上海中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合

1、上海中考数学压轴题专题复习一一锐角三角函数的综合 、锐角三角函数 1. 如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄 AB 于 H,过 CD 延长线上一点 E 作O O 的切线交 AB 的延长线于切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K. 求证：KE=GE 若 KG=KD?GE 试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由; 【答案】（1）证明见解析；（2） AC/ EF,证明见解析；（3） 【解析】 试题分析：（1）如图 1，连接 0G.根据切线性质及 CD 丄 AB,可以推出 / KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得到 KE=GE （2） AC 与 EF 平行，理由为：如图 2

2、 所示，连接 GD,由/ KGE=/ GKE 及 K=KD?GE 利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD 与厶 EKG 相似，又利用同弧所 对的圆周角相等得到 / C=/ AGD,可推知/ E=/ C,从而得到 AC/ EF； （3） 如图 3 所示，连接 OG, OC,先求出 KE=GE 再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径 定理可以求解；然后在 RtA OGF 中，解直角三角形即可求得 FG 的长度. EG 为切线， / KGE+/ OGA=90 , CD 丄 AB, / AKH+/ OAG=90 又 OA=OG, / OGA=/ OAG, (1) (2) FG= FG的

3、长. / KGE 玄 AKH=Z GKE KE=GE (2) AC/ EF,理由为连接 GD,如图 2 所示. 又 / KGE 玄 GKE GKMA EGK, / E=Z AGD, 又 / C=Z AGD, / E=Z C, AC / EF; EG 为切线， / KGE+Z OGA=90 , CD 丄 AB, / AKH+Z OAG=90 , 又 OA=OG, Z OGA=Z OAG, Z KGE=Z AKH=Z GKE, KE=GE 卩 / sinE=sinZ ACH= ，设 AH=3t，贝 V AC=5t, CH=4t, / KE=GE AC/ EF, CK=AC=5, HK=CK-CH=

4、t 在 RtA AHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2, 即（3t） 2+t2=（炳）2,解得 t=& . 设 O O 半径为 r，在 RtA OCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t, 由勾股定理得：0屮+。#=0&, 25 25 即（r-3t）2+（ 4t）2=r2，解得 r= t= . EF 为切线， OGF 为直角三角形， 25 CII 4 在 RtA OGF 中，OG=r= , tan / OFG=tan/ CAH= _ 0G 25 25 = -k lnnz.OrG 4 FG 3 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，

5、勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键. 2. 如图，PB 为。O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂线 BA,垂足为 C,交。O 于点 A, 与 PB 的延长线交于点 D. Ar q 若 =，且 OC=4,求 PA 的长和 tan D 的值. J 【答案】(1)证明见解析；(2) PA =3 口7, tan D= 【解析】 试题分析：(1)连接 OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得： OP 是线段 AB 的垂直平 分线，进而可得：PA=PB 然后证明 PA3A PBO,进而可得/ PBO=/ PAO,然后根

6、据切 线的性质可得/ PBO=90，进而可得：/ PAO=90，进而可证：PA 是O O 的切线； 0C 2 _ _ (2)连接 BE,由沖“ 3,且 OC=4,可求 AC, OA 的值，然后根据射影定理可求 PC 的 值，从而可求 OP 的值，然后根据勾股定理可求 AP 的值. OP 是 AB 的垂直平分线， PA=PB PA = PR PO - PO 在卩人0 和厶 PBO 中，PAO PBO ( SSS / PBO=Z PAO, PB=PA PB 为 O O 的切线，B 为切点，上 PBO=90 , 上 PAO=9O即 PAI OA, ，且 OC=4， AC=6， AB=12， 在 Rt

7、A ACO 中，由勾股定理得： AO=介 - J AE=2OA=4 ：, OB=OA=2 , 在 RtA APO 中， AC 丄 OP, ACOC PC,解得：PC=9, OP=PC+OC=13 在 RtA APO 中，由勾股定理得：AP=*Jf1=3 . BE =DE DE 1613 DF 一 、 易证 2呵7DOP,所以 P0 而 DE + OE,解得 kJ* 考点：1切线的判定与性质；2相似三角形的判定与性质； 3解直角三角形. 3. 如图，抛物线 Ci： y= （x+m） 2 （m 为常数，m0），平移抛物线 y=-x2,使其顶点 D 在抛物线 Ci位于 y 轴右侧的图象上，得到抛物线

