中考数学专题《圆的综合》综合检测试卷及答案解析

1、中考数学专题圆的综合综合检测试卷及答案解析一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【答案】(1)证明见解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,

2、即可得出结论;(2)OAOE(3)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=-1(J2 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME,

3、AE=EM.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)(3)1(i)当 OA=OC时. DM BM 21 -OC 2OD,OM 2DM 2 y.解得2 T 14,土 /外、,或 X -(舍).22(ii)当 AO=AC时，则 / AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90° - a, . .9

4、0° a,a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.°图22点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，已知 ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于G,交BC的延长线于F.（1）求证：AE=BE（2）求证：FE是。的切线；（3）若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.3【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析

5、】（1）证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，./BEG90；CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，FE是。的切线.(3)解：EF是。的切线，FE?=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3. OE/ AC,AFCCGAFOE,CG FC CG 2J"：,即''十"6CG= .M

6、 ,若 tanG = , AH=3。,求EM的值.(3)延长AB交GE的延长线于点【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析;点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.3.如图，AB是。的直径，弦CD)±AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG/ AC交CD的延长线于点 G,连结AE交CD于点F,且EG=FG连结CE(1)求证：ZG=Z CEF(2)求证：EG是。的切线;25.38试题分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由AB± CD推出AD AC ,推出/CEF=

7、/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；(2)欲证明EG是。的切线只要证明 EG± OE即可；(3)连接OC.设。的半径为r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,证明一 AH HC AHCAMEO,可得 ，由此即可解决问题;EM OE试题解析：(1)证明：如图 1. .AC/ EGZG=Z ACG, v AB± CD,AD 设,Z CEf=Z ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG . . AECfAGCE(2)证明：如图2中，连接OE. GF=GE, . . / GFE=/GE归/ AFH, OA=OE,/ OAE=Z OEA, / AFH+Z FAH

8、=90 ；，/ GEF+ / AEO=90 :，/ GEO=90 :，GE± OE,(3)解：如图3中，连接OC.设。的半径为r.EG是。O的切线.HC=4V3 ,在 RtHOC中,在 RtAHC 中，tan Z ACH=tan Z G= -AH- = 3 , AH=3/3，HC 4. OC=r, OH=r 373，HC=4>/3, (r 3石)2 (473)26AH HC. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO, . 3 <34.3EM25百，.EM且8EM OE6点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函

9、数、勾股定 理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相 似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.4.已知AB, CD都是e O的直径，连接 DB,过点C的切线交DB的延长线于点 E.1 如图 1,求证： AOD 2 E 1800；2如图2,过点A作AF EC交EC的延长线于点 F,过点D作DG AB ,垂足为点G,求证：DG CF;-DG 3-3如图3,在2的条件下，当 时，在e O外取一点H,连接CH、DH分别交CE 4e O于点M、N,且 HDE HCE，点P在HD的延长线上，连接 PO并延长交CM于点Q,若PD 11, DN 14, MQ OB

10、,求线段HM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 8展 7【解析】【分析】(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要证明 /AOD=2/D 即可；(2)如图2中，作OR，AF于R只要证明 4AO宅 ODG即可；(3)如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN,彳BT，CL于 T,作 NK±CH于 K,设 CH 交 DE 于W.解直角三角形分别求出KM, KH即可；【详解】1证明：如图1中，QeO与CE相切于点C,OC CE, OCE 900, D E 900,2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC

11、2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2证明：如图2中，作OR AF于R.Q OCF F ORF 900, 四边形OCFR是矩形， AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°, OA DO,VAOR VODG ,OR DG , DG CF ,3 解：如图 3 中，连接 BC OM、ON、CN, B BT CL 于 T,作 NK CH 于 K,设 CH交DE于W.设 DG 3m,则 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 900,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF

12、 3m,ET m ,QCD为直径，CBD CND 90oCBE ,E 90oEBT CBT ,tan E tan CBT ,BT CTET BTBT 3mm BT，BT J3m（负根已经舍弃），3m tan E 33 ,mE 60°，Q CWD HDE H , HDE HCE ,H E 600,MON 2 HCN 600,QOM ON ,VOMN是等边三角形，MN ON ,QQM OB OM ,MOQ MQO ,Q MOQ PON 180oMON 120°, MQO P 180o H 1200,PON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25

