概率论试题及答案

1、试卷一、填空（每小题2分，共10分）1 .设乩& C是三个随机事件，则A & C至少发生两个可表示为02 .掷一颗骰子，工表示“出现奇数点” ，B表示“点数不大于 3"，则乂-F表示3 .已知互斥的两个事件乩3满足尸（=小网乂U3",则网目）=?4 .设乩3为两个随机事件，F=Q5 PA-B） = Q2则户网=5 .设A & e是三个随机事件,F(= F(B)= F(匚)=：P(AC = 1 pAB)= 0尸（2C）= °,则儿B,。至少发生一个的概率为 c、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小

2、题2分，共20分）1.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球,记乂 = ”取到2只白球”，则力二（）。（A取到2只红球(B)取到1只白球（。没有取到白球(D)至少取到1只红球2.对掷一枚硬币的试验，“出现正面”称为（(B)必然事件(D)样本空间3.设A、B为随机事件，则(月5+碣(工+画=()。4.(A) A(C) ABB) BD)设工和3是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是(A)卫与3互斥(B)上与3不互斥9 )一)1，:(D)一,):5.设金，B为两随机事件，且B匚月，则下列式子正确的是(B)；"6.、/1则尸3UC)=()。2(丹-；(B)19(Q 二二(D

3、)127(A随机事件(C)不可能事件7 .设儿3, C是三个随机事件，且有从二8, “口尸=。9尸修呵=。£ ,则 尸(-加()。(A) 0.1(B) 0.6(C) 0.8(D) 0.78 .进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为()。(A) p2(1 - p)3(B) 4 p (1 - p)3(C) 5 p 2(1 - p)3(D) 4 p 2(1 p)39 .设A、B为两随机事件，且则下列式子正确的是()。(A)'； 一；：)(B)口9(D)门,由1川10 .设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则()。(A) P(A B)

4、= P ( C)(B) P ( A) + P ( B) P ( C) < 1(C) P (A) + P ( B) P ( C) > 1( D) P ( A) + P ( B) < P ( C)三、计算与应用题(每小题 8分，共64分)1.袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个求取到的两个球颜色不同的概率。2.10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3 . 一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4 . 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5 .加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、

5、二、三道工序的次品率分别为0.2, 0.1, 0.1 ,并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6 .已知某品的合格率为0.95,而合格品中的一级品率为0.65。求该产品的一级品率。7 . 一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取 10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过 验收，求其中确实没有次品的概率。8 .某厂的产品，'0%按甲工艺加工，20%按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取 5件来检验,求其中最多有一件次品的概率。四、证明题(

6、共6分)设巴用二口，F=5b埼大于叭证明试卷'、填空1. ABJSCl)AC 或 ABCJABCJABCVSABC2. 出现的点数恰为53.二月与E互斥_ F(XJ( =尸(<)+网町则尸二叫四一尸=一户4. 0.6故户 门一145. 二 4:43,。至少发生一个，即为鼻UBUC又由ABC c AB得产（加G = 0故一 一一 ,尸一 一十 一、单项选择1 .二2 . A3 . A利用集合的运算性质可得.4 .二,月与丑互斥故'：，：丁,：凹5 .5故，二6.二7乩反，相互独立工二 且 LJC)= W9. B10. B故 P (A + P ( B) - P ( C) &l

7、t; 1 三、计算与应用题1 .解:设 且表示“取到的两球颜色不同”,则知二此之而样本点总数二 尸今二警吟2 .解:设W表示“能把门锁打开”，则%=G0+C;,而内二片口 用一盟-F 一一133 .解：设乂表示“有4个人的生日在同一月份”，则因二*犷而样本点总数为，.二,P=区=$4? P = 0 0073故 用 冠4 .解：设工表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件N= "没有取到次品”则 工包含的样本点数为 与二C；。而样本点总数为 "总- d气局=1-F1用=1 -f-= 0.2255故圆5 .解：设 二"任取一个零件为次品”由题意要求尸（却，但较

8、复杂，考虑逆事件工二”任取一个零件为正品”，工表示通过三道工序都合格，产(局=(1-0.2) (1-0.1)(1 -0.1) = 0.648于是：.I1r.； ；,6 .解：设工表示“产品是一极品”，3表示“产品是合格品”显然duB ,则从3二月于是：'即该产品的一级品率为口即57 .解:=0, 1, 2)d产(4)二工设4= “箱中有“牛次品”，由题设，有 3 又设Z= "该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是个：8 .解：依题意，该厂产品的合格率为，'' 1 ： 1 ：''1 '1 1- 1 ' ：.于是，次品率为1 -

9、二 - 设 工表示“有放回取5件，最多取到一件次品”四、证明题证明P(AS)I 1 J产(F)贝乩卜49伊”方? ?由概率的性质知丹 则->P(AB2.a 4-d-l/d故 -试卷一、填空（每小题2分，共10分）1.若随机变量£的概率分布为产了二为二不（上二,2, %2.设随机变量丫服从万伍尸），且3.设随机变量湖从3 ”则中可二4.设随机变量工服从W）,则叱二5.若随机变量X的概率分布为0、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1.设耳与西分别是两个随机变量的分布函数，为使k(工)=呜一鸣是某一随机变量的分布函数，在

