2020-2021无锡中考数学二模试题分类汇编——相似综合

1、2020-2021无锡中考数学二模试题分类汇编一一相似综合一、相似1 .如图，在矩形 ABCD中，AB=18cm, AD=9cm,点 M沿AB边从 A点开始向 B以2cm/s的速度移动，点 N沿DA边从D点开始向M、N同时出发，用t (s)表示移动时间(046，求:A以1cm/s的速度移动.如果点(1)当t为何值时，/ANM=45 ?(2)计算四边形 AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论;(3)当t为何值时，以点 M、N、A为顶点的三角形与 BCD相似？【答案】(1)解：对于任何时刻 t, AM=2t, DN=t, NA=9-t,当 AN=AM 时，AMAN为等腰直角三角形，即

2、：9-t=2t,解得：t=3 (s),所以，当t=3s时，AMAN为等腰直角三角形(2)解：在 4NAC 中，NA=9-t, NA 边上的高 DC=12,1 1 S*A NAC=NA?DC=a(9-t) ?18=81-9t.在 AMC 中，AM=2t , BC=9,Saamc=' AM?BC=:？2t?9=9t .二. S 四边形 namc=Sxnac+Saamc=81 (cm2).由计算结果发现：在M、N两点移动的过程中，四边形 NAMC的面积始终保持不变.(也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变)(3)解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形 ABCD中：当NA: A

3、B=AM : BC 时，NA2 4ABC,那么有：(9-t) : 18=2t: 9,解得 t=1.8 (s),即当 t=1.8s 时，NA'ABC; 当 NA: BC=AM: AB 时，MANsabc,那么有：(9-t) : 9=2t: 18,解得 t=4.5 (s),即当 t=4.5s 时， MANs ABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与 4ABC相似【解析】【分析】(1)根据题意可得：因为对于任何时刻t, AM=2t, DN=t, NA=9-t.当NA=AM时，/MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2)根据(1)中.在4NAC中，N

4、A=9-t, NA边上的高DC=18,利用三角形的面积公式， 可得Sanac= =81-9t, SaAMc=9t.就可得出 S四边形namc=81 ,因此在 M、N两点移动的过程 中，四边形NAMC的面积始终保持不变。(3)根据题意，在矩形 ABCD中，可分为 当NA: AB=AM: BC时，NA24ABC; 当NA: BC=AM: AB时， MAN s ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答 案。2.如图，在。0中，直径 AB经过弦CD的中点E,点M在OD上，AM的延长线交。于 点G,交过 D的直线于F,且/BDF=Z CDB, BD与CG交于点N.(1)求证：DF是。的切线;(2

5、)连结MN,猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明. 【答案】(1)证明：二.直彳至AB经过弦CD的中点E,二四上修，窗=创,二 /BOB = 2ZCDB.；*= XO夙Z= /CDF,V NBOD + /触=邮" ZODE + NQF = 901即,: "是£的切线(2)解：猜想：MN/AB.证明：连结CB.直径AB经过弦CD的中点E,=,=,|或-.一，；2 如.；， 一硬；.学"加 产.AO 0M fCB BN限="4 =.决|DO OM f “丽一而.DO DM “而一"Qj"哪考/匚二一.I"割?=/志心

6、.MN / AB.【解析】 【分析】(1)要证 DF是。O的切线，由切线的判定知，只须证/ ODF先“即可。由垂径定理可得 AB± CD,贝U / BOD+/ ODE=用,而/ ODF=/ CDF+Z ODE,由已知易 得/BOD=/ CDF,则结论可得证；(2)猜想：MN/AB.理由：连结 CB,由已知易证CBNAOM ,可得比例式AO OMDO DMCB m，于是由已知条件可转化为'泗 而，/ ODB是公共角，所以可得 MDNAODB,贝U/DMN=/DOB,根据平行线白判定可得 MN /AB。3.如图1,过等边三角形 ABC边AB上一点D作DE"。交边AC于点

