中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含详细答案

1、中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理，突破提升)含详细答案一、锐角三角函数1 .如图1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90； AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90;连接AF,过A, E, F三点作圆，如图2.若EC=4, ZCEF=15, W熊的长.图1图2【答案】(1) BE=FH；理由见解析(2)证明见解析(3)/=2兀【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SAS即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB, FH=EB从而可知

2、 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45,而/ ACB也为45,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接EO,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到福所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下： 四边形ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 又,：L AEF=90/ AEB+/ HEF=90且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AAB

3、EAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE=CH.CH=FH/ FCH=45 ,/ FCM=45 .AC是正方形对角线，Z ACD=45 / ACF=Z FCM +/ ACD =90 (3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90过E作EN AC于点NRtA ENC 中，EC=4, / ECA=45。， . EN=NC=0RtA ENA 中，EN =2又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧对等角）/ EAC=30 .AE=RtA AFE 中，AE=472 = EF,，A

4、F=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为 /AOE=90募=2 兀- 490 + 36。 =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数2.如图，在平行四边形ABCD中，汇平分上，交,于点，F平分乙伊匚，交仞于点F, HE与HF交于点P,连接叼，PD（1）求证：四边形是菱形；若命二n叩=6/才求3UDP的值.【答案】（1）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据AE平分/ BAD BF平分/ABC及平行四边形的性质可得 AF=AB=BE 从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知 AP的长及/PAF=60,过点P作PH, AD于H

5、,即可得到 PH、DH 的长，从而可求tan/ADP 试题解析：（1）.AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF 1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB / AFB=/ ABF，AB=BE AB=AF，AF=AB=BE .ADZ/BC .ABEF为平行四边形又 AB=BE .ABEF为菱形(2)作 PH，AD于 H由/ABC=60而已（1）可知 /PAF=60, PA=2,贝U有 PH=/3 , AH=1, . DH=AD-AH=5/me近tanZ ADP=_ 考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4

6、、三角函数3.已知：如图，在 RtA ABC中，/ACB=90,点M是斜边 AB的中点，MD/ BC,且MD=CM, DEL AB 于点 E,连结 AD、CD.（1）求证：MEDsBCA;（2）求证： AMDCMD；(3)17.设4MDE的面积为S,四边形BCMD的面积为8,当S2=S时，求cos/ABC的5值.5【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） cos/ABC=5.7【解析】【分析】(1)易证 /DME=/CBA /ACB=/ MED=90 ,从而可证明 MEDs BCA;(2)由/ACB=90 ,点M是斜边AB的中点，可知 MB=MC=AM ,从而可证明ZAMD=ZCMD

7、,从而可利用全等三角形的判定证明AMD0CMD;MDAB-1 -Sa mcb= Saacb=2Si , 从而可求出22 c ，-SaebcfS2 &mcb - Si = Si , 由于5SiSVEBDME,从而可EB% ME 5 5知 ,设 ME=5x, EB=2x, EB 2定义即可求出答案.从而可求出AB=14x, BC=7 ,最后根据锐角三角函数的2【详解】(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=90 ；.MEDsBCA;(2) / ACB=90 ,点 M 是斜边AB的中点,MB=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z

8、 DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB- / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,在 AMD与ACMD中,MDMDAMDAMCMD , CM(3)易证 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以 SVACB.AMDACMD (SAS ； (3) MD=CM,，AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCAMDSvacbAB2Saacb=4Si ,.CM是 ACB的中线,c1Samcb= Saacb=2Si ,2SaebcfS? Samcb- Si= Si5 ，SVEBDSiM

9、EEB，ME 5EB 2设 ME=5x, EB=2x, .MB=7x, .AB=2MB=14x,MDME 1 ABBC 2.BC=10x,BC 10x5cos/ ABC=.AB 14x 7【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键4.如图，等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36, BC=1,点 D 在边 AC 上且 BD 平分/ABC, 设 CD=x.(1)求证：ABJBCD;(2)求x的值；(3)

10、求 cos36 -cos72 的值.【答案】（1）证明见解析；（2） 1 ; （3） 7芯8 .216【解析】试题分析：（1）由等腰三角形 ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出/DBC的度数，得到/DBC=Z A,再由/C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC根据AD+DC表示出AC,由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形 ABE和直角三角形 BCE中，利用 锐角三角函数定义求出 cos36。与cos72。的值，代入原式计算即可得到结果.试