10、下列给定的各组数值中应取(A)二 二(B)二二一一2(Qg一(D)2.设随机变量区的概率密度为PHA其匕，则上=()。(B)(A) 2(D)(C) ；丁3 .下列函数为随机变量分布密度的是(,、£111 A < 0 < X < 次3 =，2(A)I.0 '其它fsinx > Q <xp(x) -i,(C) 口 *其匕4 .下列函数为随机变量分布密度的是(P=不=痉口(A). 1 _PK)= -r- -g 2(C)'"5 .设随机变量笈的概率密度为9(工)，(A '：；(C)6 .设X服从二项分布 弧9),则(A-1-(C

11、)一7 .设XOM。，,则 mW)。一3杆* 、.£111 工，0 < A < -户3=，2(B)I.口，其它fsin , 0< 2/r(D)1-°，其巴)。用3 = J=丁伊西(B) ，1 双犬)=不产 "(D)人¥=-x,则/的概率密度为()(B)"：(D)。(B)二二 1" 一 -(D)1r=()。(A)二(B):(Q-(D)-1 -双用营 4 (-M << +M)8 .设随机变量X的分布密度为2版,则E比二()。(A) 2(B)1(C) 1/2(D)49 .对随机变量笈来说，如果£区羊口

12、田，则可断定才不服从()。(A)二项分布(B)指数分布(C)正态分布(D)泊松分布10 .设X为服从正态分布"(-2)的随机变量，则用2X-1)=( ) o(A) 9(B) 6(C) 4(D) -3三、计算与应用题(每小题 8分，共64分)1 .盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个， 直到取到新球为止。求抽取次数£的概率分布。2 .车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3 .某种电子元

13、件的寿命£是随机变量，其概率密度为求（1）常数D ;（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4 .某种电池的寿命（单位：小时） 是一-个随机变量工，且35）。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2）出，使电池寿命在300*"）内的概率不小于0.9。5 .设随机变量2。求F =图"概率密度"式M。6 .若随机变量X服从泊松分布，即"尸,且知艮产=2。求尸史训。尸二 1 日山（-CO < X < +D0）7 .设随机变量X的概率密度为208 . 一汽车沿一街道行使，需要通过三个

14、均没有红绿灯信号灯的路口， 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 左表 示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1） £的概率分布；心11+工。四、证明题（共6分）设随机变量了服从参数为2的指数分布。证明：P = 皿在区间上，服从均匀分布。试卷一、填空1.6?尸.一无） =1由概率分布的性质有 上-12 3,+ = 1即 1s t 二，得匚二6。2. .；:伍p),则巴八加比巴1r广回0,2)3. 0.514. 二5. 0.25由题设，可设/ 三 土】三即010.50.5则(；"：一,】)一、单项选择1.( ：j由分布函数的性

15、质，知I 二：J ："'，： "：则疝-& = 1,经验证只有e满足，.选c2.（匚）由概率密度的性质,JTJ "耳）办=1 => A cos 1 W A = 13.（二）由概率密度的性质,P （力办=1= " 31口无嬴二一匚Q5弄二14.（3）8=中公二23b值1/42工+1>=1由密度函数的性质,J br “T5.（二）" 丁 二 一"是单减函数，其反函数为 二式二中，求导数得/（木-1由公式，一T的密度为网”式刈£（丁）1”（-力6 .（二）由已知x服从二项分布与用M ,则比二师°

16、;”）又由方差的性质知，二7 .（ £）于是EXX-EX7-2EX = DX-Y（EX-2EXA1工)- 13 2,1 (-CO CMC +00)8 .( A)由正态分布密度的定义，有 心口9 .( D).如果斯wQE时，只能选择泊松分布.10 .( D): X为服从正态分布N (-1,2), EX = -1E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1 .解：设尤为抽取的次数只有3个旧球，所以工的可能取值为：入 工3, 4由古典概型，有12342.解:设 X表示同一时 刻需用小吊车 的人数，则是一随机 变量，由题意有F无二必A4,于是此二（内+l）p= 7 X = 1口/旷_

17、87;1（i）x的最可能值为l 5，即概率7才二町达到最大的先（2） +" .二:一二3 .解：(1)r-H» ,、，I尸（K）心=1=>由F,4W C5八二1F K 可得 C=1(X（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用 上表示“线路正常工作”，则产（今二三8274 .解:5.解:PX> 250 = 1 -尸250 = 1-(D '=中（1一428）（查正态分布表）25。产(300-q <工<300 +4二(2)由题意 "'U0.9 =0.952查表得口 = 5

