国立新竹师范学院「教育论坛」计画--「数学知识之获得」与「数

1、國立新竹師範學院教育論壇計畫-數學知識之獲得與數學能力之培養時間：中華民國九十二年八月三十日星期六一、主辦單位致歡迎詞曾憲政校長：感謝大家抽空前來參加此盛會，可見大家對於數學教育的關心與熱誠，希望藉由數學界資深的教育家、數學家和第一現場的國小老師的一番討論，能讓我們的數學教育有一番新的氣象。二、議題一：數學知識的獲得與數學能力的培養如何取得平衡點？主持人引言人討論曾憲政校長：我們今天的議題一是要討論數學之是的獲得和數學能力的培養，這兩者是不相容的呢？還是可以相輔相成的？吳鳳技術學院鄭國順教授：我寫了一篇綜論九年一貫數學之學習，在綜論的過程當中就會與議題牽扯到關係。國科會與教育部辦了兩場數學教育

2、對話，第一場中教育部組成數學教育暫行綱要修訂小組，想要聽聽各方的意見；第二場修訂小組完成暫行綱要草案。我把第二場對話整理出以下三個問題：一、很多家長跟老師質疑有多少孩子有能力學習數學？有多少孩子能快樂的學習數學？二、暫行綱要修訂之後，加深加廣的部分立論基礎在哪裡？三、綱要修訂草案中所強調的數學能力是什麼？能讓我們的國民有足夠適應未來社會的能力嗎？要回答第一、二個問題是很難的，所以我們建造一個模型，根據這個模型，我們再把模型的實證做出來，根據實證的研究我們在來講說例如一個國中生應該要學習到什麼程度，必須具備的數學能力到哪裡？在這裡我提出一個粗略的模型：模型的Y軸代表數的學習能力程度，X軸表示該年

3、級學生人數。把該年級教學時數固定的邊際程度下，在正常的模式教學下，學生可達到的最大數學能力是Y，我們將程度最好的學生放在X數線最左邊，依序向右排下來，我們可以確定這個模型是一個遞減函數，我們假設國中畢業程度是Yo，對應這個Yo我們可以找到Xo，Xo乘上Yo所得面積愈大對我們整個國家來講愈好，但是對個別學生不一定，超過Xo部分的學生就是學習落後的學生，如果沒有其他補強教學，他就是被放棄的。教育是要把每一個人都帶起來，但是不是要把每一個人都帶成數學很強，教育是要把每個學生的潛能充分開發，並不是要讓他每一科都很強。Yo定得高，痛苦的學生多，Yo定的低，對很多學生而言他的學習是在空轉，對國家而言是不好

4、的，我們應該可以找到一個Yo使得Xo乘以Yo的面積最大，那個就是我們要的程度。假設我們將課程分成三級Y1、Y2、Y3，Y3是比較好的，Y2是中間的，Y1是比較低的，我們可以看到這三個底下的面積加起來就是我們的目標函數，而且我們可以發現超過X1的才是被放棄的學生，如果國家財力允許的話可以有三個程度，目標函數值就增加很多，這表示教材分級是很有幫助的。對於議題一，我是認為數學能力的培養和數學知識的獲得兩者是不能分開的，好像數學家只重視數學知識的獲得，而數學教育家才會去重視數學能力的培養，希望我的解讀是錯誤的。數學家當然也重視數學能力的培養。我們在修訂暫行綱要的過程中，我們非常強調數學能力的培養，我們

5、所指的數學能力是指演算能力、抽象能力及推論能力，學習應用問題的解決方法我們也重視，只是他的比重比較沒那麼重，學習應用問題的解決方法也是為了培養學生這三種能力。數學教育學家認為我們只注重演算能力、抽象能力及推論能力的培養，我們會這麼看重這三種能力是因為我們認為要培養高等數學思考能力是需要這三種基本能力為工具，具備這三種基本能力之後才有辦法去培養數學能力。林碧貞老師似乎認為我們是要將二十年前學習數學的方法強壓在現在小朋友身上，這是個誤會。數學教育學門召集人洪萬生教授：1.知識的獲得如何強化能力？沒受過數學教育的木匠仍然可以做出一個圓形的窗子來；而一群大學生卻無法判斷天才兒童破解圓周率的報導正確與否

6、。2.數學的量感是很重要的，並不是所有人都可以培養出來的。3.每個學生都需要對每個數學定理絕對精熟嗎？將來又不見得有用，為什麼不將時間拿來學習其他的，不是更好嗎？4.讓直觀實驗性操作與形式化的說理與證明進行對話，兩者之間並不是絕對互斥的，知識的獲得和能力的培養並不是兩個極端，我們一定可以找到一個中間點，這個中間點可以動態的平移。新竹師範學院數學教育學系林碧珍教授：我很喜歡剛剛鄭教授的函數模型，如果可以做一些修改或許會更好，如果我們把學生人數變成聯集，離原點月遠是越低的年級（小學一年級），離原點越進的是越高年級，把國小、國中、高中的點都切出來，這樣是不是會更具體一點？第二張圖的部分，如果我們Y能

7、力可以把他identify，比如說數學能力，年級不同，所需要的數學能力是不是就會不一樣？或者是說經過教育的薰陶，學生達到越高的能力就會越強，如果這樣的話是不是會更具體？這樣的話每一個區塊我們可以找到剛剛鄭校長提到的最大的面積，那我們就可以找到我們教育的目標，這樣是最好的。剛剛鄭校長提到的數學能力和數學知識的部分，我們都同意這兩個是無法截然劃分的，但是我覺得數學知識是比較屬於數學的object，比如說數學的知識是學習的對象，例如：小數、分數，一個object所花的時間不需要太長，但是一個數學能力是需要花比較多的時間去培養，當然要培養數學能力一定要有數學知識當作發展背景。九年一貫暫行綱要裡面，很多

