中考数学压轴题专题复习—锐角三角函数的综合及答案解析

1、中考数学压轴题专题复习一锐角三角函数的综合及答案解析一、锐角三角函数DC F1.如图，山坡上有一棵树 AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6J3米，山坡的坡角 为30°.小宁在山脚的平地 F处测量这棵机勺高，点 C到测角仪EF的水平距离CF=1米, 从E处测得树顶部 A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.（参考数值：sin20 ° 0,34:os20° =0.94tan20° =0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为6 3米，山坡的坡角为 30°. . DC=BC?cos

2、30673 9 米，2,.CF=1 米, .DC=9+1=10 米， .GE=10 米， / AEG=45 ； .AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的长，然后求得 DF的长，进而求得 GF的长，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.已知RtABC中，AB是。的弦，斜边 AC交。于点D,且AD=DC,延长 CB交。O 于点E.(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 明理由；(

3、2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F. 若CF=CD时，求sin/CAB的值；CE的长？请说若CF=aCD(a>0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结 果)【答案】(1) AE=CE (2)"；口+2 .【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得 /AEF=90 从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得 力” =AD?AF. 当

4、CF=CD时，可得八= 型,从而有EC=AE=CD,在DEC中运用三角函数可得DC y3sin/CED""，根据圆周角定理可得 /CAB=/ DEC即可求出sin/CAB的值；当CF=aCD(a>0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1) AE=CE理由：连接 AE、DE,如图 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , AD=DQ.AE=CE(2)连接 AE、ED,如图2, ,/ABE=90,. AE是。的直径，: EF是。OO的切线，AE AD_ , _= 77/ AEF=90,/ ADE=/ AEF=90 ,

5、又/ DAE=Z EAF . AADEAAEF,.=AD?AF._一_ AE2=DC?3DC=,.-.AE=' DC, 1 EC=AE当 CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC, DC DC.EC=?DC, . .sinZ CAB=sinZ CED="=«"""= "a + 2 当 CF=aCD(a>0)时，sin/CAB=" + 2 ,. CF=aCD AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=(a+2) CD, . 昨DC? (a+2) DC= (a+2).AE=，G - 2DC, EC=AEEC

6、=/0 + 3DC,dc _ dc. .sin/CAB=sin/CEd" a = =Df = a+2 .考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型.3.如图，等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36°, BC=1,点 D 在边 AC 上且 BD 平分/ABC, 设 CD=x.(1)求证：ABJBCD;(2)求x的值；(3)求 cos36 -cos72 的值.【答案】证明见解析；（2）1痣;（3） 7石8 .216【解析】试题分析：（1）由等腰三角形 ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由 BD为角平分线 求出/DBC的度数，得到/DBC=Z A,再由/C为公共

7、角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC根据AD+DC表示出AC,由（1）两三角形相似得比 例求出x的值即可；(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形 ABE和直角三角形 BCE中，利用 锐角三角函数定义求出 cos36。与cos72。的值，代入原式计算即可得到结果.试题解析：(1)二.等腰 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=36 ,/ ABC=Z C=72 ； BD 平分 / ABC,/ ABD=Z CBD=36 ； / CBD=Z A=36 ； C C=Z C, .ABCABCD;(2)/ A=/ABD

8、=36 , .AD=BD, BD=BC, .AD=BD=CD=1,设 CD=x,贝U有 AB=AC=x+1,.ABCABCD,ABBD四，即由CD 1.E为CD中点,在 RtBCE 中,cosC=cos72 = ECBC1 、54整理得：x2+x-1=0,解得：Xi=5 , x2=2则x=2(3)过B作BEX AC,交AC于点E,口15即 DE=CE=154。AE在 RtABE 中,cosA=cos36 =AB则 cos36 -cos72 = 蕊 1 - _1一叵=1.442【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形.4.（本题满分14分，第（1）

9、小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图,AB是半圆O的直径，弦CD/AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP , AP的延长线与射线 OQ相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP OQ ;（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当 OPE是直角三角形时，求线段 OP的长.60x 300 50（77 x 10）;13（3） OP 8小小3 33x2OP DQ ,联结【答案】（1）证明见解析；（2） y 丝（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件,OD后还有OA DO ,再结合要证明的结论 AP OQ ,

10、则可肯定需证明三角形全等，寻 找已知对应边的夹角，即POA QDO即可；3）分（2）根据 PFCs PAO ,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（4成二种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC 、以及（1） （2）中已证的结论，注5意要对不符合（2）中定义域的答案舍去.【详解】（1）联结 OD，: OC OD , OCDODC , CD/AB , OCDCOA,POA QDO . 在AOP和ODQ中,OP DQ POA QDO , OA DO AOP ODQ , . AP OQ ;(2)作 PH OA,交 OA于 H ,4cos AOC ,443OH-OP-x,PH-x,555C1

