2018年高考数学浙江专用总复习教师用书第3讲二项式定理版含解析

1、第3 3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.I基础诊断梳理自测，理解记忆知识梳理1 .二项式定理(1)二项式定理：(a+b)n=C0an+Can1b+,+Cji3nrbr+,+Qnbn(nN N)；(2)通项公式：Tr+i=Cnanrbr,它表小第 r+1 项;(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0,Cn,Cn.2 .二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等跑离的两个二项式系数相等，即曲=常增减性二项式系数 cnn+1*当 k2(nN N)时，是递减的二叱系数最大值n当 n 为偶数时，中间的一项Cn5取得最大值nn4

2、1当 n 为奇数时，中间的两项Cn与Cn2取最大值3.各二项式系数和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和：C1+C1+C1+,+Cn=2n.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C0+C2+Cn+,=Cr1+C3+cn+,=2.诊断自测1 .判断正误(在括号内打或X”)(1)Cnan-kbk是二项展开式的第 k 项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关.()(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析二项式展开式中 C：anbk是第 k+1

3、项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故（1）（2）均不正确.答案(1)X(2)X(3)V(4)V2.（x-y）n的二项展开式中，第 m 项的系数是（）mm+1A.CnB.CnD.(-1)m1cm1解析（xy）n展开式中第 m 项的系数为 Cm1（-1）m1.答案 D3 .（选彳 23P35 练习 T1（3）改编）C0017+C2017+C2017+,+C2017C2016+C2016+C2016+,+C2016、(A.2B.4C.2017D.2016X201722017解析原式=220161=22=4.答案 B4 .（2017 瑞安市质检）：x221；的展开式中，第 4 项的二项式系数

4、是,第2X4 项的系数是.解析展开式通项为 Tr+1=C9x2（9,）J12x=（1）r2rC9x183r（其中 r=0,1,9）.T4=（-1）33 氏9,故第 4 项的二项式系数为 C3=84,第 4 项的系数为5.（2017 石家庄调研）（1+x）n的二项式展开式中，仅第 6 项的系数最大，则n=C.Cm139393C3C1212217217- -8484案解析（1+x）n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以 2+1=6,n=10.答案 1061x2L 开式中的常数项为.x10-2k53Z,（3）根据通项公式，由题意0 捻 k 捻 10,lkN,N,人 102k3令-=r(

5、rZ Z),则 102k=3r,k=52,k=2.；常数项为4 40 0I考点突破考点一求展开式中的特定项或特定项的系数31.【例 1】已知在 Vx 一工的展开式中，第 6 项为常数项.r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【训练 1】(1)(2015 全国 I 卷)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2016 全国 I 卷)(2x+队)5的展开式中，x3的系数是(用数字作答).(3)(2014 全国 I 卷)(xy)(x+y)8的

6、展开式中 x2y7的系数为州数字作答).解析(1)法一(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,含 y2的项为 T3=C5(x2+x)3-y2.其中(x2+x)3中含 x5的项为 C3x4x=C3x5.所以 x5y2的系数为C1C3=30.法二(x2+x+y)5表示 5 个 x2+x+y 之积.；x5y2可从其中 5 个因式中选两个因式取 y,两个取 x2,一个取 x.因此 x5y2的系数为C5C!C1=30.(2)由(2x+W)5得 Tr+1=C5(2x)5r(点)r=二 r25rc5x52,令 52=3 得r=4,此时系数为 10.(3)(x-y)(x+y)8=x(x+y)8-y(x+y)8

7、,=x(x+y)8中含 x2y7的项为 xC7xy7,y(x+y)8中含 x2y7的项为 yC8x2y6.故(xy)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为 C7C8=C1C2=20.答案(1)C(2)10(3)-20考点二二项式系数的和与各项的系数和问题【例 2】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；各项系数的和；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.解设(2x3y)1o=a0 x1o+aix9y+a2X8y2+,+ai0y10,(*)各项系数和为 ao+ai+,+aio,奇数项系数和为

8、 ao+a2+,+aio,偶数项系数和为 ai+a?+as+,+a9,x 的奇次项系数和为 ai+a?+as+,+a9,x 的偶次项系数和为 ao+a2+a4+,+aio.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和二项式系数的和为 Coo+Cio+,+Cio=2io(2)令 x=y=i,各项系数和为(23)io=(一 i)io=i.奇数项的二项式系数和为 Coo+C2o+,+Cio=29,偶数项的二项式系数和为 Cio+Cio+,+C9o=29.(4)令 x=y=i,得到 ao+ai+a2+,+aio=i,令 x=i,y=1(或乂=i,y=i),得 a0ai+a2a?+,+aio=5