8、教材內容是要拉回在小學裡面完成，我懷疑在一定時間內在教室裡面老師是否有足夠的時間去提升這些能力？例如溝通能力是需要很多時間去教導的，在有限時間內我們要學習這麼多的題材是不是有可能，那不可能的話我們怎麼去找到平衡點？，桃園縣大竹國小鄭崑瑜：有假設才會有結果，但是如果他的假設一開始就是有問題的呢？那他的假設是否存在？那個圖是用一個數學教授的觀點認為一個人到了國中畢業之後應該具備哪些決能力，但是如果今天我們反過來，我們是用一個學生他長大之後要生活所需多少數學能力的角度去訂，那又是如何的結果？如果我們的教材編輯如鄭教授講的，可以分成三個階段，那教材是不是可以很彈性的告訴老師，如洪教授說的給老師更貼切的

9、暗示，是不是比較好一點，這樣我們可以照顧高成就和低成就的學生。在面對孩子不學習時，我們常問孩子或自己思考，學習要做什麼？今天是以林碧珍老師所說的在情境下去學習，我們是不是可以讓孩子知道我們今天要學圓周率原來是可以用作圓形的窗子的。孩子是否可以將數學知識和能力兩者合而為一成為數學知能，這是我的教學目標。石光國中數學教師：我覺得我們可以把數學生活化，把生活化的數學帶到課堂上，讓學生對數學產生興趣，進而願意去思考數學，學生思考的過程才是美的。台灣師範大學數學系謝豐瑞教授：鄭教授的那個函數模型中，數學能力的最高點是什麼？是不是就是鄭教授所說的實變數？如果是鄭教授所說的實變數，那為什麼圖形不是先直接do

10、wn下來，然後才出現一個弧度？曲線為什麼是長這樣？對於國中小的數學教育我們要思考的是這些人將來不一定是從事數學研究，那他學那麼多用不出去有什麼用？國中國小學教的數學他將來是不是可以用在謀生的地方？吳鳳技術學院鄭國順教授：1.那個模型的曲線我只知道他一定是遞減函數，但是他的曲線呈現怎麼樣還需要證實，那個弧度是需要數學教育學家去把他做出來的。2.最高那一點並不是實變數，是在同樣授課時數的條件下，當年級程度最好的學生的能力。3.並不是每一個人花時間去培養數學能力就培養的出來的。高雄市瑞祥國小王玉珍：我覺得數學能力和人數的圖形不應該是這麼簡單的圖形，加入了其他種種因素之後，那應該是一個立體的甚至是球狀

11、的模型。在這樣的假設下，對於高階的學生來講他的學習真的會是在空轉嗎？還是說會像滾雪球那樣越滾越大？他的思考溝通能力越來越強。反過來說，學習的定義是什麼？學生學了之後把考卷寫100分難道就是學習嗎？他學了又帶不走，我們是不是應該去看看學生是如何學習數學的，我們教了之後他是否可以根植在腦中？我發現一點，要學生正向思考很簡單，但是學生不會反像思考。從以前到現在，我們都是由上到下去制訂課程，因為大學需要什麼樣的數學能力，所以國中小學需要擁有什麼數學能力，為什麼我們不是由孩子的思考發展去制訂課程綱要呢？我覺得議題一可以將他解讀為初階能力與高階能力的陪有如何取得平衡點？另一項是在綱要的制訂下，我們沒有時間

12、讓學生學習到兩者，教了計算就沒有辦法教思考，那是要教計算還是思考？現在小學很流行課程統整，我不瞭解一點的是說為什麼那麼重大數學教育的決定不是由一群統整的人力來思索的呢？台北市社子國小孫德蘭：我覺得我們的對話已經讓家長模糊、讓學生去承受，現在我們班四年級的學生很多都在暑假去補數學，因為家長告訴他們五年級的數學知識變難了，數學知識是什麼？我不曉得是家長對我教給他們的能力沒信心還是對未來五年級課程的學習沒信心呢？小四就補習學生的能力真的增加了嗎？外界很多人不清楚建構式教學，大家都一直在模糊焦點，很多報章雜誌也說小六升國一銜接課程困難，但是真正瞭解課程的人，就會知道銜接上並不會太困難，希望數學界必須對

13、為澄清，不要讓外界模糊。高雄市鼓山國小王淵智：從三位教授的言談我大概可以歸納是這樣子，可以在生活中運用的是能力，從國小老師的觀點，我很想再請教三位教授，能力與知識我相信絕對不是等同的，但是哪些是能力？哪些是知識？哪些部分是over lap的部分？能不能再澄清一下？國小國中的數學是在培養公民的數學素養，這應該是一個開放性的議題，我覺得應該有比較多的人來參與討論，我們應該怎麼去定調國中國小的數學應該到哪裡？而不是由一群特定的專家學者來制訂。興雅國中李鈺琪：最近看了九年一貫的課本，我真的不知道這些學生未來如何銜接高中課程。廣開高等教育之門好嗎？國小、國中、高中、大學大家一起坐下來談一談，談一貫的，而