8、 C2.抛物线 C2交 x轴于 A, B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， PA 是O O 的切线; AD = 2OA + DE： = 则 ，在中, 交 y 轴于点 C,设点 D 的横坐标为 a. 当 0C=2 时，求抛物线 C2的解析式; 是否存在 a,使得线段 BC 上有一点 AP=BF？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； (2)如图 2,当 0B=2L - m (Ov m气阳)时，请直接写出到 ABD 的三边所在直线的距 离相等的所有点的坐标(用含 m 的式子表示). 71 II 【答案】(1) y=- x2+x+2.(2) Pi (- m, 1), P2(2 - m ,

9、- 3), P3 (- k/l- m, 3) , P4 (3 - m , 3). 【解析】 试题分析：(1)首先写出平移后抛物线 C2的解析式(含有未知数 a)，然后利用点 C (0, 2)在 C2上，求出抛物线 Q 的解析式； 认真审题，题中条件 “ AP=Bt 味着点 P 在对称轴上， 点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之 和最大”意味着 OP 丄 BC.画出图形，如图 1 所示，禾 U 用三角函数(或相似)，求出 a 的 值； (2)解题要点有 3 个: i) 判定 ABD 为等边三角形； ii) 理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等； iii) 满足条件的点

10、有 4 个，即 ABD 形内 1 个(内心)，形外 3 个不要漏解. P,满足点 B 与点 C 到直线 0P 的距离之和最大且 11 II 试题解析：(1)当 m=7 时，抛物线 G： y= () 2. 抛物线 C2的顶点 D 在抛物线 C1上，且横坐标为 a, II D (a,( a+刁)2). 抛物线 C2： y= -( x- a) 2+ (a+ ) 2 (I). / OC=2, C (0, 2). 点 C 在抛物线 C2上, 1 - -( 0- a) 2+ (a+ ) 2=2,7 4 解得：a= 1，代入（I）式, 图: 1 1 1 1 P (a, a+巧，PE= a+4 Ofi 点 P

11、 在直线 BC 上, 2a+2 -=2 / tan / EOP=tan/ BCO= 得抛物线 C 的解析式为: 在（I）式中， 7 2 y= - x + x+2. 令 y=0,即：（x - a） II 令 x=0,得：y=a+ , 设直线 BC 的解析式为 1 + ( a+) 2=0,解得 x=2a+ 或 x=- 111 C (0, a+). y=kx+b，则有: ，二 B (2a+, 0); 1 k(2a + -) + = 0 1 L b = a + - 4 ，解得 1 直线 BC 的解析式为：y - x+ （ a+ ）. 假设存在满足条件的 a 值. / AP=BP, 点 P 在 AB 的

12、垂直平分线上，即点 P 在 C2的对称轴上； 点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和0）与 BC 交于点 P,与 x 轴交于点 E, 则 0P 丄 BC, OE=a. = Q + J T 1 PE 2 + 4 , 1 解得：a=，. 1 存在 a=，使得线段 BC 上有一点 P,满足点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和最大且 a=k“ - m . D ( - m , 3). AB=OB+OA=2 - m+m=2 IDF 3 I rj / tan / ABDE 竽 / ABD=60 . 又 AD=BD, ABD 为等边三角形. Pi ( - m, 1); 在厶 ABD 形外，依次作各个

13、外角的平分线，它们相交于点 P2、P3、P4. 在 RtA BER 中，P2E=BE?ta n60 =? =3, P2 ( - m,- 3); 易知 ADP3、 BDF4均为等边三角形， DP3=DP4=AB=2 AP=BP (3) T抛物线 C2的顶点 D 在抛物线 Ci 上, D (a,( a+m) 2). 抛物线 C2： y=-( x- a) 2+ (a+m) 令 y=0,即-(x- a) 2+ (a+m) 2=0, 9B=2 . - m, 2a+m=2 ：-： :-| - m , 且横坐标为 a， 解得: xi=2a+, 如图 2 所示，设对称轴与 x轴交于点 E,则 DE=3, BE

14、=AB=p|, OE=OB- BE= - m . 作/ABD 的平分线，交 DE 于点 Pi,贝 V PiE=BE?tan30 =3 =1, ，且 P3P4/ X 轴. VA c 0 E P3 (- . - m, 3)、P4 (3. - m, 3). 综上所述，到 ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有 4 个， 其坐标为：Pi ( m , 1), P2 ( m , - 3), P3 (飞m, 3), P4 ( m , 3 ) 【考点】二次函数综合题. 4 .如图，AB 是O O 的直径，E 是O O 上一点，C 在 AB 的延长线上，AD 丄 CE 交 CE 的延长 线于点 D,且 AE