13、,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 DN2 4502 1 42 48，CN 48在 RtVCHN 中，tan H CN 上8"百，HN HNHN 16a/3,在 RtVKNH 中，KH - HN 8百，NK HN 24,22在 RtVNMK 中，mK JMN2 NK2 J252 242 7，HM HK MK 873 7 .【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的 判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题 的关键.5.在。中，点C是AB上的一个动点（不与点A, B重合），/ACB=120,点I是/A

14、BC的 内心，CI的延长线交。于点D,连结AD,BD.D(1)求证：AD=BD.(2)猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.(3)若。的半径为2,点E, 5是AB的三等分点，当点 C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长.【答案】(1)证明见解析；(2) AB=DI,理由见解析(3) 2Z39【解析】分析：(1)根据内心的定义可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证 得结论；(2)根据/ACB=120, /ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度数，再根据 AD=BD,可证得 ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明/BID=/IBD,得出

15、ID=BD,再本艮据AB=BD,即可证得结论；(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出 AD的长，再根据点 E, F是弧AB ? 的三等分点，4ABD是等边三角形，可证得 ZDAI1 = /AI1D,然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：(1)证明：二.点I是/ABC的内心 CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD,弧 AD=M BD.AD=BD(2) AB=DI理由：/ACB=120, /ACD=/ BCD / BCD个 X 120=60弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=

16、60 °.AD=BD.ABD是等边三角形，.AB=BD, /ABD=/ C.I是4ABC的内心BI 平分 / ABC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, / IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD.ID=BD.AB=BD.AB=DID为圆(3)解：如图，连接 DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以 心，DIi为半径的弧 . /ACB=120,°弧 AD=M BD / AED/ ACB=T X 120=60 °:圆的半径为2, DE是直径.DE=4, / EAD=90 °，AD=sin/AEDX dE= X 4再

17、 点E, F是弧AB ?的三等分点，4ABD是等边三角形,/ ADB=60 ° 弧AB的度数为120； 弧AM、弧BF的度数都为为40 °/ ADM=20 =/ FAB/ DAI1=Z FAB+Z DAB=80° / AI1D=180°-Z ADM- Z DA1=180 -20 -80 =80° / DAI1=Z AI1D.AD=IiD=2弧Ii I2的长为：20Tt工业 _玷"180 一 9点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的 弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的

18、渗透6.如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点 C在。O上，CB/ PO.（1）判断PC与。O的位置关系，并说明理由；若AB=6, CB=4,求PC的长.【答案】（1） PC是。的切线，理由见解析；（2） 3J52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接 OC,再证Z PCO=90即可.（2）可以连接 AC,根据已知先证明 ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质 求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又,. OA=OC, OP=OP2

19、 .APOACPO/ OAP=Z OCP. PA是。O的切线/ OAP=90 °/ OCP=90 °3 .PC是。的切线.(2)连接AC.AB是。的直径/ ACB=90 °（6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC4 / ACB=Z PCO.ACBAPCOBC AC -一 OOAC 3V/B2-BC£ W针一r 3旄 .一 二 二 二.BC 442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.7.如图，已知四边形 ABCD是

20、矩形，点 P在BC边的延长线上，且 PD=BC OA经过点B, 与AD边交于点E,连接CE .（1）求证：直线PD是。A的切线；2（2）若PC=2j5, sin/P=一,求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）.3【答案】（1）见解析；（2） 20-4兀.【解析】分析：（1）过点A作AHLPD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.（2）分别算出RtCED的面积，扇形 ABE的面积，矩形 ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过 A作AHLPD,垂足为H,四边形ABCD是矩形，AD=BC, AD II BC, / PCD叱 BCD=90，/ADH=/ P, /AHD=/ PCD=90 ,

21、76;又 PD=BC .-.AD=PD, .ADHADPC,AH=CD, .CD=AB,且AB是。A的半径， .AH=AB,即AH是。A的半径， .PD是。A的切线.CD 2(2)如图，在 RtPDC中，.sin/P= 一，PC=2，5 ,PD 3令 CD=2x, PD=3x,由由勾股定理得：(3x) 2-(2x)2=(2j5)2,解得：x=2, .CD=4, PD=6, .AB=AE=CD=4 AD=BC=PD=6 DE=2,-/1矩形ABCD的面积为6X 4=24RtCED的面积为-X 4X 2=41 2扇形ABE的面积为一兀X =4 Tt,2图中阴影部份的面积为 24-4-4兀=24兀.

