理科二模上海市浦东区高三数学

1、2014年上海市浦东新区高三年级二模试卷一一数学（理科）2014年4月（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空 格填又寸得4分，否则一律得零分.1.已知全集 U= 1,2,3,4,5 ,若集合 A= 2,3 ,则 eUA =2 X2 .双曲线 93 .函数f x2y ,1的渐近线方程为_16sin x 4cosx的最大值为134 .已知直线11: axy 2a 1 0 和 12 : 2xa 1 y 3 0 a R ,若 11 l2，则 a5 .函数yf x的反函数为yf 1 x ,如果函数y f x的图

2、像过点2, 2 ,那么函数y f 1 x 1的图像一定过点10 ,则an的前n项的和Sn6 .已知数列an为等差数列，若a1a34, a?a,7 .一个与球心距离为 J3的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 .8 .（理）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为、，则一小时内有机床需要维护的概率为 9 .设aR, （ax1）8的二项展开式中含x3项的系数为7,则lim（aa2Lan）.n xt x3cos 10 .（理）在平面直角坐标系 xoy中，若直线l :（t为参数）过椭圆 C:（为参数）的y t ay 2sin右顶点，则常数a =.11 .（理）已知随

3、机变量的分布列如右表，若 E 3,则D =x1234P( x)nmPF 3-的取小值PA12 .在 ABC中，角B所对的边长b 6, ABC的面积为15,外接圆半径R 5,则 ABC的周长为13 .抛物线y2 4mx（m 0）的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，又点 A（ m,0）,则14 .(理)已知函数f(x)的定义域为1,2,3，值域为集合1,2,3,4的非空真子集，设点 A 1,f，uuir uur uurB 2, f(2) , C3,f(3) , ABC的外接圆圆心为 M ,且MA MC MB( R),则满足条件的函数f (x)有 个.、选择题(本大题满分 20分)本大题共有4题，每

4、题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分115 . X 1 是-1"的(X(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)(D)必要而不充分条件既不充分也不必要条件16 .(理)已知 z x yi , x, y R ,i是虚数单位.若复数二十i是实数，则z的最小值为(1 i(A) 0(B) 5(C )5(D) V22x22 . . .17.能够把椭圆 一+ y =1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数4不是椭圆的“可分函数”为()35 xxx .x(A) f(x) = 4x +x (B) f

5、 (x) In (C) f (x) arctan -(D) f (x) = e +e5 x4718 .(理)万程 lg(x 100)2 (| x| 200)(| x| 202)的解的个数为()2(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19 .(本题满分12分) 题满分6分.本题共有2个小题,(理)如图，在直三棱柱 ABC ABC1中,AB AC , AA AB AC 1 ,ABC 一 , D、M、N 分别是 CC1、A1B1、BC 的中点. 4(1)求异面直线 MN与AC所成角的大小；(2

6、)求点M到平面ADN之间的距离.第(1)小题满分6分，第(2)小20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且 PAQ (其中点P、Q分4别在边BC、CD上)，搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设PAB ,搜索区域的面积为S.(1)试建立S与tan的关系式，并指出的取值范围;(2)求S的最大值，并求此时的值.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.(理)已知定义在 R上的

7、函数f(x),对任意实数X1,X2都有f(X1 X2) 1 f(x) f(X2),且f(1) 1.1(1)若对任意正整数n,有anf 1,求a1、a2的值，并证明an为等比数列；21(2)设对任息正整数 n ,有bn ,若不等式f(n)6 .bn 1bn 2 Lb2n一log2(x 1)对任意不小于2的正整数n都成立，求实数 X的取值范围.3522.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题 满分6分.（理）已知中心在原点 。，左焦点为Fi（ 1,0）的椭圆Ci的左顶点为A ,上顶点为B , F1到直线AB的距离为 :| OB |.求椭圆C/勺

8、方程；（2）过点P（3,0）作直线l ,使其交椭圆 .于R、S两点，交直线x 1于Q点.问：是否存在这样的直线 l ,使|PQ |是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线l的方程；若不 存在，说明理由2222 若椭圆C1方程为： 鼻 4 1 （m n 0）,椭圆C2方程为： '与 （0,且 1）,m nm n则称椭圆C2是椭圆C1的 倍相似椭圆.已知C2是椭圆C1的3倍相似椭圆，若直线y kx b与两椭圆G、urn uuu uuuC2交于四点（依次为P、Q、R、S）,且PS RS 2QS，试研究动点E（k,b）的轨迹方程.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第(1)小题满

9、分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满 分8分.(理)定义区间(c,d), c,d), (c,d, c,d的长度均为d c,其中d c.(1)已知函数y2x 1的定义域为a,b ,值域为a,b长度的最大值与最小值(2)已知函数fM x的定义域为实数集D2,2,满足 fM xx. x M，(M是D的非空真子x, x M集).集合A 1,2 , B2, 1，求 F xfAUB xfA x fB x的值域所在区间长度的总和.(3)定义函数f (x)1,判断函数f (x)在区间(2,3)上是否有零点,并求不等式f (x) 0解集区间的长度总和.参考答案1. _ 1,4,52._y3. _54.