15、 平分/ DAC. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AB= 6, / ABE= 60 求 AD 的长. 【答案】(1)详见解析；(2) 9 2 【解析】 【分析】 (1)利用角平分线的性质得到 / OAE= / DAE,再利用半径相等得 / AEO= / OAE,等量代 换即可推出 OE/ AD,即可解题，(2)根据 30的三角函数值分别在 RtAABE 中，AE= ABcos30 在 RtA ADE 中，AD=cos30 A 却可解题. 【详解】 证明：如图，连接 OE, / AE 平分 / DAC, / OAE= / DAE. / OA= OE, / AEO= / OA

16、E. / AEO= / DAE. OE/ AD. DC 丄 AC, OE 丄 DC. CD 是O O 的切线. (2)解：TAB 是直径, / AEB= 90 ； / EAB= / ABE= 60 : 在 RtA ABE 中， AE= ABCOS30；=6X_3 = 3 3， 在 RtA ADE 中， / DAE= / BAE= 30；， 【点睛】 本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示 出所求线段是解题关键 5. 在厶 ABC 中，/ B= 45 , / C= 30。，点 D 是边 BC 上一点，连接 AD,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90 ,

17、得到线段 AE,连接 DE. (1)如图，当点 E 落在边 BA 的延长线上时，/ EDC= _ 度(直接填空)； 1 (2)如图，当点 E 落在边 AC 上时，求证：BD= - EC; 2 (3)当 AB= 2 2，且点 E 到 AC 的距离等于、3 - 1 时，直接写出 tan / CAE 的值 【解析】 【分析】 (1) 利用三角形的外角的性质即可解决问题； (2) 如图 2 中，作 PA 丄 AB 交 BC 于 P,连接 PE.只要证明 BAD PAE ( SAS，提出 BD=PE 再证明 EC=2PE 即可； (3) 如图 3,作 EF 丄 AC 于 F，延长 FE 交 BC 于 H

18、，作 AG丄 BC 于 G，PA 丄 AB 交 BC 于 P， 连接 PE.设 PH= X，在 RtA EPH 中，可得 EP= . 3x，EH= 2PH= 2x， 由此 FH= 2X+、.3 - 1，CF= 2 .3x+3-、3，由 BAD PAE 得 BD= EP=、3x，AE= AD，在 RtAABG 中，AG= GB= 2，在 RtA AGC 中，AC= 2AG= 4，故 AW = AD2= AF2+EF， 由勾股定理得 AF= 1+ 3，由此 tan/ EAF= 2-、：3，根据对称性可得 tan / EAC= 6-3 , 3 【答案】 ( ) 3)tan 6 3 3 11 -AD=

19、cos30 X A 11 【详解】 (1)如图 1 中， Si / / EDC= / B+Z BED, / B= Z BED= 45 Z EDC= 90 ； 故答案为 90; (2)如图 2 中，作 PA 丄 AB 交 BC 于 P,连接 PE. / Z DAE= Z BAP= 90 Z BAD= Z PAE / Z B= 45 ； Z B= Z APB= 45 ； AB= AP, / AD= AE, BADA PAE (SAS , BD= PE, Z APE= Z B = 45 Z EPD= Z EPC= 90 / Z C= 30 EC= 2PE= 2BD； (3) 如图 3,作 EF AC

20、 于 F,延长 FE 交 BC 于 H,作 AG 丄 BC 于 G, PA 丄 AB 交 BC 于 P, 连接PEE1F1G1H1，在平移过程中边 F1G1始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒(t0) S3 设 PH= x,在 RtA EPH 中，I/ EPH= 90 / EHP= 60 EP=、3x, EH= 2PH= 2x, FH= 2x+ 3 - 1, CF=、3 FH= 2 3x+3 - 3 , BADA PAE BD= EP=、3x, AE= AD, 在 RtA ABG 中，/ AB= 2 2， AG= GB= 2, 在 RtA AGC 中，AC= 2AG= 4, / AE2=

21、AD2= AFSEF2, 22+ (2 -、.3x) 2=( .3 - 1) 2+ (4 - 2 .3X-3+、. 3 ) 2, 整理得：9x2- 12x= 0, 4 解得 x=上(舍弃)或 0 3 PH= 0,此时 E, P, H 共点， AF= 1+、,3 , tan / EAF= EF = _1 = 2 -虧. AF 43 1 根据对称性可知当点 E 在 AC 的上方时，同法可得 tan / EAC= 6-1 . 11 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性 质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题

