2020届海南省天一大联考高三下学期第二次模拟数学试题(附带详细解析)

1、O 筑O II O 麴O 氐O O 照O K O 期O M O 绝密启用前2020届海南省天一大联考高三下学期第二次模拟数学试题题号四总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上考试范闱：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题请点击修改第I卷的文字说明1.设集合”=>")，= 一/£4，N = x-l<x<3,则A/r)N=()B. 0,3C. (-1,0D. (TO)2.已知。力eR ,更数Z =-。+加，q =（8 + 4）+ （。-2），在更平面内对应的点重合

2、,A.3.A.C.4.。=-1, b = -3 B. 。= 3, b = l C. 。= 2, b = -2D,a = 2,/? = 2设C是空间中三条不同的直线，已知则“o_Lc,”是“b/c”的（）充分不必要条件B ,必要不充分条件充要条件D.既不充分也不必要条件圆周率乃是无理数，小数部分无限不循环，亳无规律，但数学家们发现万可以用一4 4 4 4列有规律的数相加得到：乃=4 + 4,、行+.若将上式看作数列%的各项求和，则J的通项公式可以是A.C.5.A.44 = 2 -1/ 14an =(-1) - ' )2 1在AA5C中，A5的中点为B.D.，! (4 一 1)(4 - 3

3、)8的中点为七，则题=（,1> 1>1, 1,AC B. -AB + -AC C. AB-AC1 , 1 ,D. -AB-AC42试卷第8页，总5页6 .已知。为第二象限角，且sin? a = cos2a，则 ；=（）cos- aA. 一巫B. -C. J2D. -JJ22227 .已知正六边形的两个顶点为双曲线C： * * =的两个焦点，其他顶点都在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A. 2B.6+1C. 2退D 48.已知/（X）是定义在R上的奇函数，对任意的为,9£农，尸（占）+尸（&）L=18,则函数g（x） = 2/a）+ l的值域为（）A. 2,5B

4、.制C. 2,9D.玲9评卷人得分二、多选题9.某地区一周的最低气温随时间变化的图象如图所示，根据图中的信息，下列有关该地区这一周最低气温的判断，正确的有（）周一周二周二网B司力罔六用HA.前六天一直保持上升趋势B.相邻两天的差最大为3C.众数为0D.最大值与最小值的差为710 .下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（）A.侧面都是矩形的三棱柱B.上、下底面是正方形的四棱柱C.底面是等腰梯形的四棱锥D.上、下底面是等边三角形的三棱台11 .关于工的方程（r一2村一2（2工一炉）+&=0,下列命题正确的有（）A.存在实数使得方程无实根B.存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根O 然

5、O 11- O 塌O gO 如M/氐塌田邮K-BO 然O H O 塌O 氐O 第n卷（非选择题）请点击修改第n卷的文字说明评卷人得分四、解答题C.存在实数使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数使得方程恰有4个不同的实根12.已知抛物线C： V = 2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,过点尸的直线与抛物线交于夕，0两点，M为线段产。的中点，。为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A. C的准线方程为y =-1B.线段尸。的长度最小为4C. M的坐标可能为（3,2）D. 0>.丽=一3恒成立评卷人 得分三、填空题13 .已知（1 +。工）4的展开式中的系数为108,则实数。=.V2

6、 4- 1 r < Ax+2；o'若/（。）= 3,则实数=.15 .已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,则该圆锥的体积为.设线段为底 面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着圆锥的侧面运动，到达3点后再回到A点， 则该质点运动路径的最短长度为.16 .小李在游乐场玩掷沙包击落玩偶的游戏.假设他第一次掷沙包击中玩偶的概率为0.4, 第二次掷沙包击中玩偶的概率为0.7,而玩偶被击中一次就落地的概率为0.5,被击中两 次必然落地.若小李至多掷两次沙包，则他能将玩偶击落的概率为.17 .在。= J7c,A46C的外接圆半径H = 2jr，b+c = 2icosC这三个条件 中任选一个，补充