7、E,分另1取BC, DE 的中点M, N,连接MN.33Cc图1图3S A/图2(1)发现:在图MM1 中，BD(2)应用:如图2,将/ ADE绕点A旋转，请求出MNBD的值;(3)拓展:如图3, ABC 和| /ADE是等腰三角形，且|/BAC 二 -DAE , M, N分别是底边BC,MXDE的中点，若 比 工CE,请直接写出 而的值.AM、AN,【答案】(1):上BAD上MAN?：2 ABC, A ADE都是等边三角形，BY MC ,帆 %:媪 1 BC * 土 DE? ?AN-sinfit?AD- MAN?MN AM。j3BD AB-sin&O - r(3)解：如图3中，连接

8、AM、AN,延长 AD交CE于H,交AC于O,A图3AC AD AE 醐 CM 踹 NEAM 1 K 城 1 DE:'nBAC jDAE , : JIBC /疝目，：siiijABY sin/ADY ?AM AN-9"AB AD .【解析】【解答】解：（1）如图1中，作DH工EC于H,连接am,ASi丁妞 AC ,网 LM, AM 1 BC：*£ ADE时等边三角形， ：-ADE="二*B| ? : DE/ 吟:* AM 1 BC ? AM 工 DE , ：W平分线段DE,:* DM - NE ? ：A、N、M共线， ：/NMH =上MND = NDHM

9、=如“ ?J四边形MNDH时矩形， : MN DH ?MNDH，陋二一-sintft? - -1BDBD2?也故答案为：J ;【分析】(1)作 DH，BC于H,连接 AM.证四边形 MNDH时矩形，所以 MN=DH,则 MN: BD=DH: BD=sin60 ；即可求解；(2)利用 ABC , ADE都是等边三角形可得 AM: AB=AN: AD,易得/ BAD = /MAN ,从而得 BAD s man,贝U NM: BD=AM: AB=sin60 ；从而求解；(3)连接 AM、AN,延长 AD交CE于H,交AC于O.先证明 BAD s man可得 NM: BD=AM: AB=sin/ABC

10、;再证明 BAD CAE,贝 U / ABD = / ACE ,进而可得 / ABC = 45,可求出答案.4.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB边上的中点，RtEFG的直角顶 点E在AB边上移动.F(1)如图1,若点D与点E重合且EG，AC、DU BC,分另U交 AC BC于点M、N,易证EM=EN;如图2,若点D与点E重合，将 EFG绕点D旋转，则线段 EM与EN的长 度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的RtEGF绕点D顺时针旋转角度 a(0< “V45 ),如图2,在旋转过程中，当 /MDC=15°时，连接

11、MN,若AC= BC= 2,请求出线段 MN的长；（3）图3,旋转后，若RtEGF的顶点E在线段AB上移动（不与点D、B重合），当AB= 3AE 时，线段EM与EN的数量关系是 ;当AB= m-AE时，线段EM与EN的数量关系 是.【答案】（1）解：EM=EN原因如下：3 / ACB= 90 ° AC= BC D是 AB 边上的中点.DC=DB /ACD=/B=45° / CDB= 90 °4 / CD斗 / FDB= 90 °5 / GDF= 90 °.1. / GDC+ / CDF= 90 二 C CDM= / BDN在CDM和4BDN中/

12、MCD=/B, DC= DB, /CDM=/BDN,6 .CDMABDN DM = DN 即 EM= EN(2)解：作DP,AC于P,则/ CDP= 45 ° CP= DP= AP= 17 / CDG= 15/ MDP = 30. cos/ MDP= MND为等腰直角三角形(3) NE= 2ME; EN= (m 1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m 1)ME证明：如图3,过点E作EP)±AB交AC于点P则4AEP为等腰直角三角形，/ PEB= 90°1 .AE=PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又 / MEP+

13、/ PEN= 90°/ PEN+ / NEB= 90 °/ MEP= / NEB又 / MPE= / B=45°2 .PMEABNE悭 PE 1班一，即 EN= 2EM由此规律可知，当 AB= mAE时，EN=(m-1) ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出 DC= DB Z ACD= Z B= 45° / CDB= 90°根据同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判断出 CDMABDN根据全等三角形的应边相等得出 DM = DN即EM=EN;(2)根据等腰直角三角形的性质得出/CDP= 45