22、点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形 的面积.8.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线 BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点E、点F,且/ABE=/ DBC.(1)判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；(2)若 sin/ABE=Y3, CD=2,求。的半径.【答案】(1)直线BE与。相切，证明见解析；(2)。的半径为 二2.2【解析】分析：(1)连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEC=90°,即可得出直线 BE与。相切；(2)连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知 BE的 长，设

23、出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：(1)直线BE与。相切.理由如下：连接 OE,在矢I形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OC=OE, . . / OED=/ODE.又. / ABE=/DBC,Z ABE=Z OED,矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °,直线BE与。O相切; / OED+Z AEB=90 ；/ BEO=90 :(2)连接EF,方法1：.四边形 ABCD是矩形，CD=2,Z A= ZC=90 °, AB=CD=2. /ABE=/DBC, . .s

24、inZ CBD=sinBD 2 Asin CBD在 RtA AEB 中，CD=2, . BC 272DC AE 2AEtanZ CBD=tan Z ABE,，尸 ，BC AB222由勾股定理求得BE J6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EO2+eB?=OB2.设OO 的半径为 r,则 r2 （J6）2 （273 r）2, .=,2方法 2: DF是。的直径，Z DEF=90 °.四边形 ABCD是矩形，ZA=ZC=90 °, AB=CD=2 . ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABE设 DC x, BD V3x,则 BC &

25、x CD=2, BC 242 DC tanZ CBD=tanZABE, ' BCAE 2 AEAB 252AE V2 , E为AD中点.1 _. DF 为直径，ZFED=90 ,EF/ AB, . DF - BD2OO的半径为点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.9.如图，Rt ABC内接于。O, AC BC, BAC的平分线AD与。交于点D,与 BC交于点E ,延长BD ,与AC的延长线交于点F ,连接CD , G是CD的中点，连 接OG.(1)判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明(2)求证：AE BF ;若OG

26、 gDE 3(2 J2),求。O的面积.【答案】(1) OG，CD (2)证明见解析(3) 6兀【解析】试题分析：(1)根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；(2)先证明4ACE与4BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；(3)构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解.试题解析：(1)解：猜想 OG，CD.证明如下：如图1,连接OC、OD. . OC=OD, G是CD的中点，由等腰三角形的性质，有OG± CD.(2)证明：AB是。的直径，./ACB=90°,而/CAE=/CBF (同弧所对的圆周角相等).在 RtACE 和 RtA BCF 中，/ Z A

27、CE=Z BCF=90°, AC=BC, /CA&/CBF, RtA ACE RtA BCF3 ( ASA), ，AE=BF.(3)解：如图2,过点。作BD的垂线，垂足为 H,则H为BD的中点，.-.OH=-AD,即2DEDB,即 BD2=AD?DE,AD=2OH,又 / CAD=/BAD?CD=BD, . . OH=OG.在 RtA BDE和 RtADB 中，/BD Z DBE=Z DAC=Z BAD, . .RtABDE RtAADB, AD BD2 AD DE 2OG DE 6(2 后 又 BD=FD,BF=2BD,BF2 4BD2 242 J2)，设 AC=x,则 B

28、C=x, AB=V2x- AD是BAC的平分 线，Z FAD=Z BAD,在 RtA ABD和 RtAFD 中，/ Z ADB=Z ADF=90°, AD=AD, /FAD=/BAD,RtAABD RtA AFD (ASA) ，AF=AB=V2x，BD=FD,，CF=AF-AC=72x X (J2 1) X在RUBCF中，由勾股定理，得：BF2 BC2 CF2 x2 (丘 1) x2 2(2 72) x2，由、，得2(2 V2) x2 242 扬，»2=12,解得：x 273或 2J3 (舍去)， AB 22x 22 2M 2J6,，。0 的半径长为 厌, S。=兀？( J