7、在下面问题中，并解答问题.在A45C中，角A, 8, C的对边分别 为。，b, J已知A = q, AWC的面积S = 6"，且.求边J （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18 .已知q是递增的数列，2是等比数列.满足可="=1,（白一4）？=4+", 且对任意 £ N*，2%。“+ += b：.(1)求数列也的通项公式；(2 )求数列%的通项公式.19 .某公司组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情 况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲1812乙328(1)从甲、乙两个部门所有员工中随机抽取

8、1人，求该员工学习活跃的概率；(2)根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；(3)活动第二周，公司为检杳学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都 不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？参考公式：K' =- 尻)-,其中 = i+c+d.(a + b)c + a )(a + c)(b + a)参考数据：P(K? 2 0.1) = 2.706,>0.05) = 3.841, P(/C2 >0.01) = 6.635.20 .如图所示，直三棱柱A5CAgC；的各棱长均相等，点七为的中点.(1)证明：EBJBC1；(2)求二面角&

9、#163;一七用一。的余弦值.O 然O H O 塌O 氐O 21 .已知椭圆C： £+)尸=1(。>1)的左、右焦点分别为F1，F2,左顶点为A,满O 赛O II O 恶O 氐O 中迎 is -MB一辂部O 就O I1 O 期O M O 11 e足府|一画| =府'其中°为坐标原点',为椭圆'的离心率.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过G的直线/与椭圆C交于0，。两点，求APOE面积的最大值.22.己知函数/(x) = 2elnx-G；+l ( a eR, 6为自然对数的底数).(1)若函数/(x)存在极值点，求。的取值范闱：(2)设g(x)=

10、 VL/(R + "1+2"7.若不等式k(xl)<g(x)在,”(Li)上恒 2e成立，求k的最大整数值.参考答案答案第5页，总16页1. c【解析】【分析】 求出集合” 即可得到两个集合的交集.【详解】-M = yy<09 ：.MCN = x-l<x<0.故选：C【点睛】 此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出集合” 根据集合的交集运算法则求解.2. A【解析】【分析】 根据两个点重合得两个好数相等，建立方程组求解.【详解】依题知-a = b + 4b解得a = -lb = -3故选：A【点睛】 此题考查复数概念的辨析，根据两个更数相等，利用

11、实部与实部相等，虚部与虚部相等求解 方程组.3. B【解析】【分析】 根据空间中直线位置关系判断两个条件的推出关系即可得解.【详解】由且。不一定推出/C，故不满足充分性；由£，坂且6/C.一定推出故满足必要性所以“ 4 _L C ”是“ b / /C ”的必要不充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于熟练掌握空间两条直线位置关系的判断.4. D【解析】【分析】44444888根据乃=4 ； +=三+ 七+可以改写成+=+v+，结合选项即可得 3379111x35x79x11解.【详解】888+ , 1x3 5x7 9x114 4 4 4 4由题可知乃=4一

12、一+ 一一十 一一十3 5 7 9 118对比选项可知"” =(4-1)(4"3).故选：D【点睛】此题考查归纳推理，关键在于准确找出数列规律，结合已知的裂项求和方法进行代数变形即 可得解.5. B【解析】【分析】 根据平面向量的运算法则即可求解.【详解】7 = 7+ad = -ac+-ab=-ac+-ab.21，212 J 24故选：B【点睛】此题考查向量的线性运算，关键在于熟练掌握向量的线性运算法则，准确求解.6. D【解析】【分析】根据 siif a = cos2a 求出 tan a =-sin 2。cos2 a2sin ecosacos2 a=2 tan a即可得解

13、.【详解】由 siii2 a = cos 2。= cos2 6Z-sin2 a，得 tan2 a = 2,2。为第二象限角，111夕=一走，siii 2acos2 a22smacosa = 2tana = - cos- a故选：D【点睛】 此题考查同角三角函数基本关系的辨析，根据平方关系和商的关系求值.7. B【解析】【分析】 根据正六边形的几何特征，结合双曲线的几何意义分别求出，C，即可求得离心率.【详解】 根据题意，双曲线的焦点必须是正六边形的两个相对的顶点，如图所示.设正六边形的边长为1,双曲线的半焦距为c,则双曲线的焦距为2c = |耳用| = 2,2.二性月卜卜尼| 二 &-

