数学模型在机械设计中的应用

1、数学模型在机械设计中的应用目录目录1第1章 绪论11.1 数学模型概述11.2 机械设计11.3 机械优化设计2第二章 数学模型在机械设计中的应用32.1数学模型在机械故障诊断技术中的应用32.1.1 故障诊断技术中的数学模型32.1.2 故障诊断技术中傅里叶变换的使用32.2基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计42.2.1 基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势42.2.2 减速器数学模型设计研究52.3数学模型在可靠性设计中的应用62.3.1 可靠性设计的数学模型62.3.2 可靠性数学模型分析6第3章 总结与展望8参考文献99数学模型在机械设计中的应用第1章 绪论1.1 数学模型概述数学

2、模型就是针对或参照某种问题的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构。数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，从不同角度、不同要求出发，可以建立起不同的数学模型。数学模型与我们学习的数学课程有一些区别，它需要熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读、思考别人的模型，尤其要自己动手，亲身体验。建立数学模型的一般分为以下几步：确定问题系统及变量关系；确定最佳的试验方案和方法；确定合理的模型结构；确定模型中的最佳参数；检验修改模型。首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对

3、实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律。详细来讲，就是在对目标系统分析的基础上，确定描述问题的变量及相互关系以及问题所属系统，模型大概的类型，提出有关假说。在进行试验时，必须配置性能稳定，要严格保持试验条件稳定，精心操作，详细记录，对数据进行正确的判断、筛选和分析。模型结构反映了实际过程的内在规律，对试验数据的拟合精度有着本质的影响。模型建立之后，能否与生产实际吻合，还需进行重复试验，确认后才能在生产中应用。模型只有在被检验评价、确认基本符合要求。才能被接受，否则需要修改模型，这种修改

4、有时是局部的，有时甚至要全部推倒重来。1.2 机械设计机械设计是根据用户的使用要求对专用机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和形状尺寸、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的工作过程。机械设计是机械工程的重要组成部分，是机械生产的第一步，是决定机械性能的最主要的因素。机械设计的努力目标是：在各种限定的条件下，如材料、加工能力、理论知识和计算手段等，设计出最好的机械，即做出优化设计。优化设计需要综合地考虑许多要求，一般有：最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中可靠性、最低消耗和最少环境污染。这些要求常是互相矛盾的，而且它们之

5、间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异。设计者按具体情况权衡轻重，统筹兼顾，使设计的机械有最优的综合技术经济效果。随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展，制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐依靠科学计算。1.3 机械优化设计人们在长期的生产实践中，很早就已经应用数学方法解决了诸如给定周长求其所围面积最大的问题、给定表面积求其所围体积最大的问题。实际上，这些问题就是最优化问题的雏形。优化设计主要包括两个方面：一是如何将设计问题转化为确切反映问题实质并适合于优化计算的数学模型，建立数学模型包括:选取适当的设计变量，建立优化问题的目标函数和约束条件。目

6、标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式，约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系；二是如何求得该数学模型的最优解：可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值的问题。总的来说，建立合理的数学模型，是解决机械最优化设计的关键。在机械最优化设计建模及求解过程中，应注意下列几方面的问题： （1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。 （2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。第二章 数学模型在机械设计中的应用2.1数学模型在机械故障诊断技

7、术中的应用2.1.1 故障诊断技术中的数学模型故障诊断技术是近40多年来发展起来的一门新学科。它是适应工程实际需要而形成的各学科交叉的一门应用型的边缘综合学科，随着现代机械设备日趋大型化、复杂化、自动化和连续化的发展，设备一旦发生故障，将给人民的生命财产安全造成难以估量的损失。因此，开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。同时，几乎所有的工程问题，都是与数学模型紧密联系在一起的。建立合理的数学模型，是解决设计问题的关键所在。基于数学模型的故障诊断方法的研究极大的丰富了故障诊断系统的内涵，建立的数学模型在故障诊断系统的开发过程中产生了很大的实际效应，提高了系统的诊断效率和准确率。2.1

8、.2 故障诊断技术中傅里叶变换的使用旋转机械故障诊断主要分四个步骤，首先是获取运行状态的信号；其次是提取故障的特征；再次是模式识别和故障诊断；最后是诊断决策。其中最关键的是对测试信号进行分析、处理，提取故障信号的特征。图 2.1 为故障诊断的基本过程。旋转机械故障诊断过程的具体内容如下：图2.1 为故障诊断的基本过程傅里叶正变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而傅立叶逆变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一的映射。傅里叶变换及其逆变换的定义： (2-1) (2-2) 由式(2-1)和式(2-2)可见，傅里叶变换是从整体上将信号分解成不同的频率分量。式(2-1)，(

9、2-2)可以用内积形式简洁表示为：0 (2-3)0 (2-4)傅立叶变换的最大贡献不在于把时间域与频率域联系了起来，而是把在时间域内难以观察到的信号特征，在频率域内往往能十分清楚地显示出来，反之亦然。傅立叶变换的最大贡献也不在于使一些数学问题的求解变得更加简洁、高效。傅立叶变换的最大贡献在于产生了信号的频谱分析方法。根据产生的频谱可以分析出设备故障产生的振动信号的频率成分、不同测点振动信号的相位差，根据频率成分和相位差判断出是哪种故障。2.2基于数学模型的圆柱齿轮减速机的设计2.2.1 基于数学模型的圆柱齿轮减速器的设计的优势目前通用圆柱齿轮减速机已有标准系列，但其成本与工作可靠性都不是最佳情

