新北师大九年级数学下册第一章《直角三角形边角关系》

1、新北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系一选择题（共10小题）1已知A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A0A30°B30°A45°C45°A60°D60°A90°2在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）ABCD23如图，在RtABC中，BAC=90°，ADBC于点D，则下列结论不正确的是（）ABCD4在RtABC中，C=90°，sinA=，则cosA的值等于（）ABCD5如图，在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，则BC的长是（）AB4C8

2、D46如图，在RtABC中，B=90°，A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则EAD的余弦值是（）ABCD 第2题 第3题 第5题 第6题 第7题7如图，ABC中AB=AC=4，C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（）ABCD8在RtABC中，C=90°，则下列式子定成立的是（）AsinA=sinBBcosA=cosBCtanA=tanBDsinA=cosB9如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30&#

3、176;，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A8（）mB8（）mC16（）mD16（）m10如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A1小时B小时C2小时D小时二填空题（共6小题）11求值：sin60°tan30°= 12已知tan=3，则=13在RtABC中，C=90°，cosA=，则tan

4、A=14如图，在直角三角形ABC中，C=90°，AC=5，AB=10，则A=度15一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时16如图，在高楼AB前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得楼顶A的仰角为60°，则该高楼AB的高度为米 第14题 第15题 第16题三解答题（共9小题）17计算：sin45°+6tan30°2cos30° 18计算：19在RtABC中，C=90°，若，求cosA，si

5、nB，cosB20在ABC中，已知C=90°，sinA+sinB=，求sinAsinB的值21如图，在ABC中，ACB=90°，D为AC上一点，DEAB于点E，AC=12，BC=5（1）求cosADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长22如图，平地上一个建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度（取1.732，精确到1m）23如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长； （2）求cosABE

6、的值24如图，有一段斜坡BC长为30米，坡角CBD=30°，为方便车辆通行，现准备把坡角降为CAD=15°（1）求坡高CD；（2）求tan75°的值（结果保留根号）25如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：）答案一选择题（共10小题）1（2016雅安校级自主招生）已知A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A0A30°B30°A45°C45°A

7、60°D60°A90°【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【分析】根据正切函数的增减性，可得答案【解答】解：1，由正切函数随锐角的增大而增大，得tan30°tanAtan45°，即30°A45°，故选：B【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键2（2016东方校级模拟）在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）ABCD2【考点】锐角三角函数的定义菁优网版权所有【分析】此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可【解答】解：由图可得，tan=2÷1=2故选D【点评】

8、本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键3（2016乐山）如图，在RtABC中，BAC=90°，ADBC于点D，则下列结论不正确的是（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义菁优网版权所有【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】解：在RtABC中，BAC=90°，sinB=，ADBC，sinB=，sinB=sinDAC=，综上，只有C不正确故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义4（2016秋南岗区校级期中）在RtABC中，C=90°，sinA=，则cosA的值等于（）ABCD【考点】同角三角函数

9、的关系菁优网版权所有【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可【解答】解：sinA=sinA=，可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，cosA=，故选B【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键5（2016沈阳）如图，在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，则BC的长是（）AB4C8D4【考点】解直角三角形菁优网版权所有【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可【解答】解：在RtABC中，C=90°，B=30°，AB=8，cosB=，即

10、cos30°=，BC=8×=4；故选：D【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握6（2016绍兴）如图，在RtABC中，B=90°，A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则EAD的余弦值是（）ABCD【考点】解直角三角形菁优网版权所有【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EMAD于M，由等腰三角形的性质得出AM=A

11、D=x，在RtAEM中，由三角函数的定义即可得出结果【解答】解：如图所示：设BC=x，在RtABC中，B=90°，A=30°，AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EMAD于M，则AM=AD=x，在RtAEM中，cosEAD=；故选：B【点评】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键7（2016绵阳）如图，ABC中AB=AC=4，C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（）ABCD【考点】解直角三角形菁

12、优网版权所有【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出EBC=36°，BEC=72°，AE=BE=BC再证明BCEABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值【解答】解：ABC中，AB=AC=4，C=72°，ABC=C=72°，A=36°，D是AB中点，DEAB，AE=BE，ABE=A=36°，EBC=ABCABE=36°，BEC=180°EBCC=72°，BEC=C=72°，BE=BC，AE=BE=BC设AE=x，则BE=

13、BC=x，EC=4x在BCE与ABC中，BCEABC，=，即=，解得x=2±2（负值舍去），AE=2+2在ADE中，ADE=90°，cosA=故选C【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中证明BCEABC是解题的关键8（2016春凉州区校级月考）在RtABC中，C=90°，则下列式子定成立的是（）AsinA=sinBBcosA=cosBCtanA=tanBDsinA=cosB【考点】互余两角三角函数的关系菁优网版权所有【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答【解答】解：

14、C=90°，A+B=90°，sinA=cosB故选D【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键9（2016南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A8（）mB8（）mC16（）mD16（）m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有【分析】设MN=xm，由题意可知BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在RtAMN中，利用30°角

15、的正切列式求出x的值【解答】解：设MN=xm，在RtBMN中，MBN=45°，BN=MN=x，在RtAMN中，tanMAN=，tan30°=，解得：x=8（+1），则建筑物MN的高度等于8（+1）m；故选A【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长10（2016开平区二模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东

16、60°方向若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A1小时B小时C2小时D小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题菁优网版权所有【专题】应用题【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D由题易知：DAB=30°，DCB=60°，则CBD=CBA=30°，得AC=BC由此可在RtCBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间【解答】解：作BDAC于D，如下图所示：易知：DAB=30°，DCB=60°，则CBD=CBA=30°AC=BC，轮船以40海里/时的速度在海面上航行，AC=B