14、1，所以双曲线的离心率为6 =-=a V3-1=>/3 + 1.故选：0【点睛】此题考查根据正六边形和双曲线的几何性质求双曲线的离心率，关键在于熟练掌握相关性质 准确计算.8. D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和已知条件求出/（X）的值域，结合指数函数的值域求解.【详解】对任意的士,占£火，有/?（占）+ /2（9）3 =18,则/（xL = 3, /（工）f二3,所以 2/(x) e故选：D【点睛】此题考查根据函数的奇偶性解决函数最值问题，根据指数函数的单调性解决指数型函数的值 域问题.9. CD【解析】【分析】 根据折线图可得周三到周四气温下降，周六周口差为4,其余说法正

15、确.【详解】周三到周四，最低气温卜.降了，所以A项错误；周六与周口的最低包温之差为4,故B项错 误；0出现了 2次，而其他的值只出现1次，故众数为O,c项正确:最小值为周一的-3。， 最大值为周六的4%?，二者差为7, D项正确.故选：CD【点睛】此题考查根据折线图分析数据特征，关键在于准确读懂折线图表达的意思，根据数据特征下 结论.10. AC【解析】【分析】多面体存在外接球，其表面的多边形均有外接圆，根据选项中的多面体特征进行辨析.【详解】多面体存在外接球，则其表面的多边形均有外接圆.对于A,侧面都是矩形的三棱柱，表面 由矩形和三角形构成，满足条件；对于从上、下底面是正方形的四棱柱，侧面可

16、能为斜的 平行四边形，不满足条件；对于C，底面为等腰梯形的四棱锥，表面由等腰梯形、三角形构 成，满足条件；对于上、下底面是等边三角形的三楂台，侧面梯形不一定有外接圆，比 如有一条侧棱垂直于底面的情况，故。不满足条件.故选：AC【点睛】此题考查几何体特征的辨析，根据几何体的结构特征判定是否有外接球.11. AB【解析】【分析】通过换元法，设"V-2x，方程化为关于，的二次方程产+ 2f +女=0的根的情况进行分类讨论.【详解】设f = V - 2x ,方程化为关于/的二次方程产+ 2f + k = 0(*).当k>l时，方程(*)无实根，故原方程无实根.当k = l时，可得，=1

17、,则£2x = 1,原方程有两个相等的实根x = L当k<l时，方程(*)有两个实根九，2&<右)，由。+心=-2可知，t, <-1, t2>-.因为f = x? 2x = (x1一1之一1,所以炉2x =乙无实根，/一2工=%有两个不同的实 根.综上可知：A, B项正确，C,。项错误.故选：AB【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.12. BCD【解析】【分析】根据抛物线的几何意义判定，联立直线与抛物线方程结合韦达定理计算即可得解.【详解】焦点尸到准线的距离即为P = 2,所以抛物线C的焦点为尸(1,0)

18、,准线方程为x =-1, A 项错误.当尸。垂直于x轴时长度最小，此时尸(1,2), 2(1-2),所以|PQ| = 4, B项正确.设P(XQ1)，。(居,乂)，直线尸。的方程为X = 7)T1.联立一 ，消去)'可得x = my +1好 一(4?？ + 2)x+l = 0,消去 x 可得)尸一47y -4 = 0 ,所以为 + & = 4/+ 2 , 兄+耳=4团，当m=1时，可得"(3,2),所以C正确，又占毛=1, )1%=一4,所以 OP OQ = xLx2 + yky2 =-3» 所以 D 正确.故选：BCD【点睛】此题考查直线与抛物线相关问题，