18、7.75 0y=1式对应的函数y三一*Px 3 =，又由题设知故由公式知:6.解:33一中'3UUf-<35 j单调增加，其反函数为k二虱回二二0y£,求导数得l<x<2其它丹 3）二取g（M】目（Ml，12y0,其它jjiX服从泊松分布尸,则尸小丁 而三H由题设知EX2 = 2即'J ；一 一可得三二'3 IP(X>4)= 1-P(X <4) = 1-yF-1故X H311£一/ =0驹查泊松分布表得，:一7 .解：EX = F ¥0也=1|"瓶中 d# = Q由数学期望的定义知，, ,'-

19、£X?二尸(力dx =/思邛足=j4* ?0fdX= 2例 DX =/7时二？ 故、，8 .解：(1)发的可能取值为2 L 2, 3且由题意，可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明:由已知胃朋从8段分布总则 又由 F=lr尔 得 卜7T 连续，单调，存在反函数1 . t /x= -ln 1 -v)" T7；2 I 且 小-尸)当心口时，曲（1-/卜口则 故"Ji 二"：|二| 即F服从酌均匀分布"他试卷三、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）1.设二维随机变量（£ 门的联合分布律为,

20、则二=2.设随机变量左和F相互独立，其概率分布分别为,3.若随机变量笈与F相互独立，且不服从NG外，厂服从"信，则N+产服从分布.4.已知厚与y相互独立同分布，且5.设随机变量笈的数学期望为 四二笈、方差0K二？,则由切比雪夫不等式有.二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）式&力 1.若二维随机变量（的产）的联合概率密度为（"#）（1+力卜，° , 了0）,则系数4二（）.2（A（B）;2 （"（D）刀2 .设两个相互独立的随机变量 N和y分别服从正态分布M（0' 1）和N

21、（L 1）,则下列结论正确的是（）.(AFjr+r <o)=(B)F(星+YM1)=_/+伊-19p(y)=白3 .设随机向量(X , Y)的联合分布密度为2笈 ，则().(A) ( X , Y )服从指数分布(B) X与Y不独立(C) X与 Y相互独立(D) cov( X , Y ) W04 .设随机变量了与¥相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从 均匀分布的有().(A)(B)(C) 口 ； i(D) X-Fp(X = -)= P(Y = -_)= L5 .设随机变量X与随机变量F相互独立且同分布，且VPCX = 11= Ti = 1国 )2 ,则下列

22、各式中成立的是().汽工二今二、户(工+F=0)二:打仃二1J二:(A)一(B)一 ，一(C)(D)6.设随机变量的期望与方差都存在，则下列各式中成立的是().zax的片+丫)=幽+放心趴XY = EX打(A)(B)(Q ：:(D)“二二二丁7.若随机变量F是左的线性函数,/=谭+占(八0)且随机变量左存在数学期望与方差，则工与F的相关系数2”()(A)2(B) .J (C) J(D)8 .设(工P)是二维随机变量，则随机变量& =工+与，=不相关的充要条件是().(A)二二二三出(C) T (一：(D)二-9 .设苍 与，工是首个相互独立同分布的随机变量，豆工二廿,网 =40 = L

23、2(C)(D)10 .设苟，凡，'，£/'',为独立同分布随机变量序列，且 X （ i = 1,2,）服从参数为入1 工小（工）= r- dt的指数分布，正态分布N （ 0,1）的密度函数为7出 ，则（）.三、计算与应用题（每小题 8分，共64分）1 .将2个球随机地放入3个盒子，设工表示第一个盒子内放入的球数，y表示有球的盒 子个数.求二维随机变量（石）的联合概率分布.2 .设二维随机变量（名町的联合概率密度为（1）确定工的值;求尸小星至一。工人2.3 .设（无F）的联合密度为（1）求边缘密度%。）和小；（2）判断工与F是否相互独立.4 .设（无F）的联合密

24、度为求 丫的概率密度.5 .设X服从均匀分布52 4, F服从才殿分柏且N与F相互独立.求（1）（£ 了）的联合概率密度；第 +；唳-町6 .设（凡 F）的联合概率密度为求匚阿£ ）及"%7 .对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4,标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8 .抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于 10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为 10%勺这批产品不被接受的概率达 0.9.四、证明题（共6分）设随机变量度的数学期望存在，证明随机变量 孟与任一常数）的协方差

25、是零.试卷三参考解答、填空a ：= * b = 1.由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得12 .二3 <1.相互独立的正态变量之和仍服从正态分布 "（区+”炉w+团且第W+中也一=1 + 2D（XY）= DX¥DY = 9+16 = 257 . i4 .-三<15 . 一、单项选择1.（ B）巧:> *助=白看24 X - X= 1= y即 _ _二-；选择(B).2 .( B)由题设可知，一 一；,：故将X十F标准化得F(£+Y1；选择(B).3 .( C)选择(C).4 . (C)随机变量与/相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，则选择(C).5 .( A)选择(A).6 . (A)V由期望的性质知选择（A）.7 .（ D）选择（D）.8 .（ B）与二工-y不相关的充要条件是阳何,n=°即第任卜矶X”困人了）=。则 7"：-；一9 .( C)选择（C