10、况。现代机械普遍采用电动机驱动式，为满足工作机输入转速及转矩的要求，需要在电动机与工作机之间安装减速器，以得到合理的转速。因此，作为一种独立的闭式传动装置，减速器在现代机械领域得到广泛应用。传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想。应用数学建模方法对其进行了设计，在不改变原来转动零件的材质、传动比、输入功率和转速等条件下，根据可靠度要求优选出一组最佳齿轮啮合参数，从而使标准系列的减速

11、机的体积最小，成本最低，工作可靠度达到预定要求。该模型提出的减速机的概率设计方法为通用模式，只要输入设计要求的原始数据，就能较快地计算出减速机主要零件的最佳参数对二级圆柱齿轮减速器进行多目标优化。建立以二级圆柱齿轮减速器结构参数的多目标优化数学模型，采用复合形法对实例进行结构参数的优化计算，效果是显著。2.2.2 减速器数学模型设计研究a) 接触承载能力一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数j表示，其函数形式为：=0.2a2u(cost)3tantKv(u+1)2cos (2-5)其中：a啮合中心距 u齿数比 分度圆螺旋角 t端面压力角 t端面啮合角 Kv动载系数

12、b) 设计变量的确定将影响齿轮接触承载能力系数的独立参数列为设计变量，即：x=x1;x2;x3;x4T=u1;yt1;yt2T (2-6)其中：u1高速级的齿数比 yt1、yt2分别为高速和低速级齿轮传动的中心距分离系数c) 目标函数的确定这个问题要求提高高速级和低速级齿轮传动的承载能力，同时要求两级传动达到等强度，所以这是一个具有三个指标的多目标函数问题。可以将高速级和低速级齿轮传动的承载能力系数转化为第一、二个分目标函数f1(x)、 f2(x)。用中间轴上两个齿轮所允许传递转矩差的相对值最小来建立等强度条件f3(x)，采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数。采用线性组合法将三个

13、分目标函数综合成统一的目标函数围：fx=1f1x+2f2x+3f3(x) (2-7)d) 约束条件确定保证轴的重合度和螺旋角不大于15°；高速级和低速级齿数比分配由润滑条件决定；限制低速级大齿轮直径，使其不超过原箱体，且满足中心距要求。 综上所述，二级齿轮减速器的设计可以变为一个有四个设计变量、八个不等式约束、三个分目标函数的多目标数学模型，应用matlab软件，对任意参数，只要输入进去，便可得出减速器设计时所要的最优解。2.3数学模型在可靠性设计中的应用2.3.1 可靠性设计的数学模型可靠性设计的数学基础是概率论。则依据概率论建立了可靠性设计的数学模型应力-强度干涉模型。

14、图2.2 应力-强度分布的干涉模型在进行机械强度可靠性设计或分析时, 考虑到变量的不确定性, 认为机械零部件的设计变量（如载荷、几何尺寸及其它影响因素等）和强度参量（如材料的机械性能, 影响零件强度的尺寸系数、形状系数、表面质量系数及工作环境影响系数等）都是随机变量, 遵守某一分布规律, 并且可以求得合成的应力s的分布函数fs和强度的分布密度函数f，如图2.2所示。2.3.2 可靠性数学模型分析提高设备的可靠性就必须从提高每一个机件的可靠性入手，强调所有机件在整机使用寿命内的最佳无故障配合。无论何种失效形式，如果用数学模型来描述，可表述为：失效故障的发生仅随运行时间的增加而上升；失效故障的发生

15、与设计参数及标准有关。可靠性是指系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。如果用“概率”来量度这一“能力”，就是可靠度。累积失效概率是指机械产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率。可以方便的运用概率论的相关结论建立系统的可靠性数学模型。通过对大量机件故障案例的分析与研究，发现在排除设备的偶然性故障的前提下，随着设备使用时间的推移及老化，其故障模型主要有6种，如图2.3所示。对这6种模型进一步分析研究后,得出了以下结论：在寿命期内，前3种(A，B，C) 图2.3(a)(c)故障模型为与使用时间相关的故障，主要适用于那些非常简单的零部件和设备，尤其是存在直接接触磨损或接触腐蚀介质的。

16、后3种(D、E、F)图2.3(d)(f)为与使用年限不相关的故障。一般来讲，部件越复杂或越简单，它就越可能服从于故障模型E、F，即存在于设备或部件复杂程度两极。D、E、F这3种模型的主要特征是设备运行初期以后的一段时间内与可靠性设计没有多少关系或根本无关。像这类部件往往在其使用寿命内都不发生故障、如一旦发生故障，往往是不可再修复的。造成这些部件出现故障而失效的原因,往往是与设计过程中的参数、标准有关,与疲劳、刚度、强度有关。图2.3六种故障模型第3章 总结与展望故障诊断技术、减速器设计、可靠性设计中用到的数学模型是从不同的角度解决实际生活生产中的工程问题，从中可以看出数学在实际应用中的重要性。

17、数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。为更好的进行机械设计理论的深入研究及工程上的广泛应用，利用数学方法建立数学有效模型具有重要意义。只有机械设计具体问题中的模型更加广泛、更加简便、更加贴近实际工程，才能使得机械设计理论得以改善和发展。由于新方法和理论的不断研制及在机械工程中不断的应用，机械设计理论数学模型的不断改善、不断贴近实际、不断简化的工作将要一直进行，并与时俱进。数学模型就是用数学语言描述实际现象的过程。是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。参考文献1. 韩捷，张瑞林，等.旋转机械故障机理及诊断技术M.北京:机械工业出版社，1996.2. 傅祥炯编著结构疲劳与断裂M西安：西北工业大学出版社，20053. 王世杰，闫明，佟玲循环载荷下热疲劳裂纹的应力强度因子J机械工程学报，