19、涉及抛物线的几何特征，直线与抛物线的关系，利用韦达 定理解决问题.【解析】【分析】 根据二项式定理写出展开式的通项公式，根据系数建立等式即可求解.【详解】二项展开式的通项公式为（_ =。：（。丫）'，令，:3,则f的系数为C：/=08,则。=3.故答案为：3【点睛】此题考查二项式定理，根据展开式中某项的系数建立等式求解参数，关键在于熟练掌握二项式定理.14. 一虎或1【解析】【分析】分类讨论，分别代入两段解析式求解方程即可得解.【详解】若<0,则标+ 1 = 3,解得a = -JT；若。> 0,则。+ 2 = 3 ,解得a = l.故答案为：JT或1【点睛】此题考查分段函数

20、，根据函数值求自变量的取值，关键在于分段解方程求解.IS 2 JI兀£1J. O3【解析】【分析】根据母线和底面圆半径求出锥体的高，即可得到体积，将圆锥侧面展开结合图形求解最 短距离.【详解】 圆锥的高为疹下=2应，所以体积为:'乃'2无=当二圆锥底面周长为2% ,于是侧面展开得到的扇形的圆心角为三，3如卜图,则质点运动的最短路径为虚线所示的折线，长度为6.故答案为：之叵，63【点睛】此题考查求圆锥的体积和圆锥表面路径最短的问题，关键在于熟练掌握圆锥的几何特征，对 侧面进行展开求解.16 . 0.55【解析】【分析】击落玩偶分三种情况：第一次就击落；第一次未击中，第二

21、次击落；第一次击中但未 击落，第二次击落，分别求出概率，三个概率之和即为所求.【详解】小李将玩偶击落有三种情况，第一次就击落：第一次未击中，第二次击落；第一次击 中但未击落，第二次击落.所以0 = 0.4x0.5 + 0.6x0.7x0.5+0.4x0.5x0.7 = 0.55.故答案为：0.55【点睛】此题考查根据事件的关系求解概率，关键在于弄清玩偶被击落的所有可能情况，根据概率公 式求解.17 .若选择，c = 2jl;若选择，c = 2逐;若选择，c = 2jJ【解析】【分析】任选一个条件，根据正余弦定理结合面枳公式分别求解.【详解】若选择条件：由 S = be sin A =x-bc

22、= 6y/3 » 得be = 24.22 2b2+c2-7c2 _ 1而 -21222根据余弦定理有cos A =' j-2bc整理得从一be 6c2=0,所以 =3c或b = 2c （舍去）.所以c = 3c? = 24，解得c = 2jl.若选择条件：由 S = be sin A =x-bc = 6y/3 » 得be = 24.22 2根据正弦定理有 = 2RsinA = 2遍.根据余弦定理有a2 =b2 +c2 -2feccosA = 24整理可得加+c? =48-(be = 24_由。，解得Z? = c = 2j.g- + c-=48若选择条件：由正弦定理及

23、条件得sin 8+sin C = 2sin 4cos C >因为 A+8+C=/r,所以 sin5 = sin(A+C)= sinAcosC+sinCcosA ,所 以 sin C = sm A cos C-smC cos A = sin ( AC),A jr所以C = A C (C+AC =乃不符合条件)，于是C = 5 =. 所以 8 =5，a = y/3c -所以S = Lc =正/ 22故答案为：若选择，c = 20；若选择，c = 2痣；若选择，c = 2jl【点睛】此题作为开放性试题，自选条件作答，关键在于熟练掌握正余弦定理结合三角形面枳公式求 解三角形., 118. （1）

24、 4=3"T； （2） a =-2【解析】【分析】（工）根据（4一ay="+仇得（寸一夕丫=d+夕3解方程即可得解：（2）由题（。四一见=（3"T ）2根据单调性求出可+| - an = 3"t ,利用累加法即可求得通项 公式.【详解】（1）设也的公比为勺（4工0）,由已知（"一 "y/得（q,-q） =（十（-，化简得炉3q = 0,解得4 = 3.故“=M"T = 3"T.（2）由始+2。/+ +。；=配,得（/+为 =（3"T。因为% 单调递增，即凡<,所以。“+1一% = 3"t

