2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题及详细答案

1、2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题及详细答案一、一元二次方程21.已知关于x的方程x 3x a 0的两个实数根的倒数和等于3,且关于x的方程2 k2 1 (k 1)x 3x 2a 0有实数根，又 k为正整数，求代数式 的值.k k 6【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a,又由于关于x的方程(k-1) x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨 论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又 k为正整数，利用判别式可以求 出k,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解：设方程

2、 的两个实数根分别为 x1、x2x1 x2= 3则x1x2=a,V= 9 4a 0一 ，11x1 x2由条件，知 =3,X又2型239即一 3 ,且a -,a4故 a= 一 1,则方程 为(k-1)x2+3x+2=0,r 2皿k2 1I .当 k-1=0 时，k=1,x= ,贝U - 0.3 k k 617n .当 k-1 wo时，=9-8 (k-1) =17-6-8k>Q 则 k 一，8一一，一 一 .k2 1 一一、又k是正整数，且kw则k=2,但使 T二 无意义.k2 k 6k2 1综上，代数式的值为0k2 k 6【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注

3、意所求k的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2.如图，在 4ABC 中，AB=6cm, BC= 7cm, Z ABC= 30°,点 P从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动.如果 P、Q两点同时出 发，经过几秒后4PBQ的面积等于4cm2?【答案】经过2秒后4PBQ的面积等于4cm2.【解析】【分析】1作出辅助线，过点 Q作QE，PB于E,即可得出SJa pqb= X PBX Q用P、Q点的移动速2度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案.【详解】C

4、斛：J"*? £ 3如图，过点 Q 作 QE± PB于 E,则 / QEB= 90°. / ABC= 30 ； -2QE=QB. .Sapqb= - ?PB?QE 2设经过t秒后APBQ的面积等于4cm2,则 PB= 6- t, QB=2t, QE= t.1根据题意，一？（6- t） ?t=4.2t2- 6t+8 = 0.t2=2, t2=4.当t = 4时，2t=8, 8>7,不合题意舍去，取 t = 2.答：经过2秒后4PBQ的面积等于4cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去.3.已知关于x的方

5、程4x2 8nx 3n 2和x2 n 3 x 2n2 2 0,是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含 n的式子表示出两个实数根的差的 平方，把方程分解因式，建立方程求 n,要注意n的值要使方程的根是整数.【详解】若存在n满足题意.3n 2-设 x1, x2 是方程 的两个根，则 xi+x2=2n, xix2= ,所以(xi-X2)2=4n2+3n+2,4由方程 得，(x+n-1)x-2(n+1)=0 , 若4n，3n+2=

6、-n+1,解得n=-工，但1-n=3不是整数，舍.22 若 4n2+3n+2=2(n+2),解得 n=0 或 n=-l(舍)，4综上所述，n=0.4,解方程：x2-2x=2x+1.【答案】X1 = 2 J5 , x2=2 + J5 .【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c,然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x 4ac求解即可. 2a试题解析：方程化为 x2-4x-1 = 0.-，b2-4ac= ( 4)2 4X1y 1)=20,. x=10=2 出2x1 = 2 /5 , x2= 2 + V5.5.已知关于x的一元二次方程(x- 3) (x-4) - m2=0.(1)求证

7、：对任意实数 m,方程总有2个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是 2,求m的值及方程的另一个根.【答案】(1)证明见解析；(2) m的值为±J2 ,方程的另一个根是 5.【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式，利用根的判别式加2-4ac证明判断即可；(2)根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可【详解】(1)证明：-.1 (x-3) (x-4) - m2=0,. .x2- 7x+12 - m2=0,.=(- 7) 2-4 (12 - m2) =1+4m2,. m2刊>0,，对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根；(2)解:二方程的一个根是2,

8、- 4 - 14+12 - m2=0,解得 m=±Z2,原方程为x2-7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为文门，方程的另一个根是 5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当加2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当 =b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当 =b2-4acv 0时，方程没有实数根.6.父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学 学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最