17、C=2×40=80海里，CD=BC=40海里故该船需要继续航行的时间为40÷40=1小时故选A【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，注意掌握“化斜为直”是解三角形的常规思路，需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°60°）二填空题（共6小题）11（2016闸北区一模）求值：sin60°tan30°=【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据sin60°=，tan30°=得到原式=，然后通分合并即可【解答】解：原式=故答案为【点评】本题考查了特殊角的三角函数值

18、：sin60°=，tan30°=也考查了二次根式的运算12（2016秋成都校级月考）已知tan=3，则=【考点】同角三角函数的关系菁优网版权所有【分析】首先将分子分母同除以cos，原始可变形为：，继而求得答案【解答】解：tan=3，=故答案为：【点评】此题考查了三角函数之间的关系注意tan=是关键13（2015西藏一模）在RtABC中，C=90°，cosA=，则tanA=【考点】同角三角函数的关系菁优网版权所有【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1；同一个角的正切等于它的正弦除以它的余弦【解答】解：因为在ABC中，C=90&#

19、176;，cosA=，所以sinA=所以tanA=2【点评】解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanxcotx=1；=tanA；=cotA14（2016厦门校级一模）如图，在直角三角形ABC中，C=90°，AC=5，AB=10，则A=30度【考点】特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【分析】根据条件求出，即可得到cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出A的度数【解答】解：C=90°，AC=5，AB=10，cosA=，A=30°，故答案为：30°【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，

20、以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA15（2016大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题菁优网版权所有【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQBC，BAQ=60°，CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西

21、45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，BAQ=60°，B=90°60°=30°，AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，CAQ=45°，CQ=AQ=40，BC=40+40=3x，解得：x=即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键16（2016滨州一模）如图，在高楼AB前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60

22、米到C点，又测得楼顶A的仰角为60°，则该高楼AB的高度为30米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有【专题】应用题；推理填空题【分析】设AB的长度为x，在RtABC中利用三角函数可以用x表示BC的长度，同理也可以表示BD的长度，而CD=BDBC，然后根据已知条件即可求出x，也就求出了相等AB的长度【解答】解：设AB的长度为x，在RtABC中，tanACB=tan60°=，BC=，同理在RtABD中，BD=x，而CD=BDBC=60，60=x，x=30，即AB=30米故答案为：30【点评】此题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角

23、的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题三解答题（共9小题）17（2016浦东新区一模）计算：sin45°+6tan30°2cos30°【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：原式=+6×2×=+1【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值18（2016金华校级模拟）计算：【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂菁优网版权所有【专题】存在型【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算

24、的法则进行计算即可【解答】解：原式=2+24×1，=2+221，=1故答案为：1【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算19（2013春修水县校级月考）在RtABC中，C=90°，若，求cosA，sinB，cosB【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系菁优网版权所有【分析】先根据sin2+cos2=1计算出cosA=，然后根据互余两角三角函数的关系求解【解答】解：C=90°，sinA=，cosA=，A+B=90°，sinB=

25、cosA=，cosB=sinA=【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，A+B=90°时，sinA=cosB或sinB=cosA也考查了同角三角形函数的关系20（2016春陕西校级期中）在ABC中，已知C=90°，sinA+sinB=，求sinAsinB的值【考点】互余两角三角函数的关系菁优网版权所有【分析】直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案【解答】解：sinA+sinB=，（sinA+sinB）2=，sin2A+sin2B+2sinAsinB=，sinB=cosA，sin2A+cos2A+2sinAsinB=，2sinAsinB=，（si

26、nAsinB）2=1=，sinAsinB=±【点评】此题主要考查了完全平方公式以及互余两角的关系，正确应用完全平方公式是解题关键21（2016仪征市一模）如图，在ABC中，ACB=90°，D为AC上一点，DEAB于点E，AC=12，BC=5（1）求cosADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长【考点】解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）根据三角形的内角和得到A+ADE=90°，A+B=90°，根据余角的性质得到ADE=B，根据勾股定理得到AB=13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC=AD+CD=12，列方程

27、即可得到结论【解答】解：（1）DEAB，DEA=90°，A+ADE=90°，ACB=90°，A+B=90°，ADE=B，在RtABC中，AC=12，BC=5，AB=13，；（2）由（1）得，设AD为x，则，AC=AD+CD=12，解得，【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键22（2016邳州市一模）如图，平地上一个建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度（取1.732，精确到1m）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权

28、所有【分析】先过A点作AECD于E点，根据题意得出四边形ABDE为矩形，再根据特殊角的三角函数值求出DE，然后根据等腰直角三角形的特点求出CE的值，最后根据CD=CE+ED，即可得出答案【解答】解：过A点作AECD于E点，由题意得，四边形ABDE为矩形，DAE=30°，BD=60m，AE=BD=60m，tan30°=，DE=tan30°AE=60=20m，CAE=45°，ACE=45°，AE=EC，CE=60m，CD=CE+ED=60+20=60+20×1.73295（m），铁塔的高度是95米【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借

29、助仰角构造直角三角形并解直角三角形23（2016江西模拟）如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长；（2）求cosABE的值【考点】解直角三角形；勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA=，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，于是可计算出BE=，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解【解答】解：（1）在ABC中，ACB=90°，sinA=，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD=AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC=6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC=SABC，即CDBE=ACBC，BE=，在RtBDE中，cosDBE=，即cosABE的值为【点评】本题考查