14、不是只有國小國中在這邊談。數學教育學門召集人洪萬生教授：有些人有能力但是不見得有機會可以去開發。吳鳳技術學院鄭國順教授：情境教學在國小是有其必要性，但是往上生之後一定要漸漸的減少，例如富庶本來就是一個抽象的東西，花太多時間去瞭解一個死板的規定，則是無意義的。三、議題二：兼顧數學知識的獲得與數學能力的培養之實務面（一）：從課程綱要與教科書的觀點主持人引言人討論清華大學數學系于靖教授：我是主持人，所以基本上我不發表意見，但是我可以問問題，我有兩點要求教於第一線的老師。首先，它牽涉到數學教育實際層面的問題，他有兩個不同的觀點，一個來自數學教育家，一個來自數學家的觀點，兩種觀點確實存在，而且它是一個世

15、界性的問題，這個問題在美國討論了十年，從88年沒有一個數學家參與討論，到2000年有很多數學家參與討論，我希望在九年一貫的委員會裡面，能夠出來跟一些不同意見的人溝通。我的問題是，在三年前我也問過曾志郎部長，外面有很多人擔心循著這個發展下去，十年二十年以後，我們國家的競爭力會下降。我要問各位的是，你堅持你的觀點是對的，那如果一、二十年後，你發覺錯了的怎麼辦？以色列、新加坡是菁英主義，他們訓練一些專業人才出來就夠了，他們不管全民，我們要做一個選擇適合台灣的，我們可以一起討論。台灣大學數學系張海潮教授：把知識跟能力這樣對等來看，這一我第一次聽到，所以覺得很好奇。我們大家都知道圍棋的能力是表現在對局的

16、時候，這是能力的部分，那圍棋的知識是什麼，實際上包括搭譜、定石，圍棋的能力無法獨立於它的知識而取得。另外一件事是，空間幾何的兩大支柱，是正弦定律和餘弦定律。你必須先掌握這兩種知識，你才可以去處理空間幾何的其他問題，如果你不懂這兩種知識，那一開始在知識和工具上就落後了。我們現在集中在九年一貫綱要的定義，它這種能力指標的寫法是對的，但是他們都沒有好好區分，什麼是核心的能力，什麼是周邊的能力。我舉一個打橄欖球的例子：打橄欖球它最重要的能力是跑和碰撞，而不是傳球和閃切，你必須要先把跑和碰撞弄好，不然他將來沒有比賽能力，你可以把周邊的能力和主要能力一起訓練，但是周邊能力只是提高他一點興趣，它對比賽是沒有

17、好處的，我們是要在傳統能力與趣味上取得一個平衡，但是核心能力還是不能少於80，少於80他能力還是不能獲得。所以回過頭來講，這個教材呈現或綱要的制訂，教材跟著綱要走，綱要跟著制訂者的理念走，這些理念經過一個複雜的過程而形成。但是，我個人認為在低年級裡，這個計算能力的培養是弱化的，我認為計算是人類天賦的本能，而且人類音樂、計算的天賦很小就看得出來了，所以有12歲就成為音樂家、樹學家的。現在九年一貫的能力有五大項，有計算、代數、統計、幾何和連結，我認為在編排上還需要調整一下，不要在任何年級都把這五大項能力看成是一樣多的，應該說低年級還是多做點計算，中年級代數再加進來，高年級統計、幾何和連結再進來，我

18、們這一輩都有一樣的經驗，有些人在四年級以前數學是沒問題的，但是到了五年級應用題進來就有困難了，因為應用題牽涉到連結、語言、語意、生活經驗、成熟度，這個你要在一年級通通擺進來，我覺得有待商榷，我個人比較主張在低年級時好好發展他的計算能力，理由是計算是人類的天賦能力，如果你要問學理何在？這是我提出的一個學理主張。台灣師範大學數學系謝豐瑞教授：1989年美國課程所綱要提出的數學是四種東西：解題、溝通、推理、連結，經過幾年的討論後，有了數學家的加入，前面四種能力都保留，多增加了一項表徵，我一直不相信數學家會提出表徵，也就是說在這樣的勞動下，最後的結果看起來是不是明確的，至於2000年的課程綱要多了流暢

19、的演算、計算能力，我非常同意張氏主張，至少在我的觀念中演算能力是重要的，為何美國有提我國沒提，那是因為我們是提我們缺什麼強化什麼，美國是提他們缺什麼強化什麼。我一直認為我們在拿別人的東西來用時，要考慮一下兩國的國情不同。當我看到這個主題的時候，我首先在想，到底數學能力是什麼？數學知識是什麼？把數學知識跟能力當成是對應的事件，獲得跟培養當成是對應的事件來看。一般而言我們看到當我們在談數學知識時，心裡想的是印在紙上的東西，那這些東西叫做知識嗎？當我看數學知識時是紙上有的數學知識，還是學生具備的數學知識，可是當學生學會紙上的知識後，那不就變成他的能力了嗎？所以以我的觀點：學生的數學能力必包含學生的數

20、學知識。所以數學知識是重要的，但是當你知道1+12時你獲得了知識，但是你要用得出去才是你的能力，今天我認為數學知識的獲得是數學能力獲得的要素，除了數學知識的獲得之外是不是還有其他的東西，這是我們下面要談的，而數學能力在課程中，它的定位應該是什麼？我看不見一個純粹數學知識的獲得。美國學游泳不是一開始就學蛙式或自由式，而事先學一些基本的漂浮，學完各種漂浮後在學自由式，而學自由式一開始動作也不能正確，一正確未來就沒有其他的發展性了。所以以我的論點來說，你要學好數學知識，你的能力是很重要的，不然你是學不好的，你是不能加速、強化他的，他的能力強他後來的發展性才會強。我就在想，對中、小學的學生而言，他獲得