9、10,十得 2(ao+az+,+aio)=1+510,1+5io奇数项系数和为二；一得 2(ai+a3+,+a9)=151。，,一一一，15io.偶数项系数和为一子.(5)x 的奇次项系数和为 ai+a3+a5+,十x 的偶次项系数和为 ao+a2+a4+,+aio=规律方法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式， 是一种重要的方法，对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,bCR R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1 即可；对形如(ax+by)n(a,bCR R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x=y=1 即可.(2)若 f(x)=ao+aix+a2x2+,+

10、anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 ao+a2+a4+,=f+ +二二( (一一) )，偶数项系数之和为 ai+a3+io15a9-2；ioi+52a5+1（1）1）【训练 2】（1）（2017 岳阳卞 g 拟）若二项式,2x）n 的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为（）_3_3A.-27C3B.27C9(2017 义乌调研)(13x)=a0+aix+a2x+asx+a4x+a5x,求|a0|+|ai|+|a2|十|a3|+削+加|=()A.1024B.243C.32D.24解析(1)令 x=1 得 2n=512,所以 n=9,故，3x2J

11、9 的展开式白犷！项为 Tr+1=xc9(3x2)9r-1J=(-1)rc939rx183r,令 183r=0 得 r=6,所以常数项为 T7x=(1)6C9 33=27C3.(2)令 x=一 1 得 a。一 a1+a2a?+a4-%=|a0|+|a1|+|a2|+闵|+|a4|+|a5|=1(3)5=45=1024.答案(1)B(2)A考点三二项式定理的应用【例 3】(1)求证：1+2+22+,+25n1(nN N*)能被 31 整除；(2)用二项式定理证明 2n2n+1(n13,nCN N*).、口25n125n1证明(1)=1+2+22+,+25n21=25n1=32n1=(31+1)n

12、1=cnx31n+cnx31n1+,+cn1x31+Cn-1=31(Cnx31n-广2+,+Cn1),显然 Cnx31n1+C1x31n2+,+Cn1为整数,原式能被 31 整除.(2)当 n3,nN N*.2n=(1+1)n=Cn+C1+,+Cn-1+CnC+Cn+Cn1+Cn=2n+22n+1,.不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题， 整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.4949)09 9D.D.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.由于(a+b)n的展开式共有 n+1 项，故可通过对某些

13、项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练 3】求S=为+027+,+嗡除以 9 的余数.解 S=O27+0i7+,+Ci7=2271=891=(91)91=C0X99C9x98+,+08X9091=9(C0 x98C9X97+,+C8)-2.C0X98-C9x97+,+C8是整数,.S 被 9 除的余数为 7.课皇总结思想方法1 .二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 c0,cn,cn,它只与各项的项数有关，而与 a,b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a,b 的值有关.2 .因为二项式定理中的字母可取任意数或式，

14、 所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0,1.易错防范1.通项 Tk+1=cnan-kbk是(a+b)n的展开式的第 k+1 项，而不是第 k 项，这里k=0,1,n.2 .区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与 a,b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，包为正.3 .切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)”系数最大的项”等概念.|课时作业分k训沐，振升能力基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1 .（2016 四 JI 卷）设 i 为虚数单位，则（x+i）的展开式

15、中含 x 的项为（）A.15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析（x+i）6的展开式的通项为 Tr+1=C6x6rir（r=0,1,2,6）,令 r=2,得含 x4的项为C6x4i2=15x4,故选 A.答案 A2 .（2017 台州市调研）二项式|ax+芈，的展开式的第二项的系为一 J3,则 a 的值解析:Tr+1=C6（ax）6rf6J=C6a6r6jx61.第二项的系数为C6a5T=8；a=-12答案 B区n3.（2017 漳州,g 拟）在 23的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A.-7B.7C.-28D.28n解析依题意有 n+1=5,，n

16、=8.二项式 23|的展开式的通项公式 Tk+1=（1p_k441)k3/C&3k,令 84 卜=0 得卜=6,故常数项为 T7=(1)623答案 B4.（2015 湖北卷）已知（1+x）的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.29B.210C.211D.212解析由题意，道=&,解得 n=10.则奇数项的二项式系数和为 2n129.故选A.答案 A(5(5一3 3为A A, ,3 3C C7 7- -6868C C,一一21106,5 .(2016 海口调研)若(xa)3+X，的展开式中 x 的系数为 30,则 a 等于()“1JA.