14、° CP= DP=AP= 1,根据角的和差得出/MDP = 30 ；根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos/MDP=的得出DM的长，又DM = DN,故4MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN 的长；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如图3,过点E作EP!AB交AC于点 巳 则4AEP为等腰直角 三角形，ZPEB= 90° ,根据同角的余角相等得出/ MEP = / NEB然后判断出 PMEABNE,根据相似三角形对应边成比例即可得出 u结论，由此规律可知，当 AB = m AE 时，EN= (m-1) ME 5.已知直线 m/n

15、,点C是直线m上一点，点 D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂 直，点P为线段CD的中点.m hm/用(1)操作发现：直线 l，m, l±n,垂足分别为 A、B,当点A与点C重合时(如图 所 示)，连接PB,请直接写出线段 PA与PB的数量关系： .(2)猜想证明：在图 的情况下，把直线 l向上平移到如图 的位置，试问(1)中的 PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(3)延伸探究：在图 的情况下，把直线 l绕点A旋转，使得/APB=90 (如图所 示)，若两平行线 m、n之间的距离为 2k.求证：PA?PB=k?AB【答案】(1) PA=PB(2)

16、解：把直线l向上平移到如图 的位置，PA=PM然成立，理由如下:如图，过C作CH n于点E,连接PE,* ，2三角形CED是直角三角形，点 P为线段CD的中点，PD=PEPC=PE PD=PE/ CDE=/ PEB直线 m / n, . . / CDE=Z PCA,，/PCA=/ PEB,又直线 l,m, l±n, CE! m, CE! n, ：.H CE, ，AC=BEPC = PEZPCA =/FEE在 APAC 和 PBE 中，W BE.PAgPBE, . PA=PB(3)解：如图，延长AP交直线n于点F,彳AE± BD于点E,直线 m / n ,AP=PF, / A

17、PB=90 ,°BP± AF,又 AP=PF,BF=AB;在AAEF和4BPF中，AEF = ZBPF = 90*kFE =*HFPAAEFABPF,AF ABBF 一讪, .AF?BP=AE?BFPA?PB=k?AB.三角形CBD是直角三角形，又二.点P,. AF=2PA, AE=2k, BF=AB, . 2PA?PB=2k AB,【解析】【解答】解：（1） .l±n, ，BCa BD,为线段CD的中点,PA=PB【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；(2)把直线l向上平移到如图 的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图 ，过C作 CE!

18、n于点E,连接PE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC根据等边对等角得出 / CDE=Z PEB,根据二直线平行，内错角相等得出/ CDE=Z PCA,故/ PCA=/ PEB,根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE然后利用 SAS判断出 PAC PBE,根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB(3)如图，延长AP交直线n于点F,彳AELBD于点E,根据平行线分线段成比例定 理得出ap=pf,根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB;然后判断出AEFBPF,根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF?BP=AE?BF根据等量代换得出 2PA

19、?PB=2k AB,即 PA?PB=k?AB 6.如图，已知 AB是。的直径，弦 CD与AB交于点E, F为CD的延长线上一点，连接AF,且 FA2=FD?FC(1)求证：FA为。的切线；(2)若 AC=8, CE ED=6: 5, AE: EB=2: 3,求 AB 的值.【答案】(1)证明：连接BD> AD,如图，F声-FD FC,FA FC：.7b "方 / F=Z F, .FADAFCA./ DAF=Z C. / DBA=Z C, / DBA=Z DAF.AB是。的直径，：.一门阴，=绚1，二必14 =缈1RE招二的: 即 AF±AB. .FA为。O的切线.(2