22、，属于中考压轴题. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 DE 交 x轴于点 E (30, 0)，交 y 轴于点 D (0, 1 40)，直线 AB： y= 3X+5 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,交直线 DE 于点 P,过点 E 作 EF 丄 x轴交直线 AB 于点 F,以 EF 为一边向右作正方形 EFGH (1) 求边 EF 的长； (2) 将正方形 EFGH 沿射线 FB 的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形 3 , 40 4 x+40, 3 直线 AB 与直线 DE 的交点 P (21, 12), 由题意知 F ( 30, 15), EF= 15; (2)易求

23、B (0, 5),(1)根据已知点 E (30, 0) ，点 D (0 , 40),求出直线 DE 的直线解析式 y=x+40，可 3 求出 P 点坐标，进而求出 F 点坐标即可； (2)易求 B (0, 5),当点F1移动到点 B 时，t=10、. 10 10=10; F点移动到 F的距离是、T0t, F 垂直 x轴方向移动的距离是 t，当点 H 运动到直线 DE 上时在 RtA FNF 中-NF =! EM=NG=15-FN=15-3t 在 NF 3 RtA DMH中 出丄 - EM 3 1 45 1023 t=4 , S=- X (12+ ) X 11= ;当点 G 运动到直线 DE 上

24、时, 2 4 8 在 RtA FPK 中，=-, F K 3 PK=t-3, FK=3t-9 ,在 RtA PKG 中，= t3 =-, KG 15 3t 9 3 t=7, S=15X (15-7) =120. 【详解】 (1)设直线 将点 E( 30, DE 的直线解析式 y= kx+b, 0),点 D (0, 40), 30k b 0 40 ， 【解析】 当点 F1移动到点 B 时，求 t 的值； 当 G1 , H1两点中有一点移动到直线 DE 上时，请直接写出此时正方形 EF1G1H1与厶 APE 二 BF= 10 .10 , PF= 3 ,10 , PF- . 10 t - 3、10

25、, 在 RtA FPK 中,.10 - 10； 在 RtA FNF 中, NF =1 NF =3 FN= t, FN= 3t, MH = FN= t, EM= NG= 15 - FN= 15 - 3t, 在 RtA DMH中， MH 4 EM 3， . t 4 15 3t 3 t = 4, EM = 3, MH = 4, 1 45 S= (12 ) 11 2 4 1023 当点 Fi移动到点 B 时，t = 10 .10 当点 H 运动到直线 DE 上时， F 点移动到 F的距离是 10 t, 当点 G 运动到直线 DE 上时, PK 1 PK= t - 3, FK= 3t - 9, t =

26、7, S= 15 x( 15 - 7)= 120. 【点睛】 本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键. 7. 如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点 A、B 分别为地球仪的南、北 极点，直线 AB 与放置地球仪的平面交于点 D，所夹的角度约为 67 ,半径 0C 所在的直线 与放置它的平面垂直，垂足为点 E， DE=15cm，AD=14cm. (1)求半径 OA 的长(结果精确到 0.1cm，参考数据：sin67 0,9Zos67 0.39

27、 tan67 2.36 (2)求扇形 BOC 的面积(n取 3.14，结果精确到 1cm) 【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm ; (2)扇形BOC的面积约为822cm2. 【解析】 【分析】 (1)在 RtA ODE 中，DE=15, / ODE=67,根据/ ODE 的余弦值，即可求得 0D 长，减去 AD 即为 OA. (2)用扇形面积公式即可求得 【详解】 (1)在 RtAODE 中，DE 15cm， ODE 67 . DE DO， cos ODE OD 15 0.39 OA OD 在 RtA PKG 中, PK KG t 3 _ 4 15 3t 9 3 AD 38.46 14

28、 24.5 cm， 答：半径OA的长约为24.5cm . ODE 67 ， - BOC 157 ， c nr2 S扇形BOC 360 2 157 3.14 24.52 360 822 cm2 . 答：扇形BOC的面积约为822cm2 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，禾 U 用三角函数中 余弦定义来解题是解题关键. &如图，公路AB为东西走向，在点 A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄M , 在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄N ；要在公路AB旁修建一个土特产 收购站P (取点P在AB上)，使得M , N两村庄到P站的距离之和

29、最短，请在图中作出 P的位置(不写作法)并计算： (1) M , N两村庄之间的距离； (2) P 到 M、N 距离之和的最小值(参考数据：sin36.5 =0.6, cos36.5 = 0.8, tan36.5 =0.75 计算结果保留根号.) 【答案】(1) M , N 两村庄之间的距离为., 29 千米;(2)村庄 M、N 到 P 站的最短距离和是 5 千米. 【解析】 【分析】 (1 )作 N 关于 AB 的对称点 N与 AB 交于 E,连结 MN 与 AB 交于 P,则 P 为土特产收购站 的位置.求出 DN, DM，禾U用勾股定理即可解决问题. (2)由题意可知，M、N 到 AB