10、a6.3-n "25. （ 2,3）5 -n2327.一 38.（理）（文）_159 . _ 1一10 .（理）_3_.（文）_5_11 .（理）_1（文）2 _.12 . 6 6.613.14 .（理）12个.（文）20个.、选择题15 . A16 .（理）（D ）（文）（A ）（文）（C ）、解答题（本大题满分 74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分 小题满分6分.解：（1）设AB的中点为E ,连接EN ,则EN /AC,且所以 MNE或其补角即为异面直线 MN与AC所成的角。

11、3分连接me在Rt MEN中，ME 八八tan MNE 2 5 分NEQ ABAC 1, ABC AB AC ,46分6分，第(2)1 - EN AC , 2所以异面直线 MN与AC所成的角为arctan2。x, y,z轴，如图建立空间直角坐标系以点A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1所在直线为11 11皿”1), N(1,2,0), D(0,1,1),T设平面AND的一个法向量为n(x, y, z)zT n 则r nUULT AN uuur AD所以平面ADN的一个法向量为(1, 1,2).10 分ADXUUUT 1又 AM(一,0,1),2所以点M到平面OAD的距离dUTUT T 1|A

12、MT n| |2一2|n|<65-61212分解：(1) ABAB1角.AMD或其补角是异面直线 DM与AB所成的连接AiD,则三角形ADM为直角三角形，且 DAiM90°,MAD1AM 2 tan AMDAiDA1M,5.异面直线DM与AB所成的角为arctan J5.(2) CC1AABB CC1MAB CA AB CA AA CA AA1B1B C AA1B1BQ CCi /平面 AAiBiB ,可知D到平面 庆人818的距离与C到平面AABB的距离相等，为 CA=1.又 AB AB ,， MAB 的面积 Svabm111VD MAB二 SVABM CA 二二 AC33

13、2111 AB AA 1221 611分12分20.解（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.SABCDS ABP S ADQ(2)Qt21.10010050 tan50 tantan ,t100 50 皆此时,50tan(-)4(1,2)1)22乙 100 50(t - 2)200 50(t 1)10分2Jt 2 2历,（当且仅当t 2时，即ttJ2时，搜索区域面积 S的最大值为200arctan（乏 1）t 行 1,2 ,等号成立）1006（平方海里）（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分12分14分8分.(理)1

14、_ 1,1解：(1)令 x1x2,得 f 1 f -f,222一 1-1则 f 10, a1 f (1) 1 12291 一 1 一1令 X1X2-，得 f (一)1 f-4241一，a221f(4) 1人1/口上 11令 X1x2，得 f k2nrr 11即 f71 2f , 4 分2n2 n 1一1 一 .1则 f 或 1 2 1 f *，an2第 11所以，数列an是等比数列，公比 q 5,首项a1 1. 6分(2)令 x1n,x2 1,得 f(n 1) 1 f (1) f(n),即 f(n 1) f (n) 2则 f (n)是等差数列，公差为 2,首项f(1) 1,故 f(n) 1 (

15、n 1) 2 2n 1, 8分bn11f (n) 2n 1设 g(n) bn 1 bn 2 L,11.12n 2n 1 2n 3 4n 1 '勤g(n 1) g(n)14n 1114n 3 2n 11(4n 1)(4n 3)( 2 n 1)0,所以g(n)是递增数列,1g min g (2)5112一, 73511分612从而 一log2(x 1) 一 ,即 log2(x 1) 2 12分3535则 x 1 0,解得 x ( 1,3) . 14 分x 1 4(文)解：(1)令 n1 n2 1,得 f 1 f 1 f 1 ,则 f (2) 3, a1f (2) 1 4 1 分令 n1n2

16、2,得f (4) 1 f 2f2 ,则 f (4) 7, a2f (4) 1 8 2 分令n112n，得 f(2n 2n)1f (2n) f(2n),即 f (2n 1) 1 2f(2n) , 4分则 f (2n 1) 1 2 1 f(2n) , an 1 2an所以，数列an是等比数列，公比 q 2,首项ai 4. 6分令 n n, n2 1,得 f （n 1） 则 f （n）是等差数列，公差为2,f (1) f (n),即 f(n 1) f (n) 2 首项f(1) 1.故 f(n)1 (n1) 2 2n1.设 g(n)f(n)2n2n 12ng(n1)g(n)2n 12n所以,1时,2时

17、,g(ng(n2n1)1)2n g(n) 0, g(n) 0,3 2n2n 1即 g(2)g(1)即n 2时，g(n)是递减数列.gmaxg(2)3. ，、从而-log2(x 1) 83 43. 一-,即 10g2(x 1) 2411分12分22.（本题满分16分） 满分6分.（理）14分本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题22x y 解：（1）设椭圆Ci方程为： 今 a b所以直线 AB方程为： y 1a b Fi( 1,0)到直线 AB 距离为 d1Jb ba2 b2 7(a 1)2-.a2 b27又b2 a2 1,解得：a 2, b 6 3分x2 y