29、6)2=6图1图2点睛：本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判 定与性质.10.已知：如图1, /ACG=90°, AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接 AB,将4ACB沿AB边所在的直线翻折得到 ADB,过点D作DF，CG于点F.(1)当BC=2i时，判断直线FD与以AB为直径的。的位置关系，并加以证明；3(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的。交于D、H两点， 连接AH,当/CAB=/ BAD=Z DAH时，求BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的。相切，理由见解析；(2) 2J2 2 .【解析】试题分析：(

30、1)根据已知及切线的判定证明得，直线 FD与以AB为直径的。相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.试题解析：(1)判断：直线 FD与以AB为直径的。相切.证明：如图，作以AB为直径的OO； ADB是将 ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，.ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 ,°.0为AB的中点，连接DO,，OD=OB 得AB,点D在OO上.在 RtMCB 中，BC=s?¥，AC=2;"CAB修搏Z CAB=Z BAD=30 ；Z ABC=Z ABD=60 ；.BOD是等边三角形.Z BOD=60 .Z ABC=

31、Z BOD,.'.FC/ DO.DFXCG,Z ODF=Z BFD=90 ；ODXFD, .FD为。O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法，可证点 C在。上;二四边形ADBC是圆内接四边形.Z FBD=Z1 + Z2.同理 ZFDB=Z2+Z 3. Z 1 = Z 2=Z3,Z FBD=Z FDB, 又/ DFB=90 .EC=AC=2设 BC=x,则 BD=BC=x Z EDB=90 , EB=./2x. EB+BC=EQ /2x+x=2, 解得 x=2V2 2,.BC=?72- 2,11 .问题发现.(1)如图，RtABC中，ZC=90°, AC= 3,

32、BC= 4,点D是AB边上任意一点，则 CD的 最小值为.(2)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的 最小值.(3)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,点E是AB边上一点，且 AE= 2,点F是BC边 上的任意一点，把 4BEF沿EF翻折，点B的对应点为 G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，请说明理由.MN的最小值为961525.(3) 212 八【答案】(1) CD ；(2) CM5试题分析：(1)根据两种不同方法求面积公式求解；(2)作C关于BD的对称点C ,

33、过C作BC的垂线，垂足为 N ,求C N的长即可;(3)连接AC ,则Sfaagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,则点 G 的轨迹为以 E 为圆 心，1为半径的一段弧.过 E作AC的垂线，与O E交于点G ,垂足为M ,由 VAEMsVACB求得gm的值，再由 S四边形AGCDSVACDSVACG求解即可.试题解析：(1)从C到AB距离最小即为过 zKA DHCD AB AC BC-SVABC，22AC BC 3 4 12CD ,AB55(2)作C关于BD的对称点CC作AB的垂线，垂足为D ,，过C作BC的垂线，垂足为N ,且与BD交于M ,N N则CM MN

34、的最小值为C N的长，设CC与BD交于H ,则CH BD ,八八一.12 VBMCsVBCD，且 CH ，5一_ - 24CCBBDC , CC ，5VC NCsVBCD ,丝4CN CCB )纥BD52596即CM MN的最小值为96 .25(3)连接 AC ,则 Szgagcd Svadc 'amd堤沙ACG，1,1为半径的一段弧.GBEB AB AE 3 2，点G的轨迹为以E为圆心,过E作AC的垂线，与。E交于点G ,垂足为M , VAEM sVACB ,EM AEBC ACAE BC 248EM ,AC 55-83GM EM EG - 155S四边形 AGCD SVACD SV

35、ACG，15.2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题,灵活运用两点之间线段最短解决问题.12 .解决问题：1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径为4, AOB 45°, P为弧AB上一点，分别在 OA边找 点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形ABCD的边长为472； E是CD上一点（不与D、C重合），CF BE于F, P在B

36、E上，且PF CF , M、N分别是AB、AC上动点，求VPMN周长 的最小值.图图图【答案】（1） 11, 3; （2）图见解析，VPEF周长最小值为442 ； （3） 4J10 472 .【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3;2作点P关于直线OA的对称点Pi ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接Pi、P2 ,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即可；3类似2题作对称点，VPMN周长最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理