30、上点 P 的距离之和最短长度就是 MN 的长. 【详解】 解：作 N 关于 AB 的对称点 N与 AB 交于 E,连结 MN 与 AB 交于 P,则 P 为土特产收购站 的位置. 十北 I 一 N A、 C P ! B I 电 (1 )在 RtAANE 中，AN=10, / NAB=36.5 NE=AN?sin / NAB=10?sin36.5 , =6 AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 , =8 过 M 作 MCI AB 于点 C, 在 RtA MAC 中，AM=5, / MAB=53.5 AC=MA ?si n/AMB=MA?si n36.5 , =3 MC=MA?cos

31、Z AMC=MA?cos36.5 ,=4 过点 M 作 MD 丄 NE 于点 D, 在 RtA MND 中，MD=AE-AC=5, ND=NE-MC=2, MN=、. 52 22 = 29 , 即 M , N 两村庄之间的距离为.29 千米. (2)由题意可知，M、N 到 AB 上点 P 的距离之和最短长度就是 MN 的长. DN =10MD=5,在 RtA MDN 中，由勾股定理，得 MN = 52 102 =5 .5 (千米) 村庄 M、N 到 P 站的最短距离和是 5、一 5千米. 【点睛】 本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加 常用辅助线，构造

32、直角三角形解决问题. 9. 如图，在?ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O, AC 丄 BC 于点。，将 ABC 沿 AC 翻折得到 AEC,连接 DE. (1) 求证：四边形 ACED 是矩形； (2 )若 AC= 4, BC= 3, 求 sin / ABD 的值. A / X B c? E 【答案】(1)证明见解析(2) 63 65 【解析】 【分析】 (1) 根据？ABCD 中，AC 丄 BC,而 ABgA AEC,不难证明； (2) 依据已知条件，在 ABD 或厶 AOC 作垂线 AF 或 OF,求出相应边的长度，即可求出 / ABD的正弦值. 【详解】 (1) 证明：将 ABC

33、沿 AC 翻折得到 AEC, BC= CE AC 丄 CE 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/ BC, AD= BC, AD= CE AD / CE 四边形 ACED 是平行四边形， / AC 丄 CE, 四边形 ACED 是矩形. (2) 解：方法一、如图 1 所示，过点 A 作 AF 丄 BD 于点 F, / BE= 2BC= 2 X3= 6, DE= AC= 4 , 在 RtA BDE 中, / RtA ABC 中，AB= _4 = 5， RtA ABF 中， AF 6、13 6 .13 sin / ABF= sin/ ABD= AB 13 65 5 方法二、如图 2 所示,过点

34、O 作 OF 丄 AB 于点 F , 同理可得， OB= 1 BD .13, 2 / SAOB=】0F AB OA BC , 2 2BD BE2 DE2 .62 42 4 3 6713 -AF=: 23 13 2、13 SABDE=丄 X DE?AID - AF?BD, 2 2 0F= 5 /在 RtA BOF 中， OF 6 6.13 sin / FBO= OB 5 届 65 sin / ABD= 613 . 65 【点睛】 本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质 和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出 sin /

35、ABD. 10. 在 RtAABC 中，/ ACB=90 , AB=J7 , AC=2,过点 B 作直线 m/ 人。，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 A B点:A, B 的对应点分别为 A, B,)射线 CA, CB 分別交直线 m 于点 P, Q. (1) 如图 1，当 P 与 A 重合时，求/ ACA的度数； (2) 如图 2，设 A，与 BC 的交点为 M，当 M 为 A，的中点时，求线段 PQ 的长; 在旋转过程中，当点 P，Q 分别在 CA； CB 的延长线上时，试探究四边形 PAB，的面积 图1 备.用闔 (2) PQ= ； ( 3)存在，S 四边形 PABQ= 3 J3 2

36、 tan Z Q=tanZ A 週，即可得到 BQ=BC X 2，进而得出 PQ=PE+BQ 2 V3 2 (3)依据 S 四边形 PABQ=SAPCQ SAACB=SAPCQ 込, 即可得到 S四边形PABQ最小，即PCQ最 1 3 小，而SAPCQ PQBC PQ,利用几何法即可得到 SAPCQ的最小值=3,即可得到结 2 论. 【详解】 BC / Z ACB=90 ； m / AC, Z ABC=90 ； cosZ ACB - Z ACA=60 ; (2) / M 为 AB的中点， Z ACM=Z MAC,由旋转可得： Z A=Z ACM, tan Z PCB=tan Z A 3 , P

