2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)(含详解)

1、2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何 )1 .如图，点O是等边 ABC内一点， AOB 110 , BOC .以OC为一边 作等边三角形 OCD，连接AC、AD .(1)若 120 ,判断 OB OD BD (填“， 或”)(2)当150，试判断 AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当 时，AOD是等腰三角形.(请直接写出答案)【答案】(1) 二; (2) ADO是直角三角形，证明见详解；(3) 125、110、140 .【分析】(1)根据等边三角形性质得出COD 60 ,利用？BOC a = 120。求出BOD 180，所以B, O, D三点共线，即有 OB+OD= BD ；(2)

2、首先根据已知条件可以证明BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出 ADO的度数，由此即可判定AOD的形状；(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解.2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点 A、C在坐标轴上，B(18,6),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合.1 1 )求点E的坐标;(2)点P从O出发，沿折线O A E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设 P的运动时间为t, VPCE的面积为S,求S与t的关系式，直接写出t的取值范围；3(3)在(2)的条件下，当PA=2PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使

3、得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标.【答案】(1) E (10, 6); (2) S= -8t+54(0<t<3)或 S=-6t+48(3<t<8); (3)存在， Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ).【详解】解：(1)如图 1,矩形 ABCO 中，B (18, 6),. AB=18 , BC=6 ,设 AE=x ,贝U EC=x , BE=18-x ,Rt任BC中，由勾股定理得：EB2+BC2=EC2,(18-x ) 2+6 2=x 2,x=10 ,即 AE=10 ,.E (10,

4、 6);(2)分两种情况:当P在OA上时，0WtW3,如图2,S=S 矩形 OABC-SZPAE-SZBEC-SZOPC ,111=18 X6- - X10 (6-2t ) -5X8X6-3x18x21, =-8t+54当P在AE上时，3<t<8,如图3,邺右S= 1PE?BC= 1><6X(16 - 2t)=3 (16-2t ) =-6t+48 ;22，3(3)存在，由 PA= - PE可知：P在AE上，如图4,过G作GH ± OC于H,2.AP+PE=10.AP=6 , PE=4 ,设 OF=y ,贝U FG=y , FC=18-y ,由折叠得：/ CGF

5、= /AOF=90 ° ,由勾股定理得：FC2=FG 2+CG 2 ,(18-y ) 2=y 2+6 2,y=8 ,. FG=8 , FC=18-8=10,-FC?GH = - FG?CG,221 1一 X10 XGH = 一 X6X8 ,2 2GH=4.8 ,由勾股定理得：FH=金482 =6.4 ,. OH=8+6.4=14.4,.G (14.4 , -4.8 ),点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形，且 PE=4 ,. Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ).k .3.如图1,平面直角坐标系xoy中，A( - 4, 3),反比例函数y -(k 0)

6、的图象分 x别交矩形ABOC的两边AC, BC于E, F （E, F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A, D重合.(1)如图2,当点D恰好在矩形 ABOC的对角线BC上时，求CE的长；若折叠后点 D落在矩形ABOC内(不包括边界)，求线段CE长度的取值范围.(2)若折叠后， ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标._ 7. 23 3. . . 11 3.【答案】(1 )EC= 2 ;；CE 4 ； (2)点D的坐标为(，)或(一，一)88 25 5【详解】kk.解：(1)由题息得E(,3) , F ( 4, 一)，34一k 一kk 0 ,则 EC , FB,34kk.AE 4

7、, AF 3 , 34k 1生 3 321 4AF 3 K 1(12 k) 3 44.由 A( 4, 3)得：AC 4, AB 3,AC 4-,AB 3AE AC一 一,AF AB又,"= /A,ZAEFsACB ,"EF= ZACB ,.EF/CB,由折叠的性质得：AH=DH. D在BC上,25878，.AEEC .ECAHDH1a， 21 ,则 AE2;由折叠得EF垂直平分AD,/AHE 90 ,则 EAH AEF 90 ,又 BAD EAH BAC 90 , BAD AEF ,如图，当D落在BO上时，EAF ABD 90 ,ZAEFs/bad ,AEAF皿ABAE4，