9、多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评“或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评 网上的购买价格比原有价格上涨一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20一* 一 ，一 15两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%,求出m的值.2【答案】(1) 120； (2) 20.【解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x元，列不等式为 0

10、.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在 大众点评网上的购买实际消费总额：120a (1-25%) (1+'m%),在 美团”网上的购买实际消费2总额：a120 (1 - 25%) - m (1+15m%)；根据 在两个网站的实际消费总额比原计划2015的预算总额增加了 一 m%'列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为 x元，列不等式为 0.8x?80W7680 x<120解法二：7680+ 80+0.

11、8=96 + 0.8=12抚).答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；(2)解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120X0由(1 25%) (1 + 5m%) +a120 X 0.81 25%) - -m (1+15m%) =120 x 028220(1 25%) X2 (1+ 15m%),即 72a (1+ 5m%) +a (72 m) ( 1+15m%) =144a 2220(1+ 15m%),整理得：0. 0675m2T.35m=0, m2- 20m=0,解得：m1=0 (舍)， 2m2=20.答：m的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有

12、难度，正确表示出大众点评“或 美团”实际消费总额是解题关键.7,关于 x 的方程(k1)x2+2kx+2=0(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根.(2)设 犯X2是方程(k1)x2+2kx+2=0的两个根，记 $e+令+ X1+X2, S的值能为2吗?若能，求出此时k的值.若不能，请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2) S的值能为2,此时k的值为2.【解析】试题分析：(1)本题二次项系数为(k-1),可能为0,可能不为0,故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使4>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.试题解析：(

13、1)当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,Lx=有一个解； 当k-1wo即kwi时，方程为一元二次方程， = (2k) 2-4 X2(k-1) =4k28k+8="4(k-1)" 2 +4>0方程有两不等根综合 得不论k为何值，方程总有实根_, -2fc _2(2) . x a x ?=,x ? x ?=,- S=- + - + x1+x2二 j： x一£="一.- - ii2M , - Ik =k-1文-1=2k-2=2,解得k=2,当k=2时，S的值为2，S的值能为2,此时k的值为2.考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系.

14、8 .有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1) 5; (2) 180【解析】【分析】(1)设平均一人传染了 x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；(2)根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即 可.【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+ (x+1) x= 36,解得：x=5或x= - 7 (舍去).答：每轮传染中平土一个人传染了5个人；(2)根据题意得：5X36= 180 (个)

15、，答：第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程21 , 29 .已知关于x的一兀二次方程 x2+(k+1)x+ k = 0有两个不相等的实数根.4求k的取值范围；(2)当k取最小整数时，求此时方程的解.1【答案】(1)k>- ; (2)x1 = 0, x2= - 1.2c1 c(1)由题意得 = (k+1)2-4Xk2>0,解不等式即可求得答案；4(2)根据k取最小整数，得到 k=0,列方程即可得到结论.【详解】21,2(1)二,关于x的一兀二次万程 x2+(k+1)x+-k =0有两个不相等的实数根，4O .1 O

16、 .=(k+1)2-4X-k2>0,4.1 . k > -;2(2); k取最小整数,. k = 0)，原方程可化为x2+x=0, X1 = 0)x2= - 1 .【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c= 0(awo)j根的判别式 = b2- 4ac：当。，方程有两个不相等的实数根；当 :。，方程有两个相等的实数根；当 <0,方程没有实数根.10 .关于x的一元二次方程产-m +3)工+用+ 2 = 0 .(1) .求证：方程总有两个实数根；(2) .若方程的两个实数根都是正整数，求 m的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二

17、次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得h=5 = +2再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定 加的取值范围，即求出吗 m的最小值.【详解】证明：依题意，得/=扭-叱=| -(加+4(m + 2)=加之 + 6m + 9 - 4m - 8=(m +.v(m + l)2>0?.双0，方程总有两个实数根.(2)由m + 3) x + m + 2 = 0.可化为：= 0得打=.电=m + 2方程的两个实数根都是正整数，. M + 221 .航之T的最小值为-I【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘

18、法解含参数的方 程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键11 .关于x的一元二次方程 ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a, b的值，并求此时方程的根.【答案】(1)方程有两个不相等的实数根；(2) b=-2, a=1时，xi=x2= - 1.【解析】【详解】分析：(1)求出根的判别式b2 4ac ,判断其范围，即可判断方程根的情况.(2)方程有两个相等的实数根，则b2 4ac 0 ,写出一组满足条件的

19、 a, b的值即可.详解：(1)解：由题意：a 0.,22.2b 4ac a 2 4a a 4 0,原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一，满足b2 4ac 0 (a 0)即可，例如： 解：令a 1, b 2,则原方程为x2 2x 1 0,解得：X x2 1.2点晅：考查一兀一次万程 ax bx c 0 a 0根的判别式b2 4ac,当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根.当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根 .当b2 4ac 0时，方程没有实数根.12 .山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可 售出100千克，后来经过市场调查发现

20、，单价每降低 2元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】(1) 4元或6元；(2)九折.【解析】【详解】解：(1)设每千克核桃应降价 x元.x根据题意，得(60 -x- 40) (100+5X20=2240,化简，得 x2- 10x+24=0,解得 xi=4, x2=6.答：每千克核桃应降价 4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4元或6元.要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价 6元.此时，售价为：6

21、0 - 6=54 (元)，54 100%=90%.60答：该店应按原售价的九折出售.13 .阅读下面的材料，回答问题：解方程x4-5x2+4= 0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么x4 = y2,于是原方程可变为 y2-5y+4=0，解得y1=1, y2 = 4.当 y= 1 时，x2= 1, . x= ±1；当 y=4 时，x2= 4,，x=±2-1原方程有四个根：x1= 1 , x2= - 1 , x3 = 2 , x4= - 2 .(1)在由原方程得到方程 的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想.(2)解方程(x2

22、+x) 24 (x2+x) 12 = 0.【答案】(1)换元，降次；(2) x1=-3, x2=2.【解析】【详解】解：(1)在由原方程得到方程 的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的 转化思想；(2)设 x2+x=y,原方程可化为 y2-4y- 12=0,解得 y1=6, y2= - 2 .由 x2+x=6,得 x1 = - 3, x2=2.由x2+x=-2,得方程x2+x+2=0, b2-4ac=1 - 4X2= 7<0,此时方程无实根.所以原方程的 解为 x1 二 3, x2=2.14.阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当 a>0,

23、b>0 时：( 4a Tb) 2=a-2 VOb+b>0a+bR2J0b,当且仅当a巾时取等号.请利用上述结论解决以下问题：(1)请直接写出答案：当 x>0时，x+1的最小值为 .当x<0时，x+'的最大值xx(2)若 y=-一7x 10 , (x> - 1),求 y 的最小值;(3)如图，四边形 ABCD的对角线AC BD相交于点O, 4AOB、ACOD的面积分别为4和9,求四边形ABCD面积的最小值.【答案】(1) 2; - 2. (2) y的最小值为9；(3)四边形ABCD面积的最小值为25.(1)当x>0时，按照公式a+b>2jab (

24、当且仅当a=b时取等号)来计算即可；当 x<0时，-x>0, ->0,则也可以按公式 a+b>2Vab (当且仅当a巾时取等号)来计算； x(2)将y -一7x 10的分子变形,分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式x 1求得最小值，再加上常数即可；(3)设 Sboc=x,已知 Saaob=4, Sxcod=9,由三角形面积公式可知：Saboc： Sacod=Saaob：再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小Saaod,用含x的式子表示出 & aod, 值，加上常数即可.【详解】(1)当 x>0 时，x1 2Jx 1x x2；当 xv 0 时，x> 0,2,1二贝U x x1-1一)<-2,当 x>0 时，x 的最小值为2.当x<0时，