37、B 3 BC 2 2 BQ=BC 2 / Z BQC=Z BCF=Z A, tan / BQC=tan / A / MAC=Z A, 2, PQ=PB+BQ (3) / S 四边形 PABQ=SA PCQ SA ACB=SAPCQ 巧, S 四边形PABQ最小，即卩 SA PCQ最 小, SA PCQ 1PQBC 2 取 PQ 的中点 G. / Z PCQ=90 ； CG -PQ,I卩 PQ=2CG 当 CG 最小时，PQ 最小, 2 CG PQ,即 CG 与 CB重合时，CG 最小, PABQ=3 、3 ； CGnin J3 , PQmin=2 J3 , SAPCQ 的最小值=3, S 四边

38、形 【答案】(1) 60 【解【分(1)由旋转可得: AC=AC=2，进而得到 BC J3，依据/ ABC=90。，可得 BC cosZ ACB - AC 3，即可得到 Z ACB=30 Z ACA=60 2 (2)根据 M 为 AB的中点，即可得出 / A=Z ACM,进而得到 PB _!BC 2 i，依据 (1)由旋转可得: AC=AC=2. / Z ACB=90 ； 、7 , AC=2, BC 、3 AC 迟 迟 3 圉1 O Q c B 【点本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质 的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对

39、应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 11.如图 1，在 RtA ABC 中，/ ACB= 90 AC= 3, BC= 4，动点 P 在线段 BC 上，点 Q 在 线段 AB 上，且 PQ= BQ,延长 QP 交射线 AC 于点 D. (1)求证：QA= QD; (2)设/ BAP= a,当 2tan a是正整数时，求 PC 的长; (3)作点关AE, QQ 分别与 AP, AE 交于点 M, N (如图 2 所示).若存在常数 k,满足 k?MN = PE?QQ ,求 k 的值. 【解【分/ D ,即可得出结论; 1 (2)过点 P 作 PH 丄 AB 于 H ,

40、设 PH= 3x, BH= 4x , BP= 5x ,由题意知 tan a= 1 或 ，当 2 tan a 1时，1 1 当 tan a=时，HA= 2PH- 6x,得出 6x+4x= 5 ,解得 x= ,即可求出 PC 长; 2 2 (3)设 QQ 与 AD 交于点 0,由轴对称的性质得出 AQ= AQ= DQ= DQ,得出四边形 mP B Q mp B G 9 【答案】 ( )3 3 2) PC 的长为一或一(3) 8 7 2 (1)由等腰三角形的性质得出 C 备用圍 / B=Z BPQ= Z CPD,由直角三角形的性质得出 / BAC= 2 1 AQDQ 是菱形，由菱形的性质得出 QQ丄

41、 AD, A0= AD,证出四边形 BEQQ 是平行四边 2 形，得出 QQ = BE,设 CD= 3m，贝 U PC= 4m , AD= 3+3m,即卩 QQ - BE= 4m+4, PE= 8m , MO pc 由三角函数得出 =tan / PAC= ，即可得出结果. AO AC 【详解】 (1) 证明：I PQ= BQ, / B= Z BPQ= / CPD, / Z ACB= Z PCD= 90 Z A+Z BAC= 90 , Z D+Z CPD= 90 , Z BAC= Z D, - QA = QD; (2) 解：过点 P 作 PH 丄 AB 于 H,如图 1 所示： 设 PH= 3x

42、, BH= 4x, BP= 5x, 4 由题意得：tan Z BAC= _ , Z BAPv Z BAC, 3 1 2tan 是正整数时，tan = 1 或一， 2 当 tan a= 1 时，HA= PH= 3x, 3x+4x = . 32 42 = 5, 5 x= 7 3 即 PC= 4 - 5x= 7 1 当 tan a=时，HA= 2PH- 6x, 2 6x+4x= 5, 1 x=, 2 3 即卩 PC= 4 - 5x= 2 2 3 综上所述，PC 的长为3或3 ; 7 2 (3) 解：设 QQ 与 AD 交于点 O,如图 2 所示： 由轴对称的性质得： AQ = AQ= DQ= DQ