17、3B.2C.1D.2解析依题意，注意到x+1j 的展开式的通项公式是Tr+1=Cl0-x10r-=Cr0-x102r,3+X10的展开式中含 x4(当 r=3 时)、x6(当r=2 时)项的系数分别为 C；0、C20,因此由题意得 C；0aC20=12045a=30,由此解得 a=2,选 D.答案 D6 .已知 Cn+2Cn+2Cn+2Cn+,+2Cn=729,则 Cn+Cn+Cn+,+Cn等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得 C0+2C1+22C2+23C3+,+2n&=(1+2)n=3n=729,即 3n=36,所以 n=6,所以:+比+/+,+%=26比=

18、641=63.故选 A.答案 A7 .(2017 宁波十校联考)设(2x)5=a0+ax+a2x2+,asx5,那么(a+a?+as)2(a。+22+24)2的值为()A.32B.-32C.243D.-243解 析 :(2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 二 令 x=1, 有 a0+a1+,+a5=1, 再 令 x=-1, 有a0a1+,a5=35=243,22(a1+a3+a5)(a0+a2+a4)=(a0+a2+a4+a+a3+a5)(a0+a2+a4a1一 a3a5)=243.答案 D8.(2017 九江,K拟)(x2x+1)10展开式中 x3项的系数为()

19、A.-210B.210C.30D.-30解析(x2x+1)10=(x2x)+110的展开式的通项公式为 Tr+1=C；0(x2x)10r,对于(x2x)10r的通项公式为 Ti+1=(1)rC；0rx2-3r.令 202rr=3,根据00rW10r,r,rCN,解得8或,7.(x2x+1)10展开式中 x3j=1j=3,项的系数为C80C2(-1)+C70C3(-1)=-90-120=210.答案 A10.(2016 山东卷)若,2+a的展开式中 x5的系数是一 80,则实数 a=州数字作答).915rax+jx/的展开式的通项+1=C5(ax)x2=C5a2=5,得 r=2,所以 da3=8

20、0,解得 a=-2.答案211 若将函数 f(x)=x5表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+,+a5(1+x)5,其中a。，a1,a2,a5为实数，则 a3=州数字作答).解析 f(x)=x5=(1+x1)5,它的通项为32一3一x)3(1)2=10(1+x)3,.a3=10.答案 1012.若(1+x+x)=ao+a1x+a2x+,+a12x，贝Uao=;a2+a4+,+a12=第数字作答).解析令 x=1,得 ao+a1+a2+,+a12=36,令乂=1,得 aoa1+a2,+a1236+136+1=1,-ao+a2+a4+,+a12=2.令 x=0寸 ao=1,a2

21、+a4+,+a12=21=364.答案 136413 .(2017 乐清木测)(2x1)(32x)5的展开式中， 含 x 次数最高的项的系数是州数字作答).解析(3-2x)5的展开式的通项公式：Tr+1=C535T(2x)1 令 r=5,可得(2x1)(3-2x)5的展开式中，含 x 次数最高的项的系数为 2X(2)5=64.答案-64二、填空题9.(2016 北京卷)在(12x)6的展开式中,解析(1-2x)6的展开式的通项公式为得 x2的系数为 C2(2)2=60.答案 60 x2的系数为网数字作答).Tk+1=c6(2x)k=C6(2)kxk,令 k=25rx107,令 10解析k5k5

22、(-1)k,T3=C5(1+能力提升题组(建议用时：15 分钟)14 .设 aCZ,且 0&a13,若 512016+a 能被 13 整除，贝Ua=()A.0B.1C.11D.12解析 V512016+a=(521)2016+a=C0016522016-C2。怡 522015+C2。怡 522014十,-C2016-52+1+a 能被 13整除，且 0&a13,1+a 能被 13 整除，故 a=12.答案 D10210.15 .(2017 青岛模拟)已知(x+1)=a +a2x+a3x+,+aux.右数列 a1,a2,a3,ak(1k11,kCN N*)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是()A.5B.6C.7D.8解析由二项式定理知 an=Cn01(n=1,2,3,n).又(x+1)10