25、.Q = 1, a2 611 = 3°, 6/3 tv2 = 31, a4a5 = 32 , an ci, = 3/f-2（77>2）,累加得用= 1+1 + 3 + 32+3。+3t1-3-13"-1+ 1=1 +=.1-32因为4 = 1也符合该式，所以为=>.2【点睛】此题考查求数列通项公式，根据题目所给递推关系求解通项公式，涉及公式法和累加法求通项公式.19. （1）（2）没有；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据两个部门员工的总数和学习活跃的人数，利用占典概型求解；（2）根据公式计算出32x12） =3 36即可判定;50x20x30x40（5）根据

26、随机事件的发生具有偶然性以及概率大小关系，言之成理即可.【详解】（1）设事件A为“从甲、乙两个部门所有员工中随机抽取1人，该员工学习活跃”则 P(A) =18 + 32，50_518 + 32 + 12 + 8- 70- 7,(2)K2 =70x(18x8-32x12)?50x20x30x40=3.36因为3.36<3.841,所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关.（3）设事件B为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”C 若第二周保持第一周的活跃情况，则。（6）= m、0.036.C40答案示例一：可以认为活跃率降低了，因为尸（6）很小，事件8一般不容易发生，现

27、在发生 了，则说明学习不活跃的人数增加了，即活跃率降低了.答案示例二：不能认为活跃率降低了.因为事件3是随机事件，虽然P（b）较小，但还是有可能发生，所以不能认为活跃率降低.【点睛】此题考查计算占典概型的概率，解决独立性检验问题，根据事件发生的概率解释生活中的事 例，关键在于准确计算求解.20. （1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)通过证明6£_L平面E5Q即可证得；(2)建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】(1)设8a与C4交点为。，连接OE, BE.由题可知四边形8CG用为正方形，所以6G且。为8G中点.又因比;？ =+= Afi- + AC;,所以 6E = C

28、E ,所以 BQ _L OE.又因为。石0。d=。，所以5£_L平面E6C.因为EB】u平面E6。，所以5。1_1_目九(2)取的中点。，连接。C, O，C_LA5,在平面464A过点。'内作46的垂线,如图所示，建立空间直角坐标系。'-冷2.设A5 = 2,则石片(0,1,2), 6(0,1,0), (-73,0,2).所以鬲二 (0,2,1), EQ=(-1,1).设平面G"的一个法向量为 =(x, y, %)，p7M = 2y+z = 0_ / 厂 厂、则 广，令y =军,则 =(一1,啰,一24).nECl=->/3x+y + z = 0、7由

29、（1）可知平面CE6的一个法向量为6c =（一出，一 1，2）,则cos （对讣目=,"=亚'71 n - BC, j3 + l + 4 J1 + 3 + 12 4由图可知二面角c1-七4-。为锐角，所以其余弦值为YE. 4【点睛】 此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过空间向量求解二面角的大小，关键在于根据定理 准确推导，计算求解.21. （1） y + /=l; （2） 72【解析】【分析】11 ell c（1）根据画一网=函得一 =而5,即可求得离心率;（2）设直线/的方程为工=团旷-1,联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理表示出三角形的面枳，利用基本不等式求解面枳的最大

30、值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c.1 1 _ e , J 1 _ c由 |。罩 OA 得 c a a（a + c） , 整理得4?=2c2.又因为所以/ = 2, C2=l.所以椭圆c的标准方程为y+r =1.（2 ）由（1）可知，月（一1,0），与 1,0 .设直线/的方程为x =L联立消去工可得（加+ 2）?一27），-1 = 0.x + 2y-2 = 0'7设P(XQ，J, Q(x2,y2).mi2m1则ixE所以帆-讣户了三=2四户K7 +2J tri +2 啊2+ 2)所以 Sy”, =；x2x|y| = 2g ： +1 z丫(m-+ 2)M + 1 _ M + 1=J< = J_乂因/'/， "i- / ， i 1, 2 + 2 4,(厂+ 2)(" + 1) + 1(? +1)+诉=+ 2当且仅当团2+1 =二，即机=0时，等号成立，nr +1所以302ax卜应,即PQG面枳的最大值为y/2.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系解决三