43、, 2 四边形 AQDQ 是菱形， , 1 QQ丄 AD, AO= AD, / BC 丄 AC,5 / BQ/ EQ； 四边形 BEQQ 是平行四边形， QQ= BE, 设 CD= 3m，贝 U PC= 4m , AD= 3+3m, 即 QQ BE= 4m+4, PE= 8m , 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的 判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的 判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键. 12.已知 AB 是O O 的直径，弦 CD 丄 AB 于 H,过 CD 延长线上一点 E 作OO 的切线交 AB

44、的 延长线于 F,切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K. (1) 如图 1,求证：KE= GE； 1 (2) 如图 2,连接 CABG 若 / FGB= / ACH，求证：CA/ FE； 2 3 (3) 如图 3,在(2)的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N,若 sinE= , AK=、10 ,求 CN 的长.MO AO =tan / PAC= PC AC MO 3 3m 2 4m =3 即 MN = 2MO = 4m (1+m), I 答案】（1）证明见解析；（2） EAD是等腰三角形证明见解析；（3）加 【解析】 试题分析： (1) 连接 0G,则由已知易得 / OGE=/ AHK

45、=90，由 OG=OA 可得/ AGO=/ OAG,从而可 得/ KGE玄 AKH=Z EKQ 这样即可得到 KE=GE (2) 设/ FGBa，由 AB 是直径可得 / AGB=90，从而可得 / KGE=90- a,结合 GE=KE 可得 1 / EKG=90-a这样在 GKE 中可得/ E=2 ,由/ FGB / ACH 可得/ ACH=2 ,这样可得 2 / E=Z ACH,由此即可得到 CA/ EF; (3) 如下图 2,作 NP 丄 AC 于 P, AH 3 由(2)可知 / ACH=Z E,由此可得 sinE=sin/ ACH= ，设 AH=3a,可得 AC=5a, AC 5 C

46、H 4 CH=4a,贝 U tan / CAH= ，由(2)中结论易得 / CAK=Z EGK=/ EKG=Z AKC,从而可 AH 3 AH _ 得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3 , AK= 10 a,结合 AK= 10 可得 a=1, HK 贝 U AC=5;在四边形 BGKH 中，由 / BHK=/ BKG=90，可得 / ABG+/ HKG=180，结合 / AKH+/ GKG=180 , / ACG=/ ABG 可得 / ACG=Z AKH, 亠 人 出亠 / 4 PN 在 RtA APN 中，由 tan / CAH= ，可设 PN=12b, AP

47、=9b，由 3 AP PN 5 tan / ACG= tan / AKH=3 可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+CP=3b =5，则可得 b=，由 CP 13 此即可在 RtA CPN 中由勾股定理解出 CN 的长. 试题解析： (1) 如图 1,连接 OG. / EF 切 O O 于 G, 0G 丄 EF, / AGO+Z AGE=90 , CD 丄 AB 于 H, Z AHD=90 Z OAG=Z AKH=90 / OA=OG , Z AGO=Z OAG , Z AGE=Z AKH , / Z EKG 玄 AKH , Z EKG 玄 AGE, KE=GE (2 )设 Z FGBa ,

48、 / AB 是直径， Z AGB=90 Z AGE = Z EKG=90 - a, Z E=180 - Z AGE- Z EKG=2 a 1 / Z FGB= Z ACH, 2 Z ACH=2 a Z ACH=Z E, CA/ FE. (3) 作 NP 丄 AC 于 P. / Z ACH=Z E, AH 3 sin Z E=sinZ ACH= ，设 AH=3a, AC=5Q AC 5 CA/ FE, Z CAK=Z AGE, / Z AGE=Z AKH, Z CAK=Z AKH, AH AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan Z AKH= HK AK= ,10 , 10a 10

49、, a=1. AC=5, / Z BHD=Z AGB=90 , 则CH=.AC2 CH2 4a, CH tan Z AH =3, AK=，AH 2 HK2 10a, Z BHD+Z AGB=180 , 在四边形 BGKH 中，Z BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+/ HKG=180 , / / AKH+Z HKG=180 / Z AKH=Z ABG, / Z ACN=Z ABG, Z AKH=Z ACN, tan Z AKH=tanZ ACN=3, / NP 丄 AC 于 P, Z APN=Z CPN=90 ； PN 4 在 RtA APN 中，tan Z C

50、AH= ，设 PN=12b,则 AP=9b, AP 3 PN 在 RtA CPN 中，tan Z ACN= =3 CP CP=4b, AC=AP+CP=13b / AC=5, 13b=5, 5 b=-, 13 CG AB, 求垂足为 D PC 是O O 的切线； (2)求证： PA AD PC CD ； 13 .如图，AB 为O O 的直径，P 是 BA 延长线上一点， CG 是O O 的弦Z PCA= Z ABC, 过点 A 作 AE/ PC 交O O 于点 E,交 CD 于点 F,连接 BE, 若 sinZ P= 3 , 5 CF= 5, 求 BE 的 【答案】(1)见解析；(2) BE=