21、數學知識的目的是什麼？如果只是將紙上的知識傳到他的腦海中，但是用不出去，當然有些人（數學家）獲得數學知識的目的，就是獲得數學知識，但是外面的人（非數學家），他們需要的是什麼？我認為數學能力的獲得是學校數學教育的主要目標，而獲得數學知識的目的何在？是為了獲得數學能力，所以課程綱要上要列出數學能力。在課程中哪些能力是重要的，我認為演算、邏輯推理能力都是比較封閉性的能力，而探索、操作解題和形成問題是屬於開創性的能力，我認為如果沒有開創能力，世界是不會進步的，所以我認為開創性能力是重要的。以前我們只是將一個知識告訴學生，而學生將來就遺忘了，不如多讓他們操作多一點學習經驗，而學習經驗不會忘記。而我的問題

22、就在這裡，像這種數學探索能力，是不是中學課程或教科書所能顧及的？今天我提出的問題是：（1）學習數學知識的目的何在？（2）在課本中哪些能力是重要的？清華大學數學系于靖教授：我想問大家現在人的計算能力是否比十年前的人計算能力差？還有我的經驗是現在歐洲一般人的計算能力，我認為比現在的台灣好？而計算能力到底要放在哪裡？大家可以一起來討論。而數學家有他們的考量與觀點，不一定加進數學家來討論就是不好的。台北市社子國小孫德蘭：我提出幾點來請教張教授：（1）張教授以體育來舉例，但是體育的學習與數學的學習事實上是有差別的，我們知道體育一開始要訓練體力與腳力，那數學的基本能力是什麼？（2）我們要多久的時間去培養我

23、們數學的基本動作？（3）張教授說低年級要好好培養計算能力，不要將無謂的能力加進來，那無謂的能力指的是什麼？（4）低、中、高年級都要培養計算能力，那我們要培養到什麼程度？（5）新的九年一貫綱要有沒有將舊的九年一貫綱要的缺失都避免了？（6）張教授說九年一貫對計算逃避，但就我對九年一貫能力指標的瞭解，我實在看不到舊的九年一貫對計算逃避？我的解讀是舊的九年一貫缺少是計算何時要自動化，我的自動化是自動反應。台灣大學數學系張海潮教授：第一個我不是說打橄欖球跟數學一樣，但是我主要是強調能力的本身有核心能力和周邊能力，我認為我們要分清楚主要跟次要，而且在不同的年紀是不一樣的。而我覺得沒有新的跟舊的九年一貫，他

24、本來就是新的東西，我也沒有覺得修訂版有解決主要跟次要能力的問題，而他們常常面對一個問題就是，那麼多的能力都要擺進去，那時間怎麼夠呢？那你說計算的部分有沒有，有的，但是熟練的部分呢？是沒有的。我認為對小學二年級統計圖表對他是沒有意思的，幾何圖形不用給他看，只要教室掛很多那種圖形給他看就夠了。你說的那些能力在其他科，美術、雕刻都有在培養，你在低年級時趕快將他的數字的天賦本來就很容易培養的數字感讓他流暢，讓他有數字感。所有的數學家都有一個共同的經驗，他們小時候計算能力是不錯的，而很多小朋友的計算也是不錯的，只是你把他的時間都佔據了，你沒有讓他們在數字裡打滾。至於無謂得能力，凡事不尊重、不發揚孩子數字

25、感的這種能力，我認為都是無謂的能力，所以先去尊重和發揚孩子們的數字感，正面的面對對於計算能力的培養。我為什麼那麼強調，那是因為很多孩子在脫離計算上是有困難的，但是在計算上是沒有困難的。課本它有活動，但是它停留在設計和發現，缺乏推理和延伸。不客氣的說，現在這些課本的編者，對於教材理念、活動設計和數學知識作的聯繫不夠，之間欠缺了推理和判斷。桃園縣大竹國小鄭崑瑜：我覺得6月7日那一場研討會雙方壁壘分明，我覺得古訓中庸非常重要，我覺得于教授講得很好，你今天堅持的東西過幾年是不是還是對的，但是世界上有很多事情不是對或錯兩個字所能夠解決的。我們是不是能夠從新打破壁壘分明從新思維。苗栗縣信德國小張煥泉：我們

26、現在九年一貫是義務教育，我想請問大家的意見，學橄欖球是不是一定都要上場比賽？我們可不可以將橄欖球當成一個休閒運動，讓大多數的人都可以來學習，那學習了之後再來經過一些淘汰，從裡面擇優像我們進入高中、進入大學之後，在去做一個深入的練習，有興趣的人再來作選手，不要讓所有人一開始就來害怕這個運動，等於說扼殺了小朋友學習的志向。新竹師範學院數學教育學系林碧珍教授：我要提的是，張教授很清楚的知道橄欖球的核心能力是跑跟碰撞，周邊能力是傳球跟閃切，我想請問的是在中、小學裡面，什麼是最核心的數學能力？從剛剛的演說裡面，我們知道是計算、演算能力，那張教授又說課程綱要中，要放入那麼多的數學知識和數學能力，哪有那麼多

27、時間？那我猜測是你們最後就把數學能力的部分放輕了，而放入比較多的數學知識，那我比較擔憂的是，我套用于教授一開始的引言，如果我們只是依照個人的主張，那萬一十年以後發生了問題怎麼辦？台灣大學數學系張海潮教授：九年一貫不只是政策的一貫，教材形成、綱要訂立這種理念的一貫，不管是暫行綱要或修訂綱要在能力指標上的共識是很高的，所以即使他不同意他也不得不擺進去。就像很多的統計學者，他們也認為在小學是不需要學統計的、不需要學圖表，因為他們覺得等你把其他的能力學好之後，你自然很容易接受的。我比較擔心的是，在綱要裡面他得能力都是齊頭並進，一下學這一下學那時間就不夠了，如果普遍的數學家都認為低年級應該好好培養數字感