20、)解：设 CE=6x, AE=2y,则 ED=5x, EB=3y. 由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.30 少上，J .，肛， A5七A Zl'AB - 90 ,皿 FC =- A度卬仞11 x) = (FD W- (yj5x) . FD=5x.J#1 = H) - FC = 80f.At, 人立七.上FAF 二/ ° . H) = ED =助 ED 5x. .FADAFCA.AD DF .而不AD - VF - 5xr AC = & 好 人每，5x 5x8!5x |5.f5a - 10.，AB的值为10【解析】【分析】(1)连接BD、AD,根据两边成比例且夹角

21、相等可得FADFCA由 FAg FCA及同弧所对的圆周角相等可得/ DBA=Z DAF;再根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论。(2)设CE=6x则ED=5x,用相交弦定理表示出则AE的长，用勾股定理及题中的已知条件分别表示出FD> AF、AD的长；再利用 FA2 4FCA即可得出结论。7.如图1,在 ABC中，/BAC=90°, AB=AC=4, D是BC上一个动点，连接 AD,以 AD为边向右侧作等腰直角 4ADE,其中/ADE=90.求证：(1 )如图2 , G , H分别是边AB , BC的中点，连接DG, AH , EH. AGDsMHE；(2)如图3,连接BE,直

22、接写出当BD为何值时，4ABE是等腰三角形;(3)在点D从点B向点C运动过程中，求 4ABE周长的最小值.【答案】(1)证明：如图2,由题意知4ABC和4ADE都是等腰直角三角形,/ B=ZDAE=45 ,°2 .H为BC中点,3 AHXBC./ BAH=45 =/ DAE./ GAD=Z HAE.在等腰直角 BAH和等腰直角4DAE中，AH= J AB=把 AG, AE=% AD.AH云一五4 r ?5 .AGDAAHE;(2)解：分三种情况： 当B与D重合时，即BD=0,如图3,此时AB=BE;C重合,.BD= BC=2当AB=BE时，如图 5,过E作EH，AB于H,交BC于M,

23、连接 AM,过E作EG±BC于.AM=BM ,6 / ABC=45 ；旦 TH等腰直角三角形,o.-.AM ±BC, ABMH ,. AD=DE, /ADE=90, 易得ADM0DEG,.DM=EG,7 / EMG=Z BMH=45 ； EMG是等腰直角三角形,.ME= 7= MG,HE由(1)得：AHDsAME,且防，/AHD=/ AME=135 ； ME=在 DH,/ BHD=45 ； MG=DH, BDH是等腰直角三角形，bd=dh=eg=dmM ;综上所述，当BD=0或V2或2%'£时，4ABE是等腰三角形；(3)解：当点D与点B重合时，点E的位置

24、记为点 M,连接CM,如图6,AN此时，ZABM=ZBAC=90, ZAMB=ZBAM=45 , BM=AB=AC.四边形abmc是正方形./ BMC=90 ；/ AMC=Z BMC-Z AMB=45 ； / BAM=Z DAE=45 ；z bad=z mae,在等腰直角 bam和等腰直角 adae中， rIAM= 5 ab, ae=Mad. A8 AL2 .ABDAAME./ AME=Z ABD=45 °.点e在射线mc上，作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E',3 be+ae=ne+ae > an=ne ' +ae =be ' +ae

25、' ABE就是所求周长最小的 abe.在 RtABN 中，. AB=4, BN=2BM=2AB=8,.AN=(疝：/ 加 S ABE周长最小值为 AB+AN= 4+4 被.【解析】【分析】(1 )由等腰直角三角形的性质可得 / B=Z DAE=Z BAH=45 ,所以AH 施/GAD=/ HAE,计算可得比例式： 弘 康,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等 的两个三角形相似可得 AGD AHE;(2)根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：当B与D重合时，即BD=0,此时AB=BE 当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得 BD的值；当AB=BE时，过 E作EHI

26、7; AB于H,交BC于 M,连接 AM,过E作EG± BC于G,连接 DH,由已知条件和(1)的结论可求解；(3)当点D与点B重合时，点E的位置记为点 M,连接CM,作点B关于直线MC的对称 点N,连接AN交MC于点E',由已知条件易证四边形 ABMC是正方形，由已知条件通过计AM Ah算易得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得ABA4AME,则/AME=/ABD=45 ,于是可得点 E在射线 MC上，根据轴对称的性 质可得 ABE就是所求周长最小的 ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得 AN的值， 则 ABE周长最小值=AB+AN

