2008年高考第一轮复习数学：13.1导数的概念与运算

1、夫第十三章导数网络体系总览考点目标定位1 .理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2 .理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬 时速度.3 .会用导数研窕多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4 .理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值, 会求一些简单的实际问题的最大（小）值.复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重 概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求 有关函数的

2、导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必 考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空SS与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内 容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度, 注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1导数的概念与运算知识梳理1 .用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Ay：（2）求平均变化率包.（3）取极限，得导数/' （.to） =lmi . zto Ax2 .导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线/（X）在某一点（覆，处的导数是过点（.%, *）的切线斜率.物理意义：若物

3、体运动方程是5=5 （/）,在点P （曲，S （/o）处导数的意义是f=fo处的 瞬时速度.3 .求导公式(c/=0, )'=炉r(£N*).4 .运算法则如果/(X)、g (x)有导数，那么J (x) ±g (x) '=7' (x) 土g' (x), c / (x)'= cf (x).点击双基1 .若函数/(x) =2炉一1的图象上一点(I, D及邻近一点(1+Ax, 1+Ay),则兰Ax 等于A.4B.4xC.4+2 AxD.4+2 Ax2解析：A y=2 ( 1+Ax)1 1=2 A,F+4Ax, 2=4+2 Ax.答案：C2

4、.对任意.i,有/' (x) =4.v /(I) =-l,则此函数为A.f (x)=./一2B.f (x) =x4+2C/ (x) =x5D.f (x) =-.d解析：筛选法.答案：A3 .如果质点A按规律s=2户运动，则在尸3 s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：'-6尸，/.5, I/-J-54.答案：C4 .若抛物线.lRx+c上一点P的横坐标是一2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点, 则c的值为.解析：-2x1, *.y| |a5.又尸(一2, 6+c),6 +( =5.-2 f=4.答案：45 .设函数/(x)=(刀一。)(X-/?) (x-c) (a

5、、b、c是两两不等的常数)，则 a b c7Go+m+7(0=,解析：*.*/ (x) -x3 (a+b+c)炉+ (ab+bc+ca) xabc,:./' (a) =3.v22 (a+b+c) x+ab+bc+ca.又 f (a) = («/?) (tic),同理 f (b) = (一a) (/>c),/' (c) - (ca) (cb).代入原式中得值为0.答案:0典例剖析【例1】(1)设a>0, f(x) =aF+/u+c,曲线产/(x)在点尸(x0, f (jc0)处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线、寸Q)对称轴距离的取值范围为A.0, 1B

6、.0, C. 0, | A | D. 0, | |a2a2a2a(2) (2004年全国，3)曲线v-VBF+l在点(1, -1)处的切线方程为A.v=3x4B.y=3x+2C.y=4k+3D.v=4x5I zl(3) (2004年重庆，15)已知曲线尸上好+2,则过点尸(2, 4)的切线方程是.,33(4) (2004年湖南，13)过点尸(-1, 2)且与曲线尸3.F-4K+2在点M (1. 1)处的 切线平行的直线方程是.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切 线的斜率.解析：(D ,过P (xo, / (Ao)的切线的倾斜角的取值范围是0，-, 4

7、*P到曲线(X)对称轴厂的距离cIbXq ( ) ="Ao+ . 2a2a 2a又/，(xo)=2av0+/?e 0, 1,.xo£ , -t/= ro+ £ 0, . 2a 2a2a 2a(2) 点(1, -1)在曲线上，y' =3a:-6a,J切线斜率为3X F-6X = 3.所求切线方程为什1=-3 (x-1).(3) :P (2, 4)在 v-Ld+士 上， . 33又 yr ，：斜率工所求直线方程为)一4=4 (%2), 4xv4=0.(4) yr =6工-4, 切线斜率为 6X 14=2.，所求直线方程为一2-2 (x+l),即2Av+4=0.

8、答案：(1) B (2) B (3) 4x-y-4=0(4) 2v-y+4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论-导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.而1T曲线厂底在点(3, 27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？ 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点(3, 27)处切线的方程为尸27154,此直线与入轴、y轴交点分别 为(2, 0)和(0, -54),工切线与坐标轴围成的三角形面积是s=2 X2X54=54.2评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例

9、3】 已知曲线C： v-x3-3W+2a,，宜线/： vh,且直线/与曲线。相切于点(右， y0)(xoO),求直线/的方程及切点坐标.剖析：切点(.“，yo)既在曲线匕 又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解 之即可.解：:直线过原点，则h包(xoD .由点（,%, Jo）在曲线C上，则“三守一3工（/+2工0，=.?-3k（）+2. %又=3片6.什2,工在（右，yo）处曲线C的切线斜率应为h/' 5）=3底一6m+2./. Ao2 - 3xo+2=3 e-6.vo+2.整理得 2xoZ-3.o-O.解得改产之Wo）. 2这时，Vo- - - k-L84因此，直线/的方程为

