【KS5U解析】安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学（文）试题 Word版含解析

1、合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）第卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出集合a，b，由此能求出ab【详解】集合a1，3，5，7，bx|2x8x|x3，ab5，7故选：c【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则（ ）a. 1b. c. d. 【

2、答案】b【解析】【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模【详解】由题意，故选：b【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解3.若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）a. b. c. 7d. 16【答案】b【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，向上平移直线时减小，当过点时，取得最小值4故选：b【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，注意本题中可行域不是多边形内部，而是一个开放性区域4.已

3、知数列是等差数列，若，则( )a. 18b. 17c. 15d. 14【答案】b【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a7【详解】数列an等差数列，a22，s639，解得a11，d3，a71+6317故选：b【点睛】本题考查数列的某项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.在平行四边形中，若交于点，则( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据题意知，点e为cd的中点，并设，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出，而根据三点b，f，d共线即可得出的值，从而用表示出【详解】如图，e为cd的

4、中点，设，且b，f，d三点共线，解得，故选：d【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题6.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )a. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到b. 函数的图象关于直线对称c. 函数在区间上是单调递增的d. 函数图象的对称中心为【答案】d【解析】【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.【详解】由图象可知a2，f（0）1，f（0）2sin1，且，f（x）2sin（x），f（）0且为单调递减时的零点，kz，kz，由图象知，又0，2，f（x）2sin（2x），函

5、数f（x）的图象可由yasinx的图象向左平移个单位得，a错，令2x，kz，对称轴为x，则b错，令2x,则x，则c错，令2xk，kz，则x，则d对，故选：d【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题7.若函数是奇函数，为偶函数，则( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据题意，可得f（1）+f（1）4，及，两式联立即可求得f（1）【详解】函数f（x）f（x）2x4是奇函数，f（1）+f（1）0，即f（1）2+f（1）20，则f（1）+f（1）4，为偶函数，g（1）g（1），即，则，由解得，故选：c【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数

6、值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f（1），f（1）的方程组是解题关键，属于基础题8.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（ ）由图1和图2面积相等得；由可得；

7、由可得；由可得a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据图形进行计算【详解】由面积相等得，正确；在图3中，由三角形面积得，又，由得，所以，正确；，由得，所以，正确；由由得，所以，正确四个推理都正确故选：a【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论本题考查数学文化，激发学生的学习积极性9.已知函数，则的解集为( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围【详解】函数，则f（x）f（x+1），当x0时，则x+11，则不等式f（x）f（x+1），即x21（x+1）21，求得x0当01，则不等式f（x）f（x+1），

8、此时f（x）=x210f（x+1）=log2（x+1），0x1成立当x1时，不等式f（x）f（x+1），即 log2xlog2（x+1），求得x1综上可得，不等式的解集为（，+），故选：c【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题10.记，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】椭圆上的点m与焦点构成的角中，当点在短轴的顶点时角f1mf2最大，分焦点在x，y轴两种情况讨论可得实数m的范围【详解】当焦点在x轴上时，a2m，b21，m1，由对称性可知当m为

9、上下顶点时，f1mf2最大，因为，f1mf2，f1mo，所以tanf1mo1，即1，解得m2；当焦点在y轴上时，a21，b2m，0m1，当m为左右顶点时，f1mf2最大，因为，f1mf2，f1mo，所以tanf1mo1，即1，解得0m，故选：a【点睛】本题考查椭圆上的点于焦点构成的角当为短轴的顶点时角最大的性质，属于中档题11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择三个项目的意向如下：扶贫项目贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向中随机选

10、取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由题意可知，甲乙只能选a，b项目，丁只能选a，c项目，丙则都可以所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可【详解】由题意：甲乙只能选a，b项目，丁只能选a，c项目，丙则都可以由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选a，则丁只能选c，丙则可以选b，c任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选b，则丁可以选a或c，丙也可选a或c，故共有种方法（3）甲乙分别选ab之一，然后丁选a时，丙只能选b或c；丁选c时，丙则a，b，c都可以选故有种方法故基本事件共有2+4+