51、12. 【解析】 【分析】 (1) 连接 0C,由 PC 切O O 于点 C,得到 0C 丄 PC,于是得到/ PCA+/ OCA=90，由 AB 为 O O 的直径，得到 / ABC+Z OAC=90 , 由于 OC=OA 证得/ OCA=Z OAC,于是得到结论； (2) 由 AE/ PC,得到Z PCA=Z CAF 根据垂径定理得到弧 AC=M AG,于是得到 Z ACF=Z ABC,由于Z PCA=Z ABC,推出Z ACF=Z CAF,根据等腰三角形的性质得到 3 CF=AF 在 Rt AFD 中，AF=5, sinZ FAD=，求得 FD=3, AD=4, CD=8,在 Rt OC

52、D 中， 5 设 OC=r,根据勾股定理得到方程 r2= (r-4) 2+82，解得 r=10，得到 AB=2r=20，由于 AB 为 3 BE 3 OO 的直径，得到 Z AEB=90 /在 RtA ABE 中，由 sinZ EAD=，得到 =，于是求得 5 AB 5 结论. 【详解】 (1)证明：连接 OC, PC 切O O 于点 C, OC 丄 PC, Z PCO=90 , Z PCA+Z OCA=90 , AB 为O O 的直径， Z ACB=90 , Z ABC+Z OAC=90 , / OC=OA, Z OCA=Z OAC, Z PCA=Z ABC; (2) 解：/ AE/ PC,

53、 Z PCA=Z CAF, / AB 丄 CG, 弧 AC=M AG, Z ACF=Z ABC, / Z PCA=Z ABC, Z ACF=Z CAF, CF=AF, CF=5, AF=5, / AE/ PC, / FAD=Z P, / 3 / sin / P= , 5 sin / FAD=3 在 Rt AFD 中，AF=5, sin/ FAD=, 5 FD=3, AD=4, CD=8, 在 Rt OCD 中，设 OC=r, r2= (r- 4) 2+82 , r=10 , AB=2r=20, / AB 为O O 的直径， / AEB=90 :在 RtA ABE 中， 3 BE 3 / sin

54、 / EAD= , 5 AB 5 / AB=20, BE=12. 【点睛】 本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接 OC 构造直角三角形. 14. 已知：如图，直线 y=- x+ 12 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 点，将 AOB 折叠，使 A 点 恰好落在0B 的中点 C 处，折痕为 DE. （1）求 AE 的长及 sin / BEC 的值; 求 CDE 的面积. I答案】（1），s BEC=5 ；（ 2）75 【解析】 【分析】 (1) 如图，作 CF 丄 BE 于 F 点，由函数解析式可得点 B,点 A 坐标，继而可得 / A=Z B=45 ；

55、再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得 0C=BC=6 CF=BF=3 2 ， 设 AE=CE=x 则 EF=AB-BF-AE=1 可2-3 J2-X=9J2-X,在 RtACEF 中，禾 U 用勾股定理求出 x 的值即可求得答案； (2) 如图，过点 E 作 EM 丄 0A 于点 M,根据三角形面积公式则可得 SACDE=SAED= ADX AE 设 AD=y,贝 CD=y, 0D=12-y,在 RtA OCD 中，利用勾股定理求 4 出 y,继而可求得答案. 【详解】 (1)如图，作 CF 丄 BE 于 F 点， 点 A (12, 0), / A=Z B=45 , 0C=BC=6,

56、CF=BF=3 2 , 设 AE=CE=X 则 EF=AB-BF-AE=12 2 -3,2 -X= 9 2 -x, 在 RtA CEF 中, CE?=CF?+EF?,即 X2= (9 . 2 -X) 2+ (3 2)2, 解得：X=5 . 2 , CF 3 故可得 sin/ BEC= , AE=5 2 ； CE 5 (2)如图，过点 E 作 EM 丄 OA 于点 M , yf :汇0 ii i 42 则 SAC* AED= 2AD?EM= 2 心 AE誼 EAM= 2 AD?AEX sin45 4=心 AE 设 AD=y,贝U CD=y, OD=12-y, 在 RtA OCD 中，OC2+OD2=CD2, 即卩 62+ (12-y) 2=y2, 15 15 解得：y=，即AD=-, 2 2 故 CDE=