10、尸一L1，切点坐标是（上，-）.428评述：对于高次函数凡涉及到切纹或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y=a （x占）（式一心）（aXO, &<%）上两点A （修，0）、B （4，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.剖析：利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.解：y' =2axa（X1+.V2）,yr 1t.l =a（Xix：）» 即心=a （Xjx：）» y' I. =a （x：Xi）,即女产。（x：Xi）./ A 1/ A A 设两条切线与入轴所成的锐角为a、夕，则tana=h|=k

11、（心一心）|,tan B -ktici占）|» 故 tan a -tan B.又a、£是锐角，则a = £.评述：由tanaran尸不能直接得还必须有a、户为锐角时（或在同一单调区间 上时）才能得£ = £.闯关训练夯实基础1 .函数/（X）= （x+l）（X2x+1）的导数是A.正一x+1B. （x+1） （2k1）C3x2D.3x¥l解析：（X）=x3+l,:.f （a） =3at.答案：C2 .曲线厂/（x）在点Go, f （xo）处的切线方程为打+.v+3=0,贝ijA. f （x0）>0B. f （x0） <0C

12、. f （x0）=0D. /'（.%）不存在解析：由题知（a。）-3.答案：B3 .函数/（x） =aP+3小2,若/' （ 1） =4,则a的值等于.解析：f （a） =3r+6不，从而使 3a6=4, /. 11=.3答案:104 .曲线y=2x¥l在P （ 1, 3）处的切线方程是 W解析：点 P( 1，3)在曲线上，k=f9 (-1) =-4, y-3=-4 (x+1), 4x+y+l=0.答案：4x+v+l=05 .已知曲线v-.F1与v-3x3在.v-Ko处的切线互相垂直9求g解：在.V=xo处曲线V=.F1的切线斜率为2m曲线V=3-F的切线斜率为-3.

13、*2xo ( - 3.Vo:)= - 1, Axo- -J= .浜答案：w6 .点P在曲线厂好一.计2上移动，设点尸处切线的倾斜角为。，求。的范围.3解：,.,tana =3/1, tail a G 1, +8).当 tana £ 0, +8)时，a E 0,)：2当 tan a£ 1, 0)时，二£生，n ).4Aa G 0, - ) U , n ).24培养能力7.曲线 v=-F+4x 上行两点 A (4, 0)、B (2, 4) ,求： r(1)割线AB的斜率Ms及AB所在直线的方程；(2)在曲线AB上是否存在点C,使过C点的切线与A8所在直线平行。若存在，

14、求出C点的坐标：若不存在，请说明理由.解：(1)=-2,2-4工厂一2(X-4).所求割线AB所在直线方程为2v+y-8=0.(2) 丫'=一2计4, -2x+4=-2.得产3,尸一343X4=3. C点坐标为(3, 3),所求切线方程为2计)-9=0.5有点难度哟!若直线v=3x+l是曲线广工3。的一条切线，求实数a的值. 解：设切点为P(M兴)，对尸力一。求导数是y =3/, / 3xo2=3 工 xo- ± 1.(1 )当.V-1 时， :P (xo，Vo)在尸3x+l 上，V=3X 1+1=4,即 P (1, 4) . J又P (1, 4)也在尸好一上，.,.4-P-

15、fl.Aa-3.(2)当,X-1 时， ：P (xo» Vo)在尸3x+l 上，3X (-1) +1-2,即 P ( 1, 2) .又 P ( 1, 2)也在 vx3一。上， 二一2= ( - 1) a.Af7=l.综上可知，实数。的值为一3或L9,确定抛物线方程y-+hx+c中的常数b和c,使得抛物线与直线v=2x在.L2处相切.wW解:y'=2x+，hy'卜-17+%2,:.-2.又当尸2 时，v=2'+ ( 2) X2+c=c, J代入)2x,得c=4.探究创新10南煎难度哟!曲线v=x3+3k=6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：J=3F+6x

16、+6=3 (a+1)03, W 21时，切线最小斜率为 3,此时，V- ( - 1) 3+3 X ( 1) 2+6 ( 1) 10=-14.，切线方程为14=3 (x+1), BP 3xy11-0.思悟小结1 .理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2 .非多项式函数要化成多项式函数求导.3 .要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.教师下载中心教学点睛l.f (xo) =lnn('o + A')/。)的几种等价形式: v-0AV(A0)- 1U11f。 X-Xo=lim /(%+/?)-/(%)AT)h=lim /(%) Zitoh2 .曲线C： .v=f(x)在其上一点尸(.m /(.vo)处的切线方程为yf (x0)=/' (x0) (xx0).3 .若质点的运动规律为s=s (f),则质点在r=/o时的瞬时速度为v= s'(卜).这就是导数 的物理意义.4 .直线与曲线相切，