28、，這是我們可以在討論的，即便是有這樣的想法教材也不能配合。我是認為即使是數學家想強化小孩子的計算能力，教材上也無法配合，因為教材不可能獨尊計算，所以在這中間他就有本質上的矛盾出來了，那怎麼辦？我們要讓能力的培養朝向更有效率的方向走，我們要用有限的時間培養無限的可能，這是我們下一步要做的事。高雄市瑞祥國小王玉珍：我蠻質疑的一點就是，孩子的天賦真的只有數字感嗎？圖形、空間難道他真的就沒有天賦能力嗎？因為在強調一個多元智慧的新世紀的來臨，怎麼會數字感突然變成孩子唯一的天賦能力呢？我覺得蠻訝異的。再來就是數字感的呈現到底是多元還是唯一，因為在我看到數學家很強調直式的進入，如果直式的呈獻就是孩子數字感的

29、表現，那在這一點上我很不能認同，如果數字感是孩子天賦的能力，那它呈現表現應該是更多元的。我覺得82年的課程，在處理培養孩子數字感能力這樣的教材上非常的好，因為它不讓孩子認為直式的除法是處理除法問題唯一的解決策略，他可以用減法、加法，因為分數的除法時，如果他不認同一定要將除數顛倒相乘，那請問你他如果去算分數的除法？數學家很認同計算是孩子的天賦，為什麼不讓天賦很自然的呈現出來。台北市社子國小孫德蘭：張教授你的文章中寫說對計算的逃避、不敢面對計算，我覺得它的證據是不足的，課本教科書裡面不是這樣子的，但是我要呼籲一點就是說，包括之前鄭國順教授在前面的全部是以所謂建構式教學法方式呈現，人家看到兩位大師放

30、出去的就相信了，但事實上真的是這樣子嗎？多少人會去質疑呢？多少人會去問呢？所以我是認為說，請你們在書寫文字的時候是不是對一些字句稍加斟酌。台灣師範大學數學系洪萬生：我有個小孩從美國回來，在算1/2+1/3的時候，一定畫圖（劃圓），他每次都做得滿頭大汗，後來我實在受不了了，我要他先通分在加起來，他一下就轉換過來了。這裡有兩個問題，第一就是說，如果他沒有那一段很深刻的前制經驗，我對他說這個他大概不行；第二點就是它的基本能力還可以。我把這件事情叫做斷奶，我是覺得說現場的老師適當的時候要斷奶，因為時間就這麼多，你要怎麼辦呢？有些東西你就要做擇中，要怎麼擇中當然要尊重第一線老師，但是我們是給一個意見當參

31、考。新竹師範學院數學教育學系蔡文煥：計算本身的解釋是有很多種的，從剛剛張教授的舉例，我會去解讀張教授說得計算並非是像那一種單單的純粹一般規則的計算，他也許會從一些數字感的養成，或者像洪教授講的他可能會有一些經驗之後，然後再進入計算會增進他對數學的敏感性。像他瞭解乘法的意義後，就比較容易將九九乘法被起來。我想張教授背後的影含的東西可能不是單單像我們想的一直去算（熟練的算），也許會有一些讓他在生活裡面去慢慢的流暢性，或是從數字感的發展去增進他的計算性。我想在這一個部分跟我們數學教育家的觀點是相接近的。台灣大學數學系張海潮教授：我講得的確實是如此，讓他生活中盡量多接觸點數字，然後他要多花點時間，所以

32、我才主張讓數字先進來，其他東西慢一點沒有關係，因為這個受到時間上的限制，所以不得不割愛。台灣師範大學數學系謝豐瑞教授：我的意思是多給孩子一些經驗，雖然他一開始學得東西部一樣，但最後達到數學家所希望的數學知識的獲得，他是不會少的。我們今天要考慮的是基礎是什麼？我很反對負數在情境中教學，負數的東西哪有什麼情境，黑白子只是一個用具體的方式去輔助他的理解，根本跟建構、情境扯不上關係，它只是讓學生在學習的時候感覺痛苦比較少，比較好理解，但最終還是要斷奶。如果鄭教授願意多花點時間去瞭解人家到底在做什麼，或許你的想法就不一樣了。數學能力的培養為什麼重要，因為其中有一個是你可以快速、而且簡單獲得數學知識，且用

33、得出去，這就是我的論點。台北縣埔墘國小張麗卿：聽了各位前輩對數學的觀點後對照文章，我有一個很深的感受就是，文筆的東西有時候沒有辦法把自己的意見表達得很清楚，張教授所謂的計算能力不是我們所想像的計算能力。我們為一般的老師請命就是說，透過這樣的一個專題討論以後，是不是有一個會議紀錄，或能夠將這些文章在陳述的清楚一點，因為其他老師在網路上看到這些文章，他們的解讀會跟我們現場一些老師看到的感受是一樣的，會對文章的一些意思有所誤解。提一個意見是有辦法讓為到場的老師也更加的清楚一點。四、議題二：兼顧數學知識的獲得與數學能力的培養之實務面（一）：從課程綱要與教科書的觀點主持人引言人討論數學教育學門召集人洪萬

34、生教授：身高是可供度量的，但是若我們任意畫兩條直線則是不可公度量的，可是大家卻都說不出為什麼它們不可公度量，由此可見數學論證是很重要的，直觀不一定可靠。我們從教學觀點來看數學知識的獲得與數學能力的培養這兩者的關係要怎麼切入，我有發一張東西給大家，這裡面牽涉到評量的問題，一個學生當他回答了根號2是無理數的證明之後，你給他滿分，你就認定他獲得了有關無理數的知識嗎？我想這個評量基本上是有很大的問題的。我剛講的其實有涉及到張海潮早上所講的有一些發現的過程裡面其實現在九年一貫引進情境重視連結，這其實是發現的脈絡，我覺得我們在對一個數學知識的學習或培養一種能力的時候，千萬不要忘掉了這兩者其實是一體的兩面。