8、则,ABBDBDAF343 9.BDAB-3 -34 4设 AF=x ,贝U FB=3 -x, FD=AF=x ,在RtABDF中，由勾股定理得：FB2 BD2 FD2,一2即(3 x)2x2 ,解得:7532，.AF.AE.CE75一,324 AF34 AE753225D落在矩形ABOC内（不包括边界），CE的取值范围为.7 CE 4,即折叠后点8CE4；（2） -. MBD是等腰三角形，显然 AB AD , .AD BD 或 AD AB ,当ADBD时,BAD ABD ,由（1）得:BADABD如图，过点D作DG/x轴分别交AB、y轴于点M、N ,yj则 DM AB ， MN AC4, B

9、MD EAF 90BM2 ABZAEFs/MBDAEAFMBAEMBMD.MDMBMD32. DNMNMDAF9898238，当AD AB时，如图，过点EB,23 3、，点D的坐标为（,一）；8 2D作DG /x轴分别交AB、y轴于点M、N ,则 AD AB 3, DM AB , MN AC 4, AMD EAF 90 ,由(1)得 BAD AEF ，ZAEFs/MAD ,AEAFAMAE 4 ，贝U -AMMDMD AF 3设 AM 4a ,则 MD 3a ,在RtMAD中，由勾股定理得：AM2 MD22223即(4a)2 (3a)232，解得：a -,5129.AM 一， MD -, 55

10、MD11512 3.BM AB AM 3 - - , DN MN5511 3、，点D的坐标为(一)；5 5综上所述，若折叠后， ABD是等腰三角形，点D的坐标为(23，|)或(8 211 35 ,5P, Q是9BC边上的4 .如图，已知在 ABC 中，ZB=90 ° ,AB=8cm , BC=6cm两个动点，其中点 P从点A出发沿A - B方向运动，速度为每秒 1cm ,到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B - C-A方向运动，速度为每秒2cm，到达点A停止运动.它们同时出发，设出发时间为 t秒.(1)当 t=秒时，PQ /AC ;(2)设4PQB的面积为S,求S关于t的函数关系式，

11、并写出自变量的取值范围;(3)当点Q在边CA上运动时，直接写出能使 BCQ为等腰三角形的t的值.2423j 48, 192【答案】(1) 一; (2) S=-t 2+8t (043)或$=-1-t (3<t<8 ); (3)11555当t为5.5 , 6或6.6时，4BCQ为等腰三角形.【详解】 解：(1)如图，当 PQ/AC 时，4BaPs/BCA,BQ BP2t 8 t,即BC AB6824解得:t=11故答案为:24iT ；(2)解：当0<t W3时，如图所示:BQ=2t , BP=8-t ,贝U S= 1 BP BQ 21=-X(8-t) X2t2=-t 2+8t ,

12、当3<t<8 时，如图所示，过点 Q作QH ±AH于点H ,HQ= 3(16-2t),-1,.S= BP HQ213=-8 t - 16 2t 253,2 48, 192=-t t ；555(3)当t为5.5 , 6或6.6时，4BCQ为等腰三角形,当CQ=BQ时，如图所示：贝U/C= ZCBQ ,. ,"BC=90 ° ,XBQ+ ZABQ=90 ° , A+ ZC=90"= ZABQ ,.BQ=AQ ,1 .CQ=AQ=5 ,2 .BC+CQ=11 ,3 .t=11 +2=5.5当CQ=BC时，如图所示：则 BC+CQ=12 ,