11、1016种甲乙选同一种项目的共有2+46种故甲乙选同一项目的概率p故选：a【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度属于中档题，12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的半径为，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】设设圆柱高为，求圆柱底面半径，从而用表示出圆柱体积，由导数知识求得最大值，此时该几何体体积最小，再求其表面积即可【详解】设圆柱高为，则圆柱底面半径为，圆柱体积为，由得（舍去），当时，函数递增，时，函数递减，时，圆柱体积最大时，此几何体体积最小故选：

12、d【点睛】本题考查几何体的体积与表面积，考查导数在体积最值中的应用解题关键是用圆柱的高表示出圆柱的体积，由圆柱体积的最大值得几何体体积的最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.曲线（是自然对数的底数）在处的切线方程为_.【答案】yexe【解析】【分析】分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程【详解】f（x）2exex，kf（1）e，又f（1）0故切线方程为ye（x1），即yexe故答案为：yexe【点睛】本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性属于基础题14.已知数列的首项为，

13、则数列的前10项之和等于_.【答案】31【解析】【分析】将中的n换为n1，n2，nn*，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，求得a2，计算可得所求和【详解】数列an的首项为1，可得an1an2n1，n2，nn*，相除可得2，可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，由a22，可得前10项之和为（124816）+（2+4+8+16+32）32131故答案为：31【点睛】本题考查数列递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题15.已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于_.【答案】4【解析】分析】先由

14、双曲线的几何性质写出b和f的坐标，并求得|bf|的长，然后设双曲线的左焦点为e，由双曲线的定义可知，|pf|pe|2a，而bpf的周长为|bf|+|pf|+|pb|bf|+2a+（|pe|+|pb|），求出|pe|+|pb|的最小值即可得bpf周长的最小值，当且仅当b、p、e三点共线时，可得解【详解】双曲线，f，如图所示，不妨设b为x轴上方的虚轴端点，则b（0，1），|bf|2，设双曲线的左焦点为e，由双曲线的定义可知，|pf|pe|2a，即|pf|pe|，bpf的周长为|bf|+|pf|+|pb|bf|+（|pe|）+|pb|2|pe|+|pb|2|be|4，当且仅当b、p、e三点共线时，等

15、号成立所以bpf周长的最小值等于4故答案为：4【点睛】本题考查双曲线的定义、利用几何性质求最值，解题的关键是充分利用双曲线的定义，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，属于基础题16.已知：在长方体中，点是线段上的一个动点，则的最小值等于_；直线与平面所成角的正切值的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将ab1c与d1b1c以公共边b1c为邻边展开成一个平行四边形，其对角线ad1的长度即为所求p点在b1c上移动，它在平面add1上的射影h落在a1d上，此时ph是定值a1b1，只需研究ah的范围即可【详解】长方体中，ab1，ad2，aa13，点p是线段b1c上的一个动点由

16、长方体的性质可知，将ab1c与d1cb1以b1c为公共边展开成一平面四边形ab1d1c，如图：易证四边形ab1d1c是平行四边形，所以当apd1三点共线时，即ap+d1pad1时最小根据平行四边形对角线和四条边的性质即：，代入数据得：，解得ap+d1p的最小值等于由长方体的性质可知，对角面a1b1cd平面add1a1，交线为a1d所以由点p向直线a1d作垂线ph，则ph平面add1a1连接ah，则pah即为直线pa与平面aa1d1d所成角显然phab1为定值设rta1ad斜边上的高为h，则a1dhadaa1，求得h，此时ah最短结合a1a3，所以，所以tanpah故答案为：，【点睛】本题考查了

17、利用展开图求空间折线长的最值问题以及线面角的求法此题的第（2）问关键是抓住长方体的几何性质以及ph为定值来分析属于稍难的题三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若角为锐角，的面积为，求的周长.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可求b的值（2）由b是锐角，可求，利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，进而可求三角形的周长【详解】（1）tana（2coscsina）cosa2sinc，2sinacoscsin2acos2a2

18、cosasinc化简得，即，即或（2）b是锐角，由，得，在abc中，由余弦定理得，abc的周长为【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图（1），在矩形中，在边上，.沿将和折起，使平面和平面都与平面垂直，连接，如图（2）. （1）证明：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）分别取af，be的中点m，n，连结dm，cn，mn根据条件可证得平面adf平面abef，则dm平面abef同理cn平面abef，从而dmcn可得mnab，则cdab；（2）根据体积关系以及线