35、新竹師範學院蔡文煥教授：當我們看一個問題的時候，當你把他degration，早上我們談數學能力、計算能力這個觀點，看你從哪一個角度去看，當你在看數學知識的時候，他也可以細分，一般來講數學程序性知識，邏輯性知識、物理性知識、社會性知識，所以當數學家和數學教育學家和老師在討論一個問題的時候，可能要在某一個解釋的詮釋下我們再來討論。當小孩子有一個思想的時候，他要怎麼樣呈現給班上同學，他可能畫圖、書寫文字等等，到比較高年級的時候他可能可以畫一個數線圖、曲線等等，當然要班上同學能夠理解。現在九年一貫修訂小組提到演算能力、抽象能力、推論能力還有溝通能力，到底這些能力真正的論點在哪裡？第二個問題，我國的學童

36、到底要發展什麼？像早上謝教授講的，我國學童計算能力很強，那我們可能要發展問題解決能力創造能力。第三個問題，到底這一些能力的發展和數學知識之間的關連是什麼？從早上的共識，大家是把他看成糾纏在一起的，數學能力發展越強，小孩子獲得的知識當然就越多。數學家在探討數學時有哪些特徵？我們可以發現他們都是解題高手、推理高手、溝通高手，他們都是溝通論證的高手，他們一直在進行質疑、討論、辯證，從這個角度來看，是不是教室裡面的的學習也要培養這種能力？到底有哪些因素會影響知識的獲得？一、知識的難易會影響知識的獲得。二、學童學習之方法，建構或不建構、直接教學方法等都會影響知識的獲得。三、活動的提供，像早上講的要在情境

37、裡面讓他慢慢獲得知識。小孩子獲得的方式：一、老師可以直接教，像文化傳承這樣直接傳給學生，至於他好不好就由大家來判斷。二、知識是由兒童主動建構，這個也會有一些問題。三、知識是藉由社會分享認知地建構。四、知識是由社群在文化真實活動中涵化衍生出來看學童之知識獲得。早上有談到情境學習，其實情境當小孩子發展到某一個階段的時候，並不是要用一個真實的情境，情境學習理論來講數學會變成一個具體的東西。當我們談論一件事情的時候，例如發展兒童的推理，推理是一個非常抽象的東西，一年級、二年級、三年級小孩子發展是怎樣，推理是有層次的，我們必須要創造這樣的一個community讓他去發展。從我的觀點來看教室學習的問題就像

38、附途中的那棵樹一樣，當我們有這樣的教室情境培養這種能力之後，果實就會越來越多。高雄市博愛國小洪雪芬老師：如何兼顧數學知識的獲得與數學能力的培養其實只有靠教學，教學是一個最重要的，教學也是他去達成這樣的目的的唯一的路。今天我要從分數除法的教學為例來談到底是數學知識的獲得容易還是數學能力的培養容易。知識的獲得有：一、整數÷整數分數。二、分數÷整數分數。三、整數÷分數整數有餘數。整數÷分數分數。四、分數÷分數整數有餘數。分數÷分數分數。我們如何去檢驗孩子獲得數學知識？這個真的很難。數學能力的部分是孩子會不會解決分數除法的問題？譬如說名解題的

39、策略和想法，就像蔡老師說的，孩子能夠互相討論、質疑辯證，我們非常希望孩子能夠去判斷同學解題的歷程，這個是正確還是不正確的。當然我們也不會忽視孩子必須具備有檢測和計算的能力，但是我們要如何去培養孩子這些能力？這個是我們要考量的。在分數除法的教學中我發現分數除法有餘數這樣的題形孩子的掌握度是不高的。顛倒相乘孩子會做，但是他不會講。在某些教材當中數學知識是很難的。從學生之分數除法解題類型分析的例子當中，我們可以看到其實我們的孩子解題的能力是真的存在，我們希望孩子能去看懂別人的，孩子當中的互動也是一種學習，而且為了要去聽懂別人講什麼，去傾聽也是一種學習、一種能力。孩子的能力知識互相在成長，有時是數學知

40、識比較難懂，有時是能力比較難培養，那我們必須針對真對孩子的需求去幫助他數學的學習。今天我們看到蔡老師的學生有全班討論、個別發表等，我班上學生也有那樣，請問我們未來的課程當中如何在同一個時間之內讓每個孩子都有說出自己的解法的機會？如何在同一時間內讓孩子能夠跟同學互動？如何提升數學性的討論和批判？這些都是衝擊性的問題。吳鳳技術學院鄭國順教授：聽了兩位引言人的言談之後，讓我比較瞭解第一線老師教學的情形。分數的除法舉個例子來說，在能力指標裡面是說能熟練分數的除法，熟練的意思是說不只是做的快一點、也要做的正確，但並不表是說我們認為老師教這個分數的除法就是要教他一些規則，而是說透過一些不同的教法，最後總是

41、歸結到抽象的那些算法要快而且要正確，這才是我們所想要的目的。高雄市瑞祥國小王玉珍：我想請教一下雪芬老師，如何將這樣子的教學模式能夠真正的落實到國小教學裡面？希望雪芬老師能就這一點和大家分享。另外剛剛鄭教授提到的，我的感覺是如果我們已經設定好一個模式，又要快又要正確的計算的東西要給孩子的話，只有透過不斷的重複的演練動作才能達到這樣的能力。那在這樣重複的學習動作之中，我不曉得孩子還能有多少創作的空間？桃園縣大竹國小鄭崑瑜：我覺得成熟基本概念的建立，建立完了讓孩子可以形成一個公具的時候，像剛剛小朋友處理分數除法的公具，他就是從分數的意義著手，從那個地方切進去小孩子他本身的基本能力變成他本身的工具，我

