-,x>0,【关联5】、设函数f(x) =2(其中e为自然对数的底数)x3 3mx- 2,x<0有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.【答案】(1 , +00) v1 一解法1(直接法)当x>0时，令f(x) =e2=0,解得x = ln2>0,此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x00时，f(x) = x3 3mx- 2有 2个不同的零点，因为 f ' (x) =3x2 3m,令 f' (x)=0,则 x2恰有2个零点，则实数a的取值范围为【答案】 一二 -4x1 =

51、2-av【解析】令fxo可得 ，令卜卜7乂。= 2-",在同一坐标系中画出它们的图象可得，先研究x o时，当过A点直线与该曲线相切时，设切点为 P %,外 ,又32x o,2 时，y 4x x ,故 y' 4 3x ,代入点o,2所以切线方程为可得：xo 1 ,此时切线方程为y 2 x与x 0部分曲线有两个交点，与x 0部分的曲线也有两个交点.当a 1时，此时左右各一个交点，故a 1符合题意，由对称性可得a 1时也成立. x+rni, x<0,【关联4、已知函数f(x)= x2 1)其中m>0,若函数y = f(f(x)x>0,-1有3个不同的零点，则实数

52、m的取值范围是.【答案】.(0,1)【思路点拨】先画出函数图像草图，再分类讨论.【解析】令f(f(x) = 1,得f(x) =及或f(x) =m- K0,进一步，得 x = 胃2+ 1或x=m-5<0或x=，m因为已知m>0,所以只要 m< 1,即0< m< 1-vm= 0,若mK0,则函数f(x)为增函数，不合题意，故 m>0,所以函数f(x)在 (OO,飞行)上为增函数，在(一yml, 0上为减函数，即f(x)max= f(ym) = m.JmV 3m Im- 2=2mjm- 2, f(0) = 2<0,要使 f(x)=x3 3mx- 2 在(&#

53、176;°, 0上有2个不同的零点，则f(x)ma片2m/mi- 2>0,即m>1,故实数m的取值范围 是(1 ， +00). 一,一 1 一解法2(分离参数)当x>0时，令f(x) =e x2=0,解得x=ln2>0,此时函数 f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x00时， f(x)=x3 3mx-2有2个不同的零点，即x3-3mx-2 = 0,显然x = 0不是它的 根，所以 3m= x2-2,令 y=x22(x<0),则 y' =2x + 22 = 2(x 1)当 xC xxx x(8, 1)时，y'

54、 <0,此时函数单调递减；当 xC ( 1, 0)时，y' >0,此时 函数单调递增，故ymin = 3,因此，要使f(x)=x3 3mx-2在(一8, 0)上有两个 不同的零点，则需3m>3,即m>1.解后反思 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定 参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2就 是此法.它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问 题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题.(3)数形结

55、合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的 图像，然后数形结合求解.这里采用方法是(1)和(3)的结合.【关联6、已知函数人靖二 八 的图象恰好经过三个象限, 则实数a的取值范围是.【答案】：a<0或a>2.【思路点拨】：由于是分段函数，当a £0和a>0时，一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函数【解析】式结构特点知a £0时，函数图象过三个象限，问题就变成 了考虑a>0的情形，也就是由题意1=工；5+|工-2L的图象需经过第一、二象限， 有两种思路: 思路1,分离参数后，转化两个函数图象在y轴右侧的图象有公共点（且不相切），找到临界切线位置；思路2,转化不等式的存在性问题，分离参数后，转化求最值问题，最终求得a的取值范围.【解析】当a< 0时，尸6-1,运0的图象经过两个象限，（0, +8）包成立，所以图象仅在