11、题解析：(1)二.等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36 ,/ ABC=Z C=72 ； BD 平分 / ABC,/ ABD=Z CBD=36 ； / CBD=Z A=36 : C C=Z C, .ABCABCD;(2) / A=/ABD=36 , .AD=BD, BD=BC, .AD=BD=CD=1,设 CD=x,则有 AB=AC=x+1,.ABCABCD,AB BC 口 x 11,即BD CD 1 x整理得：x2+x-1=0,解得：x1= J一，x2= 15 (负值，舍去)，22则 x= 15；2.E为CD中点，即(3)过B作BEX AC,交AC于点E,-1,15DE=CE=5

12、 ,41 . 5 人一。AE 14在 RtA ABE 中,cosA=cos36 = 4一AB 1121 .5AG丽=乂zv ,tan/AFD= y,求y与x之间的函数关系式.（不要求写出（3）在点P运动过程中，设 x的取值范围）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】入-2-1y 二/；(3)在 RtBCE 中，cosC=cos72= EC 41 y/5 , BC 14则 cos36 -cos72 = 氏 1 -1_叵=-. 442【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形.5.如图，在。的内接三角形 ABC中，/ACB= 90, AC=2BC,过

13、C作AB的垂线l交。O 于另一点D,垂足为E.设P是用1上异于A, C的一个动点，射线 AP交l于点F,连接PC与PD, PD交AB于点G.（1）求证：PASPDF;（2）若AB=5,稗=叮，求PD的长;试题分析：（1）应用圆周角定理证明 Z APD= / FPC得到Z APC= / FPD,又由/ PAC= /PDC,即可证明结论.（2）由AC=2BC设“二修，应用勾股定理即可求得 BC, AC的长，则由AC=2BC导 RC=2a,由ACaABC可求得AE, CE的长，由鼎二国可知4APB是等腰直角三角 形，从而可求得 PA的长，由4AEF是等腰直角三角形求得 EF=AE=4从而求得DF的长

14、，PA AC由（1） PASPDF得PD 二 即可求得 PD的长.叩（3）连接BP, BD, AD,根据圆的对称性，可得 ,由角的转换可得APAG ZIP AGPADGBW/)f,DG AD,由AGDPGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O,得/FPC=/B,又. / B= / AC 90 /BCE, /AC&/APD, ，/APD= / FPC.Z APD+ Z DPC= Z FPC+ Z DPC,即 Z APO Z FPD.又. / PAG= / PDC, .PACAPDF.(2)连接 BP,设网1= q, ZACB=90, AB=5, 便 + (2a)2 = 5

15、 2=口 =BC =(5/C = 2 ,15,.ACEAABC,.ABXCD, ,SEDE-2.如图，连接BP,耳尸二，.APB是等腰直角三角形 AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4. DF=6.&PA AC F 入53X/TD = _j = = Pl)=由(1) PAS4PDF得PC 吟 即623VBiPD的长为 2.(3)如图,连接 BP, BD, AD,AD.AC=2BC, .根据圆的对称性，得 AD=2DB,即,. ABXCD, BP AE, . . / ABP= / AFD.AP.tanAFD = y AB- = y 5 一AG AP. AGP ADGB,i)lt.AGDAPGB,

16、DG AD前二而a bceDE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD= AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1 在 RtADN 中，DN= AD= 2 在 RtODN 中，ON=DN=13 ， 当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME, DE为底边，如图 3,作DHXAE, . AD=2 73 , ZDAE= 30； .DH=6 /DEA=60 ； DE=2, .ODE为等边三角形， .OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME, / M

17、DE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ,/ DNO= 45 ； NDH为等腰直角三角形，1 .NH=DH=曲,.on= 73 -1 ；综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2近.理由如下：连AP、AQ,如图2,3 z c= Z CAD= 60 ；而 DPI AB,4 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ,Z CAQ= / PAD,5 . AC=AD, /AQC=/P,6 .AQCAAPD,.DP= CQ,7 .DP-

18、DQ= CQ- DQ= CA 2 43 .到）t teL）【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相 等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.3、315.小明坐于堤边垂钓，如图 ，河堤AC的坡角为30, AC长工米，钓竿AO的倾斜角 是60,其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60,求浮漂B与河堤下端C之间的距离（如图）.【答案】1. 5米.【解析】试题分析：延长 OA交BC于点D.先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出ZC4A = 1800 -ARDB -DACD = 90RtACD中)一”门上。一之米 cd=2AD=3丁 f?Z)