27、即可求解。8.书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小.如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到 4开纸，以此类推可以得到 8开纸、16开纸若这张矩形印刷用纸的短边长为a.(1)如图，若将这张矩形印刷用纸 ABCD(ABBC世行折叠，使得 BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE;展开后，再次折叠该纸，使点 A落在E处，此时折痕恰好经 AB过点B,得到折痕BG,求比的值.(2)如图，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是 HC HM .说明HC± HM .(3)将图中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图所示的方式摆放，依次连接点A、B M、I,则四边形 A

28、BMI的面积是 .(用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形， / ABC / C = 90 ,°第一次折叠使点 C落在AB上的F处，并使折痕经过点 B, / CBE/ FBE = 45 ； / CBE/ CEB = 45 ,° BC CEa, BE 、&. 第二次折叠纸片，使点 A落在E处，得到折痕BG,.AB BE =，鸟，AB 二隹BC（2）解：根据题意和（AM AH /1）中的结论，有 四边形ABCD是矩形， / A / B 90 ； .MAHAHBC, / AHM/ BCH. / BCH / BHC 90 ； / AHM +

29、 / BHC 90 , / MHC 90 ; HCXHM .【解析】【解答】解：（3）如图，根据题意知(1)中的结论，有 BC=AD= 2 a, AF=IG=J a, NI=MP= ./ a, OP= I a, 又 / C=Z ADE=90 , / BEC=/ AED,.?BCE ?ADE,- S ?BCE=S?ADE,同理可得，S?AFH=S?IGH, S ?INQ=S ?MPQ,，四边形 ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC=卓 .【分析】(1)利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在 AB上的F处，可得出/CBE=/ FBE=/ CEB=45,°可得出 C

30、E=BC利用勾股定理可用含 a的代数式求出 BE的长， 再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG,可用含a的代数式表示出 AB的长，然后求出AB与BC的比值。(2)利用(1)的结论，可用含 a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出AM 用1切 比，利用矩形的性质可得出/ A = / B,再根据相似三角形的性质，证明 MAHshbC,利用相似三角形的性质，去证明 ZAHM + /BHC = 90 °,然后利用垂直的 定义可解答。(3)利用已知条件证明 ？BCE?ADE,可证得 S?bce=S?ade , S?afh=S?igh, S?inq=S?mpq ,再 根据四边形

31、 ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC ,可求出答案。9.如图，抛物线 y=ax2 - 5ax+c与坐标轴分别交于点 A, C, E三点，其中 A (- 3, 0) , CD,点M, N分别是(0, 4)，点B在x轴上，AC=BC过点B作BD)±x轴交抛物线于点线段CO, BC上的动点，且 CM=BN,连接MN, AM , AN.(1)求抛物线的解析式及点 D的坐标；(2)当4CMN是直角三角形时，求点 M的坐标;(3)试求出AM+AN的最小值.【答案】(1 )解：把A ( 3 , 0 )1就二 一-麴 + 15a -f- c = 0，6c = 4 ，解得

32、L ；,C ( 0 , 4 )代入 y=ax2 - 5ax+c 得，抛物线解析式为 y=- 6 x2+ 6 x+4；-. AC=BC, C01AB, .0B=0A=3,B (3, 0),.BDx轴交抛物线于点 D,.D点的横坐标为3,当 x=3 时，y=-J ToX 3+4=5.D点坐标为(3, 5)。（2）解：在 RtOBC中，BC=+ / = 4 干/ =5, 设 M （0, m）,贝U BN=CM=4- m, CN=5 （4m） =m+1, / MCN=Z OCB,.当 CO &时，CMNSCOB,贝U / CMN=/COB=90 ；16,此时M点坐标为（0, 9 ）;4 - m