18、2故：椭圆C1方程为：一一1 . 4分43(2)当直线 l 与 x轴重合时，|PQ| 2,而 |PR|PS|1 5 5,所以 |PQ|2 |PR| | PS|若存在直线l ,使| PQ |是| PR|、| PS|的等比中项,则可设直线l方程为：x my 3代人椭圆C1的方程，得：3（my 3）2 4y2 12即：（3m24)y218my 15(18m)2 4 15(3m2 4) 48(3m2 5)记 R(x1,y1)，S(x2, y2) , Q(x0,y°)，y1y2153m2 4y0 | PQ |2 | PR| | PS | ,即 LPR1 LPQ-i |PQ| |PS|yV。y，

19、y1y2y22y。153m2 4解得：m2”，符合m30,故存在直线，使| PQ |是| PR|、| PS|的等比中项，其方程为4,3ry 3,即：y33)10分2 x 椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为： 一 1211分设Q、R、P、S各点坐标依次为（x1,y1）、（X2,y2）、他芈）、d,y4）22将y kx b代人椭圆C1方程，得：（3 4k ）x 8kbx4b2 12 0_2_22_1 (8kb)4(3 4k )(4b12)-2_248(4k3 b )*)此时:8kb2， g3 4k2_4b 123 4k2 x3Xi|X1kxx4x2x2 (x1 x2)b代人椭圆C2方程,8 kb3

20、 4k2，x34x3x4 ,可得线段4x1x24%3(4k2 3 b2)3 4k213分一 _22-2 一 一得：(3 4k )x 8kbx 4b 36 024b 36.2 x3 x4 3 4k4、.3(12k2 9 b2)PS、QR中点相同，所以4k214分|PQ|RS|urn 由PSurnuuuuuir uuirRS 2QS PQ QR,所以 |PS| 3| QR | ,可得:|x3 x41 3| Xi x21,43(12k2 9 b2)3 4k243(4k2 3 b2)3 4k212k2一 .2 一一 .9 4b （满足（*）式）.故：动点m、 4b2E（k,b）的轨迹方程为空16分解：

21、（1）2x0,解得x 0,310g 2 一，2画图可得：区间 a,b长度的最大值为log23,最-1小g(x) 2sin(2(x .),3 2sin(2 x -) 4g(x) 0 sin(2x )411.7, r或x k ，k Z ,24245即g（x）的零点相离间隔依次为 一和 , 66故若yg（x）在a,b上至少含有2014个零点，则b a的最小值为1007561 1006610分(3)(1,1)，所以x-,x AUB3x ,x2x 3F(x)F(x)12分1,1)11 2U ，33 31,1),5 11 2x 2,2时，F(x) ( 1-)U -,53 3 23 所以值域区间长度总和为

22、£3 。23.（本题满分分8分.（理）18分)14分15分16分解：（1）2x13分解得xlog15本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满2x 10,解得x 0,画图可得：区间 a,b长度的最大值为log2 3 ,最小值为log(2)(1,1),x-,x AUB3x ,x2x 3F(x)F(x)1,1)1,1),5所以11 2x 2,2 时”)(1,/ 3,3_ . 、 , 一, 2310分所以值域区间长度总和为 23(3)由于当2 x153时，取x 2.001 f 2.0010,所以方程f(x)0在区间(2,3)2.999 f 2.9990 ,

23、内有一个解 12分考虑函数f(x)2,由于当x 1时，f(x)0 ,故在区间(，1)内,不存在使f (x) 0的实数x；由于当kx k时,对于集1,2,3,4中的任一个k,0.001 f x 0取 x k 0.001 f x 0,取 x k 1又因为函数y f (x)在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,)内单调递减,所以方程f (x) 0在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,)内各有一个解;依次记这4个解为x, x2, x3, x4,从而不等式f(x) 0的解集是E (1,x1)U(2, x2)U(3,x3)U(4, x4),故得所有区间长度的总和为S(Xi 1) (x2

24、 2) (x3 3) (x4 4)Xx2x3 X4 10 15 分对f (x)0进行同分处理，分子记为p(x)p(x)(x2)( x 3)(x4) 2(x1)(x 3)(x 4) 3( x 1)(x 2)( x 4) 4(x 1)(x2)( x 3)2(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)如将p(x)展开，其最高项系数为 2,设 /、 c 432_p(x) 2x a3x a2x ax a0又有p(x)对比中2(x X1)(x X2)(xp(x)的x3系数，X3)(X X4)2(x1 x2X3X4)2(12 3 4) 30可得：SX1X2X3X41018分解：(1)设椭圆C方程为:所以直线AB方程为:b 0), F1(1,0)到直线AB距离为dy 1b|b ab| 7222b a b 7( a 1),a2 b27又b2a2 1,解得：a