(山东专用)2020年高考数学一轮复习专题12导数的概念及其运算(含解析)

1、专题12导数概念及其运算、【知识精讲】1.函数y = f(x)在x= X0处的导数14(1)定义：称函数y=f(x)在x=X0处的瞬时变化率lxm0f (x0+ Ax) f (xo)A x叽总为函数y=f(x)在x=x处的导数，记作(功或y一，即(xo)=则当=11m0f (xo+ Ax) f (xo)A x(2)几何意义：函数f (x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线y= f (x)上点(xo, f (xo)处的切线的斜率.相应地,切线方程为 y yo= f，( xo)( x xo).2 .函数y = f(x)的导函数如果函数y = f (x)在开区间(a, b)内的每一点处都

2、有导数，其导数值在(a, b)内构成一个新函数，函数f (x)f (x+ A x) f (x),、，一 ,=lim 称为函数 y=f (x)在开区间内的导函数 .x o x3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x) = c( c为常数)f ( x) = 0, 、 0. 一 一*、 f ( x) = x ( a CQ)f 7 ( x) = a x tf(x)=sin xf (x) = cos xf(x)= cos xf ( x) = sin_ xf (x) = exf(x) =exf (x) =ax(ao)(x) = axinaf (x) = In x,1f (x)= xf(x)

3、= log ax(ao, aw1),1f(x)=-xln a4 .导数的运算法则若f (x), g ( x)存在，则有: (1) f(x)g(x) = f (x) 土 g (x)；f (x)g (x)(2) f (x) g(x)，= f (x) g(x) +f (x)g ( x)；(g(x)Rf ( x) g (x) f (x) g (x)g (x) 25 .复合函数的导数复合函数y = f(g(x)的导数和函数y=f(u), u=g(x)的导数间的关系为 净=y山.微点提醒1 .f (X0)代表函数f(x)在X=X0处的导数值；(f(X0)是函数值f(X0)的导数，且(f(X0) = 0.2

4、 ，一(X)3 . f(X)- f (X) 2.4 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.5 .函数y = f(X)的导数f (x)反映了函数 f(X)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 |f (x)|反映了变化的快慢，|f (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、【典例精练】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数例1.分别求下列函数的导数：(1) y = exln x；(2) y = x X2 + 1+J ； X X f(x)=ln J1 + 2x.【解析】(1) y =(ex) ln x+ ex(ln x) = ex

5、ln x + e=eXln x + -.xx(2)因为 y= X3+1 + L,所以 y =3x24 xx 1(3)因为 y= In 1 + 2x = ln (1 + 2x),1 + 2x-所以y 角度2抽象函数的导数计算例2. (2019 福州联考)已知函数f(x)的导函数是f (x),且满足f(x) = 2xf (1) + ln 1,则f(1)=()xA. eB.2C. 2D.e【答案】B【解析】 由已知得 f (x) =2f (1) 1,令 x=1 得 f (1) = 2f (1) 1,解得 f (1) = 1,则 f (1)= x2f (1) = 2.【解法小结】 1.求函数的导数要准

6、确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2 .复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元3 .抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解考点二导数的几何意义角度1求切线方程例3. (2018 全国I卷)设函数f (x) =x3+( a1) x2+ax.若f (x)为奇函数，则曲线 y=f(x)在点(0 , 0)处的切线方程为()A. y= - 2xB. y = xC.y=2xD.y = x【答案】D【解析】因为函数f (x) = x3+(a 1)x2+ax为奇函数，所以a 1 = 0,则a=1,所以f(x) = x3 + x,所以f (x) =3x2+

7、1,所以f (0) = 1,所以曲线y = f(x)在点(0, 0)处的切线方程为y = x.角度2求切点坐标例4.)设曲线y = ex在点(0, 1)处的切线与曲线y = 1(x0)上点P处的切线垂直，则 P的坐标为.x【答案】(1,1)【解析】.函数 y=ex的导函数为y = ex,曲线y = ex在点(0 , 1)处的切线的斜率 k1 = e=1.设P(xc, yc)( x。)，.函数y=-的导函数为y =- L,，曲线y = 1(x0)在点P处的切线的斜率k2= 工，xxxxc由题意知 k1k2= 1,即 1。 -2=-1,解得 x0 = 1,又 xq0,x0= 1.xq1又.点P在曲

8、线y=x(x。)上，y=1,故点P的坐标为(1 , 1).角度3求参数的值或取值范围例5. (2018 全国n卷)曲线y=2ln( x+1)在点(0 , 0)处的切线方程为 .【答案】y= 2x.【解析】由题意得 V, = 777.在点(0，0)处切线斜率k=y |x=c = 2.，曲线y=2ln( x+1)在点(0 , 0)处的 x I切线方程为 y - 0 = 2(x- 0),即y=2x.例6.(2016山东高考)若函数y f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y f(x)具有T性质.下列函数中具有 T性质的是()(A) y sin x(B) y In x

9、(C) y ex(D) y x3【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为 负一.当y sin x时，y cos x ,有cos0 cos 1,所以在函数y sin x图象存在两点x 0, x使条件成立，故A正确；函数y 1nx,y ex,y x3的导数值均非负，不符合题意，故选 A【解法小结】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y = f(x)在点P(x。，f(x。)处的切线方程是 y f (xo) =f ( xo)( x xo)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依 据已知点在切线上求解.2.