33、 m 1Jb即 J 3 ,解得m= 9cm a当 ET? 辽时，CMNsCBO,则 / CNM=/COB=90,4 - m nt 1II11即 3/ ,解得m= " ,此时M点坐标为（0, 9 ）; 偿十？综上所述，M点的坐标为（0, 9 ）或（0, 9 ）。(3)解：连接DN, AD,如图, . AC=BC, CO±AB, OC 平分 Z ACB,Z ACO=Z BCO, BD / OC,/ BCO=Z DBC, DB=BC=AC=5 CM=BN, .ACMADBN, .AM=DN , .AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD (当且仅当点 A、N、D共线时取等号)，D

34、N+AN的最小值=AD=愣=、而,.AM+AN的最小值为 V".【解析】 【分析】(1)将A (-3, 0) , C (0, 4)代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线解析式；由AC=BQ CO>± AB,根据等腰三角形的三线合一 ”定理，可得OB=OA=3,而BDx轴交抛物线于点 D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即 可得点D的坐标。(2)当4CMN是直角三角形时，有两种情况：/CMN=90 ,或/ CNM=9°0 ,则可得 CMNscoB,或CMNscbq 由对应边成比例，设 M (0, m),构造方程解答即 可。(3)求AM+AN

35、的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数 关系式表示出 AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点A,M, N三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/ DBC,连接 AD,可证得ACM0DBN,贝 U AM=DN,而 DN+AN> AD(当且仅当点 A、N、D共线时取等号)，求 AD的长即可。10.(1)如图1所示，在小JABC中，= 90，AC 比，点加在斜边曲上，点E在直角边统上求证.J ACD - J BDE(2)如图2所示,在矩形ABCL中，泌 沁* , 8c ，仇建，点仍在欧

36、上，连接/力,过点区作上万上AE交 Q (或磔的延长线)于点产.若BE:EC = 为，求仃的长;班的长.AC 玳， 若点/恰好与点心重合，请在备用图上画出图形，并求 【答案】（1）证明：在兜中，£3 =笫1, .|上/:" 比|,|上水 -= 1的,于加e a尸，（2）解：四边形H皮Z是矩形,.-.一方二4”士五狂 / ZAEB =90°y.4!炉二/|,，|上屋F 十 ZBEA =90Qy.-./:/侬,.|/戌出 丝AB BE之一不_跳？&7 ' 1：如图所示，设班 4,由得八£也 A3,B E CAB BE 4 x. .豌一不,即空

37、 x 1整理，得：/10x 口=心，解得：W = 1 L -百，所以施的长为血或融通.【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明力庞-2八日即可证得结论；（2）仿（1）题证明日必 "明,再利用相似三角形的性质即可求得结果；由得J的E - d田，设的=4四 ,根据相似三角形的性质可得关于x解方程即可求得结果.11 .已知在 ABC中，AB=AC, AD± BC,垂足为点 D,以AD为对角线作正方形的方程,AEDF, DE点H.交AB于点M, DF交AC于点N,连结EF, EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、(1)求证：EG=HF;四(2)当/ BAC=60时

38、，求 而 的值;HF兰(3)设HE 二4AEH和四边形EDNH的面积分别为 S和a ,求可的最大值.【答案】(1)解：在正方形 AEDF中，OE=OF EF± AD,1 .ADXBC,2 .EF/ BC, ，/AGH=/ B, /AHG=/ C, 而 AB=AC,/ B=/C,/ AGH=/AHG,.AG=AH,3 .OG=OH,4 .OE-OG=OF-OH.EG=FH（2）解：当/BAC=60时，ABC为正三角形, ADXEF,/ OAH=30 ;AO 厂一二 5： % ,设 OH=a,贝U OA=OE=OF=n5 a,EH=（、台 *，）a, HF=（ '行 一 J ） a, AE/ FN, .AEhMANFH,ah eh /上I . .而一而/, . EF/ BC, .AOHAADC,OH OA /.-.pc 二， .CD=2a,易证HNFsCND,(3)解：设 EH=2m,贝U FH=2km, OA=1 EF= (k+1) m, Si=