42、覺得這個是課堂上我們老師應該所為的。但是我認為熟練不是在有限的課程教學時數當中似乎不是重點，在課堂上如果可以把他的概念建立的話，他的基本能力有了，成為他的工具之後，回家之後再來做熟練。另外關於分數的除法我看過各個版本的課程之後，發現九年一貫分數的除法他的課程的編排他的難易程度其實是有分別的，他有去注意到學生的數學學習困難處在哪裡，那我們老師在第一線上時我們是不是有去注意到這一點？第三個我想要提的就是說，我們老師是不是對每一個教材的主題邏輯直性的、縱貫性的我們是不是有強而有力的概念，二年級的概念是什麼？三年級加了什麼？四年級加了什麼？五年級甚至到九年級，我們是不是有一個很清楚的概念？我發現我們國

43、內這種縱貫性的研究真的非常缺乏。新竹師範學院數學教育學系蔡文煥教授：當小孩子在學習數的概念的時候，他前面的經驗和Number sence，都是要先透過理解以後再去熟練，而不是機械性的計算，機械性的機算沒有發展性。當小孩子知道他在做什麼時，他在問題解決上可以存活，而熟練的問題可以有一些螺旋式的，在後面的地方讓他慢慢的有機會碰到去做，而不是要他馬上學馬上要會，也許可以把時間稍微延長，到最後要他背就很容易了，有一些意義的連結他可以很快就背出來。像我們這樣的研討會很好，數學家、數學教育家、現場老師在談的東西慢慢就有一些交集出來，不會說數學家和數學教育家想的完全不一樣，研討會的功能就在這裡。高雄市博愛國

44、小洪雪芬老師：其實我們從一年級到四年級的老師都有充分的接觸到教師進修，還有很多教授們都在帶小團體，而小團體的老師也許他熟悉這樣的教材教法，他可以把他的教學理念落實到教學當中，他自己覺得有成長，學生也學得很快樂，這是我看的到的。我一直在想一個問題，我們一直在說我們要帶好每一個孩子，但是我們有沒有夠多教師進修的機會帶好每一個老師？這是我一直在講的事情。我覺得我們的老師在這時年當中已經掌握到教材教法的部分，而九年一貫92年版的差一點點的就是把過去計算比較慢的地方稍微加快一點點，所以我們只要加快就好了，但是我們的時間在哪裡？我剛才秀的那個東西是我用八個午休讓孩子做練習，我上課還是一樣讓孩子討論到完全懂

45、，孩子在午休時間一碰到電腦精神百倍，所以互動的關係非常好。上課我們還是把持原來的方式先讓孩子懂，把熟練放在家裡，當熟練以後數感更強。淡江大學數學系：我們要兼顧數學知識的獲得和數學能力的培養，如何判斷是否獲得數學知識呢？如何知道他已經培養了數學能力？是不是要有一些題目，看一看目前所編的教科書，裡面的問題有多少個？學生還是會買參考書回家做，目的還是希望多做練習。我們要怎麼來判斷呢？比方說有考試，考試題目是不是有真對能力指標呢？我們需要培養他的任何東西，在教課書後面的題目能不能出一些先相關你要的東西，讓學生經過回答這些問題那些能力慢慢都培養起來。國小老師他已經要負擔太多的科目，要他再來設計這些題目我

46、想是滿難的。現在既然教科書要重新再弄，那能不能請數學家花一些心思在評量上。新竹縣竹北國中焦安榕：教材一綱多本，家長擔心學校用的版本是否足以配合學科能力測驗，學生補習比例增高。我發現接受新教材的國一新生處理數學問題時他的發表能力是很好的，但計算過程顯的潦草，在後續計算推演能力可能會有影響。我們在開會時一直思考如何做補救教學，但國中並不像小學是包班制，所以沒有多餘的彈性空白時間，所以造成學生的能力落差很大，希望國小老師能在每一個階段都做好嚴格的把關的動作，這樣到國中之後學生才不會有嚴重的挫折感。桃園縣大竹國小鄭崑瑜：我覺得能力指標與課程活動設計無法相輔相成，年級與年級之間的能力指標連慣性不足，像這

47、樣的斷層，如果老師不知道斷層點在哪裡，如何去補救。事實上根本不需要去管什麼版本，而是應該去抓那個主題點在哪裡。高雄市鼓山國小王淵智：我發現九二年課程綱要很多部分提早了一到兩年，九年一貫以後課程上課時數變少了，其實他把速度放慢是有原因的，他有考慮到客觀上課因素，如果我們在未來九四年把他往前提升滿多的，重視熟練的話，雖然老師會花滿多時間的，小朋友在做計算、質疑辯證的部分會少掉。第二部分回應剛剛那位老師說的，很多國中老師認為國中生應該要有怎樣的能力，但是他們應該去看看國小的教學指引，你們會接到這樣的學生是因為我們就是照著這樣的教學指引教出來的，其實我們都很認真。新竹師範學院數學教育學系蔡文煥教授：我