10、处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上【思维升华】1 .对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导2 .求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点 .3 .处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线

11、、切点的三个关系列方程求解【易错注意点】1 .求导常见易错点：公式(xn) =nxnT与(ax) =axln a相互混淆；公式中“ + ” “”号记混，如出 现如下错误：f J： =f( x，g (x，： ；x g一区二,(cos x) = sin x;复合函数求导分不清g (x)g (x)内、外层函数.2 .求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题 三、【名校新题】1.(2018 日照质检)已知 f(x)=xln x,若 f (x。)=2,则 x。等于()21n 2A.eB.e0. 2-D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0,2. (2019 郑州月考)已知曲线+

12、 ), f ( x) = ln x+1,由 f2Xy=-3ln x的一条切线的斜率为4(X0)= 2,即 In xo+ 1=2,解得 xo= e.1 -2,则切点的横坐标为()A.3B.2C.11 D.2【解析】设切点的横坐标为X0( X00),2:曲线y = 3ln x的一条切线的斜率为 412,x 3 X0 31-y =2 ，即万一XT2，解得X0=3或X0=2(舍去，不符合题意),即切点的横坐标为3.3. (2019开封市高三定位考试)曲线y=?+ 1在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积是(A. 2?1?B.?2C.2?2D.【解析】由y=?+ 1,彳#?/= ?,.曲线y=?+

13、1在X=1处的切线斜率k=e,所以曲线y=?+ 1在x=1处的切线方程是y-(e+1)=e(x-1), 令x=0,则y=1,令y=0,得x=- ?,所以所求围成 的三角形面积为1X1 X?= 2?.故选A4.(2019合肥一模)函数f(x)=x g(x)的图象在点x= 2处的切线方程是y=X1,则g(2) +g (2)=A.7B.4C.0D. 4- f(x) =x-g(x) , f(x) =1 g (x),又由题意知 f(2) = 3,f (2) =- 1,g(2) +g (2)=2 f (2) + 1 f (2) = 7.5.已知e为自然对数的底数，曲线y=aeX+x在点(1 , ae+1)

14、处的切线与直线 2exy1 = 0平行，则实数a=(e- 1A.e2e-1B.ee- 1C.-2e-2e- 1D. 2e. y =aeX+1,在点(1 , ae+1)处的切线的斜率为 y |x=1=ae+1,又切线与直线 2exy1=0 平行，ae+1 = 2e,解得 a=2e- 1e6. (2019 福建五校第二次联考)已知函数 f(?) = ?2- ?+ 1),?0,则实?2 + 3?, ? 0数m的取值范围是()A.(- 8,1b.2 2,1?C.0,3D.飞,+8)【答案】B【解析】令g(?) = ?2+ 3?,? 0,贝U?”?)= 2?+ 3, .?/(0) = 3,所以函数g (

15、?)在原点处的切线方程为y=3x,故函数f (?)的图像在原点处的切线方程为y=3x,作出f (?)的图像以及切线y=3x,再让y=(?+ 2)?绕原点旋转，则可得0 m+ 2 3,解得-2 w mW 1,故选B7. (2019 广州调研)已知直线y=kx 2与曲线y = xln x相切，则实数k的值为()A.ln 2B.1C.1ln 2D.1+ln 2【答案】D【解析】由 y=xln x 得 v = ln x+1,设切点为(x,y),则 k= lnxo+1, =切点(x。，yo)(x。)既在曲线 y= xln x 上又在直线 y=kx2 上， . kxo2= xMn xq,. k = ln

16、x0+-,则 In x0+-y0= xoln xo,x。x。=In xo+ 1, - xo= 2,k= In 2 +1.18. (2018 深圳一模)设函数f(x)=x + +b,右曲线y=f(x)在点(a, f (a)处的切线经过坐标原点，则 ab x=()A.1B.0C. 1D.-2【答案】D【解析】由题意可得，f(a) = a+)+b, fz ( x) = 1 -2,所以f (a) = 14，故切线方程是y- a- baxaa=1 (xa),将(0 , 0)代入得a-1-b= 1 ( a),故 b= -2,故 ab=- 2. aaaa9. (2019荆州市八校联考).已知函数h(x) a

17、lnx (a 1)x2 1 (a 0)，在函数h(x)图象上任取两点A, B ,若直线 AB的斜率的绝对值都不小于5,则实数a的取值范围是(A (,0)B.2 3.64C.2 3.64)D. a。42(a 1)x a【解析】h (x) 0, h x在0,单调递减，xA(x1, y1), B(x2, y2Hh(x)-h(x2) A 5 设为 x20,则 h(x1) 5x1 w h(x2) 5x2x1 x2设f(x) h(x) 5x,则f(x)在(0,)上单调递减22(a 1)x 5x a,则f (x) 0对x (0,)恒成立x22则 2(a 1)x 5x a 0解之得a&S6或a2又a 0,所以

18、a&26444x 210. (2019济南市二模)已知函数f(x) | ax b|,若对任意的实数 a,b,总存在x0 1,2,使得x 2MxJ.-m成立，则实数 m的取值范围是._ _1【答案】m 0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函 .3 o数.已知函数f (x)=x3-2x2+1在区间D上为凹函数，则 x的取值范围是 .1【答案】-,+33 2一、,21.,【解析】因为f (x) = x 2x + 1,因为 f(x)= 3x-3x,f(x) =6x3,令 f(x)0 ,解得x2,故 x 的取值范围是 2，十8 .15 (2019江西七校 A次联考).(本小题满分12分)已知函数 f (x)