37、求解.【详解】解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA1 7 4 3,故答案为11和3;2如图，以。为圆心，OA为半径，画弧 AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求.连接 OP、OP2、OP、PE、PF,由对称知识可知，AO" AOP ,BOP2BOP , PE RE ,

38、PF P2FAOP1BOP2AOP BOP AOB 45o,POP245o 45o 90°,VPOP2为等腰直角三角形，PP2 a/2Or 4V2,VPEF 周长 PE PF EF P1E F2F EF RP2 4J2 ,此时 VPEF 周长最小.故答案为4 1 2；3作点P关于直线AB的对称P,连接AR、BP,作点P关于直线AC的对称P2,连接Pi、P2,与AB、AC分别交于点M、N.如图由对称知识可知， PM PM , PN P2N , VPMN周长PM PN MN PM1 P2N MN PP2 ,此时，VPMN周长最小 PP2.由对称性可知，BARBAP,EAP2EAP, AR

39、 AP AP2,BAPEAP2BAP EAP BAC 45°PAP245° 45° 90°,VP1AB为等腰直角三角形,VPMN周长最小值 P1P2 J2ap ,当AP最短时，周长最小.连接DF.QCF BE ,且 PF CF ,PCF 45o, PC & CFQ ACD 450,PCF ACD , PCA FCD ,a AC o又 J2 ,CDAC PC在 VAPC 与 VDFC 中，土 PC, PCA FCD CD CFVAPC s VDFC , 世”亚 DF CDAP 2DFQ BFC 90°,取 AB 中点 O.点F在以BC为直

40、径的圆上运动，当 D、F、。三点在同一直线上时， DF最短.DF DO FO JOC2 CD2 OC &2例2 (4物2 272 2函 272，AP最小值为AP V2DF此时，VPMN周长最小值PP2V2APV2应DFV2近2M2&4而4庭.【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.13.如图1,在RtABC中，ZABC=90°, BA=BC,直线MN是过点A的直线CD± MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC, AD, BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点

41、B作B已BD,交MN于点E,进而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 DC, AD, BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当 4ABD面积取得最大值时，若 CD长为1 ,请直接写BD的长.【答案】(1)夜；(2) AD- DC=y2 BD； (3) BD=AD=72+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC, AD, BD之间的数量关系(2)过点B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O,证明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根据 BED为等腰直角三角形，得到 D

42、E J2BD ,再根据DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点 D在线段AB的垂直平分线上且在 AB的右侧 时，4ABD的面积最大.在DA上截取一点 H,使得CD=DH=1,则易证 CH AH J2, 由BD AD即可得出答案.【详解】却由题意： BAE0 BCD ,.AE=CD, BE=BD .CD+AD=AD+AE=DEBDE是等腰直角三角形, DE= 2 BD, . DC+AD= 2 BD, AD DC V2BD -证明：如图，过点 B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CBDABE CB

43、D .EBC,BAEAOB 90 , BCD COD 90 , AOBBAE BCD ,ABE DBC .又 AB CB ,CDB0 AEB,CD AE , EB BD ,BD为等腰直角三角形， DE J2BD DE AD AE AD CD , AD DC >/2BD -(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点 D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，4ABD的面积最大.此时DG±AB, DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH AHBD AD ,2 1-【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线 和

44、熟悉图形特性是解题的关键 .14.已知， ABC内接于e O ,点P是弧AB的中点，连接 PA、PB ;(1)如图 1,若 AC BC,求证：AB PC;(2)如图2,若PA平分 CPM ,求证：AB AC ;24.(3)在(2)的条件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25匿 1-【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2 J5.【解析】【分析】由点P是弧AB的中点，可得出 AP=BP通过证明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AECBEC进而证明AB PC.(2)由PA是/ CPM的角平分线，得到 / MPA=Z APC,等量代换得到/ ABC=Z ACB,根据等腰三 角形的判定定理即可证得 AB=AC.过A点作AD± BC,有三线合一可知 AD平分BC,点O在AD上，连结OB,则/ BOD= / BAC,根据圆周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BD、一 -， 一 一 ，sin BOD sin BPC ，设OB=25x ,根据勾股定理可算出 OB、BD、OD、AD的 OB长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：(1)二.点P是弧AB