48、們這場會議的目的已經達到了，數學家、數學教育家以及第一線老師已經開始有交集了。希望在我們這個論壇之後，能夠有個討論團出現，讓每個老師都能把自己的教學經驗拿出來分享，把兒童數學能力發展特徵找出來，讓老師在教學上有所依據。我們有一個共識就是不論是數學家、數學教育家或是現場老師，都要進入到教室去看看小孩怎麼學習，這樣我們再來談才會有共識。高雄市博愛國小洪雪芬老師：我覺得教學要教的好必須是老師是很賭定的，那些老師們對我說：只要教科書編的好我就會教。只要我可以掌握教學脈絡、教學理念、我的學生還有我自己就沒有問題。雖然要的課程那麼多，時間那麼少，只要我方向認定清楚，我就自然找得出時間。但是我們的研習一定要

49、夠，不能讓老師在不瞭解、不安的情形下進教室。數學教育學門召集人洪萬生教授：不管教材會不會沿革，我覺得老師的研習是每天要做的，我們一起來呼籲教育部做好這件事情。五、綜合討論主持人討論曾憲政校長：經過這一整天的討論，如果大家還有疑惑的、想說的，可以在現在提出來。台北師範學院數理教育研究所張英傑：我們數學教育制度有沒有制訂過程？誰說了就算？教育政策搖擺不定，造成家長恐慌，所以我們是不是要有一個周延的政策或是論壇。回歸到我們的數學教育，數學素養是什麼？數學功力是什麼？如何獲得數學知能？如何運用？我們要塑造一個優質環境，數學學習不只有內容，過程更重要，在知識性的時代創意的表現絕對比這些反覆練習更重要。簡

50、單的說就是一種課程要有一種發展的學習教學，老師要教的有感情，學生要學的有意義。怎樣塑造一個優質環境，我們現在有一個數學教育協會，我們鼓勵大家一起來參與，看怎樣能做的更好。新竹市頂埔國小黃福財：我教了那麼多年書，看了那麼多的教材改變，我覺得從數學課程到數學教材編輯少了課程專家與心理專家，這讓我們搞不清楚數學課程的先後順序，數學跟語文不太一樣，他是需要循序漸進的。第二點鐘點數不足，教育部是不是不要再強調早自修與午休，讓老師自行運用發揮。老師的專業要足夠，清楚瞭解各年級課程架構，這樣教學應該就不會有問題。新竹縣竹北國中焦安榕：九年一貫課程裡把六七年級放在同一階段，但是小六生國一跨越的不同的環境，課程

51、編排方式也不同，不論在硬體或軟體上面都有適應的困難，政策如果無法改變，老師之間就要互相配合，可是國小和國中又是不同學校，老師之間要互相溝通聯繫有困難，因此產生斷層，所以我希望可以多增加一些研習，讓小六和國一的老師可以面對面溝通和教學分享。新竹師範學院數學教育學系林碧珍教授：事實上六年級和七年級的綱要是有區分的。另外今天早上發的那三份文件，其中一份教育部的公文，今年的五年級在四年級到五年級是從八二年版（較深）轉換到九年一貫九二年版（較淺），是重複學習，所以沒有什麼問題，但是他們到六年級升國一時又從九二年版（較淺）轉換到九四年版（較深），一下子要進入那麼難的課程是很困難的，所以這份公文的目的是希望

52、課程編輯的出版商可以把一些七年級的課程提早編入到六年級，讓五年級的學生明年在六年級的時候可以提早學習，比較不會有塞車的現象。在另外一份建議九年一貫課程暫行綱要提前融入五年級各版本教學單元的能力指標文件中，是建議老師把六年級的部分教材提前到五年級來進行。新竹縣陳素真：今年升五年級的學生家長很擔心他們的小孩在未來會無法適應，所以拼命給小朋友補習，而我們老師能做的就是把這一份資料帶回去給其他老師，至少在五六年級可以先緩和一下。能力指標的部分這份資料上面有列三個版本，我們有大略調整一下數的計算的部分，我們希望能夠提前帶入的，這是為了配合九十四年新綱。例如南一版的直式的除法的算則部分，他四年級只有介紹生

53、活中的除法，五年級是用計算器，可是到六年級就要會用成人的直式算則，教過除法的老師就知道這中間需要很多墊步的工作，包括對除法的位值、估算還有很多的細節，他怎麼樣從乘法和橫式的算式跳過去，那裡頭每個數字代表的位值，還有他要估算的時候，他可以不用擦掉直接算的東西，簡單的說我們到底要不要尊重孩子學習數學發展的過程，我自己的想法是我大概會每個禮拜出一張A4的題目給家長看，我的想法是你一定要給家長知道孩子在學什麼，即使他不想知道，因為也許有人會想知道。我們整理出這個表格是希望給現場老師知道說他在這變化很大很大的時候，你可以在哪裡找的到你想要的資料。比如說八十二年版哪些教材可以作為最快最直接的參考。新竹市頂

54、埔國小楊瑛瑛：這個表格他有一個很好的功用，我們把能力指標在五六年級他的發展都把他切割出來，當你先教了，以後到底要從哪裡切進去，可以從這個表格來看。實際上在九年一貫裡頭他是以階段來分的，如果你換版本的時候，會發現雖然飾同一階段版本跟版本之間的教材處理是不同的，在這張表格裡頭我們所涵蓋的數學內容是把五年級他應該所學到的內容他是把他切割成一樣的。比如說分數的乘法他應該進行到哪裡，比如說分數異分母的分解與合成裡，我們就把他加進去，這個本來是要在六年級要完成的，我們覺得可以先把他提前到五年級，也就是把他加入約分跟擴分，也就是說他的切割是一樣的。那另外一個功用就是說，當我們把這整個能力指標比對各個版本的處理方式後，我們會發現有些版本他的詮釋是不足的，比如剛剛素真提到的除法的部分，在南一版本他是比較少，那