13、4 .t=12 +2=6当BC=BQ 时，如图所示、过点 B作BEX AC于点 巳贝U BE二AB BCAC10=4.8 ,- ce= Vbc2Be2 =3.6, .CQ=2CE=7.2 , .BC+CQ=13.2 , . t=13.2 +2=6.6 ,综上，当t为5.5 , 6或6.6时，4BCQ为等腰三角形.5.在Rt ABC中，AB 6, B 90 , BC 8,点P从A出发沿AC方向在运动速度为3个单位/秒，点Q从C出发向点B运动，速度为1个单位/秒，P、Q同时出发，点Q到点B时两点同时停止运动.(1)点P在线段AC上运动，过P作DPPDPQ交边AB于D , t 2时，求正的值;(2)

14、运动t秒后，BPQ 90 ,求此时t的值；(3) t 时，AQ QP.30100【答案】(1) 2; (2) t 2或一；(3) 一1923【详解】(1)如图1中，作PE AB于E , PF BC于F ,AB 6, B 90 , BC 8,.AC=10 ,t 2, .AP 6, CQ 2. PEBC ,PAPE AE, ACBC AB6 PE AE一 一, 1086. PE 4.8, AE 3.6, BE 2.4,. PEB EBF PFB 90 ,.四边形EBFP是矩形， .PF BE 2.4,EPF QPD 90 ,EPD FPQ ,PEDs pfqPD PE 4.8 八一 一 一 2PQ

15、 PF 2.4(2)如图2中，作PE AB于E ,. PE/BC ,PEBC.PEAP AE , AC AB12_9t AE -t EB 5 '5 ，EPB PBQ PEB BPQ 90PEBs BPQ ,PE PBPB BQ '12t (8 t)512t596 -t八30-t 2 或.19(3)如图3中作QF AC于F ,QFCQCF:.QFCsABCQFAB. QFQCAC '3t, 5.AQAF2.AQ2AB2BQ2QF2AF2,.62(8t)23t5Wt 2整理得:161t21600t10000 0,解得t10010023故答案为:100236 .如图 1 ,在

16、 Rt MBC 中，/ A = 90 ° , AB = AC ,点 D , E 分别在边 AB , AC 上,AD =AE,连接DC,点M , P, N分别为DE, DC, BC的中点.(1 )观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明：把那DE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置，连接MN , BD , CE,判断4PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把 ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD=4, AB = 10,请直接写 出4PMN面积的最大值.【答案】(1) PM=PN, PMPN; (2) APMN是等腰直角三角形，证明详见解析;, 、 4

17、9(3). 2【详解】解：(1)二.点P, N是BC, CD的中点，. PN /BD, PN = -BD ,2点P, M是CD, DE的中点，-1八. PM /CE, PM = - CE,21 .AB=AC, AD=AE,.BD = CE,. PM = PN ,. PN /BD,2 .ZDPN =/ADC ,. PM /CE,ZDPM = ZDCA ,.ZBAC = 90"DC+ ZACD =90 ° ,JMPN =/DPM+ /DPN=/DCA+ /ADC = 90 ° ,. PM ±PN ,故答案为:PM=PN, PMPN;(2) APMN是等腰直角

18、三角形.由旋转知，/ BAD =ZCAE,1 .AB=AC, AD=AE,2 .ZABDzACE (SAS),，"BD=/ACE, BD = CE,利用三角形的中位线得，PN = - BD , PM = 1 CE,22. PM = PN ,3 .ZPMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM /CE,4 .ZDPM =/DCE,同(1)的方法得，PN /BD,5 ./PNC =/DBC ,. ZDPN =ZDCB+ /PNC=/DCB+ ZDBC , JMPN =/DPM+ ZDPN =/DCE+ ZDCB+ ZDBC= /BCE+ /DBC = /ACB+ ZACE+ ZDBC= /ACB+ ZABD+ /DBC=/ACB+ /ABC,. ZBAC = 90 ° ,. ."CB+ /ABC = 90 ° , ./MPN =90 .ZPMN是等腰直角三角形;同（2）的方法得， PMN是等腰直角三角形， MN最大时，4PMN的面积最大， .DE /BC且DE在顶点 A上面，