5.3直线与平面的夹角

1、第二章5夹角的计算 知识梳理 自主学习知识点一直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的 的夹角叫作该直线与此平面的夹角.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为 .(3)如果一条直线与一个平面垂直， 我们规定这条直线与平面的夹角是 .(4)直线与平面夹角的范围： .(5)斜线与平面夹角的范围： .答案0投影返回知识点二直线与平面夹角的向量求法设平面的斜线l的方向向量为a，平面的法向量为n.(1)当a，n与，l的关系如图所示时，则l与所成角与a，n所成的角互余.即sin cosa，n.(2)当a，n与，l的关系如图所示时，sin -cosa，n.(2

2、)直线与平面所成角的范围是可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角s，n求得,关系式:sin =|cos s，n| 题型探究 重点突破题型一求直线与平面的夹角的基本方法例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角.解析答案反思与感悟解方法一连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角.解析答案反思与感悟BA1O30.A1B与平面A1B1CD的夹角是30.反思与感悟方法

3、二如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z).令x1，则有y0，z1，可取n(1,0,1).则A1B与平面A1B1CD的夹角是30.感悟求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；(3)求平面的法向量n；解析答案跟踪训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面A

4、BCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值.解析答案解取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的投影为BM，MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PDDC1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，解析答案题型二空间夹角的综合应用例2四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分别为CD，PB的中点.(1)求证：EF平面PAB；又ABPAA，EF平面PAB；解析答案反思与感悟反思与感悟设平面AEF的一个法向量为n(x，y，z)，反思

5、与感悟本题有两问是一个综合题，题目以四棱锥为背景构造垂直的证明和线面角的求解，求解过程充分体现了向量的工具性作用.解析答案跟踪训练2在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点.(1)求证：CMEM；证明如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设EAa，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).解析答案返回(2)求CM与平面CDE的夹角.解设向量n(1，y0，z0)与平面CDE垂直，所以y02，z0

6、2，即n(1,2，2)，因此直线CM与平面CDE的夹角是45. 当堂检测1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A.等于90B.小于90C.大于90D.不确定解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，A解析答案MPMN，即PMN90.也可由三垂线定理直接得MPMN.解析答案2.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值为()解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，答案C解析答案A.60 B.90 C.105 D.75解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，B即AB1与C1B所成角的大小为90.解析答案4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D解析答案解由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，