19、段长度关系可得v三棱锥bdce2v三棱锥befc2v三棱锥cefb由（1）知，cn平面bef，即可得所求【详解】（1）分别取af，be的中点m，n，连结dm，cn，mn由图（1）可得，adf与bce都是等腰直角三角形且全等，dmaf，cnbe，dmcn平面adf平面abef，交线为af，dm平面adf，dmaf，dm平面abef同理，cn平面abef，dmcn又dmcn，四边形cdmn为平行四边形，cdmnm，n分别是af，be的中点，mnab，cdab；（2）由图可知，v三棱锥dbcev三棱锥bdce，ef1，ab3，cdmn2，v三棱锥bdce2v三棱锥befc2v三棱锥cefb由（1）知

20、，cn平面bef，【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直定理的应用，考查三棱锥的体积求解，属于中档题19.已知圆经过抛物线的焦点，且与抛物线的准线相切.（1）求抛物线的标准方程；（2）设经过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为点，若的面积为6，求直线的方程.【答案】（1）y24x（2）2x3y20【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），则c（x2，y2），由抛物线的定义可知，|af|x1+1，|cf|x2+1设直线ab的方程为yk（x1），将其与抛物线的方程联立，消去y可得关于x的一元二次方程，写出韦达定理；设直线m（ab）的倾斜角为，则t

21、ank，且sinafc|sin（2）|sin2|2sincos，将其转化为只含k的代数式，再利用正弦面积公式得，结合韦达定理表达式，化简整理可得，从而解出k的值，进而求得直线m的方程【详解】（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点f的距离与到准线l的距离相等，即点（4，4）在抛物线e上，168p，解得p2抛物线e的标准方程为y24x（2）由已知可得，直线m斜率存在，否则点c与点a重合设直线m的斜率为k（k0），则直线ab的方程为yk（x1）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立消去y得k2x22（k2+2）x+k20，x1x21由对称性可知，c（x2，y2），|af|x1+1，|cf|x2+

22、1设直线m（ab）的倾斜角为，则tank，由已知可得，解得直线m的方程为，即2x3y20【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的定义、曲直联立、正弦面积公式等，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题20.随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步数，并整理成下表：分组（单位：千步）频数6024010060201802（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用表示事

23、件“走路步数低于平均步数”，试估计事件发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？健步达人非健步达人合计40岁以上不超过40岁合计附：.0.0500.01000013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）0.6216；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由数据和平均值的计算公式可得答案，（2）由频率估计概率可得答案，（3）根据题目所给的数据填写22列联表即可，计算k2，对照题目中的表格，得出统计结论【详解】（1）由题

24、意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为：，所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8.432步（2）由频率约等概率可得：，所以事件a的概率约为0.6216（3）根据题目所给数据填写22列联表如下：健步达人非健步达人合计40岁以上150150300不超过40岁50150200合计200300500，有99.9%以上把握认为，健步达人与年龄有关【点睛】本题考查独立性检验，平均值的计算，统计概率的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目21.已知函数.（是自然对数的底数）（1）求的单调递减区间；（2）若函数，证明在上只有两个零点.（参考数据：）【答案】（1）（kz）（2）见解析.

25、【解析】【分析】（1）由f（x）0得，利用正弦函数的单调性质可得f（x）的单调递减区间；（2）依题意可得g（x）ex（sinx+cosx）2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，）内各有一个零点，从而可证得结论成立【详解】（1）f（x）exsinx，定义域为r.由f（x）0得，解得（kz）f（x）的单调递减区间为（kz）（2）g（x）ex（sinx+cosx）2，g（x）2excosxx（0，），当时，g（x）0；当时，g（x）0g（x）在上单调递增，在上单调递减，又g（0）120，g（）e20，g（x）在（0，）上图象大致如右图，使得g（x1）0，g（x2）0，且当x（0，x1）或x（x2，）时，g（x）0；当x（x1，x2）时，g（x）0g（x）在（0，x1）和（x2，）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增g（0）0，