11、 . S AOP AO PH 3x . 2 CD/AB ，PFCs PAO六(S AOPCPOP)2(2,x-23x 60x 300 r 工人1 y ,当F与点D重合时,八4 CD 2OC cos OCD 2 10 - 165，x1050一，解得x一，10 x161323x 60x 300 / 50y (- x 10)；x 13(3) 当 OPE 90o时，OPA 900, 4cOP OA cos AOC 10 - 8；5“ OC1010CQ 当 POE 90° 时，cos QCO cos AOC 45一一一一一25257OPDQCDCQCD16 -222252，5013OP 10

12、,OP -（舍去）； 2当 PEO 90° 时，CD/AB，AOQDQO ,. AOPODQ ,DQOAPO ,AOQAPO,AEOAOP 90°,此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去;综上，线段OP的长为8.5.在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C, D不重合），连接 AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到ABCQ,过点Q作QHLBD于点H,连接AH、 PH.（1）若点P在线CD上，如图1,依题意补全图1 ;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且 ZAHQ=152°,正方形 ABCD的

13、边长为1 ,请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）1 -UJJ1170【答案】（1）如图；AH =PH, AH ± PHI.证明见解析（2） 3n28或1十依nl7 .【解析】试题分析：（1）如图（1）;（1）法一：轴对称作法，判断：AH=PH,AHXPHI.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得：4DHQ等腰RtA ,根据平移的性质得DP=CQ,证得HDPHQC,全等三角形的应边相等得 PH= CH,等边对等角得/HPC=/HCP,再Z合BD是正方形的对称轴得出 /AHP= 180 - Z ADP= 90°, .AH： PH且AH, PH.四点共圆作法，同上

14、得：/HPC=/DAH,，A、D、P、H共向，/AHP= 90； / APH=/ADH=45 °, . APH 等腰 Rt4 .(2)轴对称作法同(1)作 HR± PC于 R, Z AHQ=152°, . . / AHB= 62°, . . / DAH= 17°/ DCH= 17 ：设 DP= x,则1-xDR = HR -RQ= -.由HRtanl7fi = 一CR代入HR, CR解方程即可得出x的值.四点共圆作法， A、H、D、P共向，. / APD= / AHB= 62°,ADPD = tan2 8c诒 n62D tan62D试

15、题解析：（1）法一：轴对称作法，判断：AH=PH, AH，PH证：连接 CH,得：ADUQ 等腰 Rt4, X DP= CQ, HDP HQC, . PH= CH,/ HPC= / HCPBD 为正方形 ABCD对称轴，AH = CH, / DAH= / HCP, .AH=PH, / DAH= / HPC, / AHP= 180 ADP= 90 °, AH= PH 且 AH, PH.法二：四点共圆作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、D、P、H共向，丁. / AHP= 90°,/APH= / ADH= 45 °,APH 等腰 RtA .(2)法一：轴对称作法考虑

16、4DHQ等腰RtA,PD= CQ,彳HR± PC于 R, Z AHQ=152°, . . / AHB= 62°,/ DAH= 17 °1-xDR - HR -RQ-/ DCH= 17 ：设 DP= x,贝U一7 ©HR TTxl-tanl70 3117”tanl7 * = 工=7由CR得：2,1+IM7" ,即口+ 1617。法二：四点共向作法，A、H、D、P 共向，. / APD= / AHB= 62°,AD 1PD =二二 tan2B"皿62° hm0考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质

17、；死电脑共圆6.如图，在 RtABC中，/BAC=90°, Z B=60°, BC=16cm, AD是斜边BC上的高，垂足为D, BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点 N从点E出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN为边在BC的上方作正方形 MNGH .点M到达点D 时停止运动，点 N到达点C时停止运动.设运动时间为 t (s).(1)当t为何值时，点 G刚好落在线段 AD上？(2)设正方形MNGH与RtABC重叠部分的图形的面积为 S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量 t的取值范围.(3)设正方形 M

18、NGH的边NG所在直线与线段 AC交于点P,连接DP,当t为何值时, CPD是等腰三角形？(3) t=9s 或 t= (15 6Pb s.试题分析：(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间 (2)先求出t的取值范围，分为 H在AB上时，此时 间.同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出 方形的面积公式求出正方形的面积 .t.BM的距离，进而求出相应的时EN的长度即可求出时间，再通过正(3)分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由 EN的长度便可求出t的值.试题解析：= / BAC=90 , / B=60°, BC=16cm . AB=8cm, BD=4cm, AC=8 cm, D

19、C=12cm, AD=A cm.t=31 s=3s.(1)二.当G刚好落在线段 AD上时，ED=BD- BE=3cm(2)二当MH没有到达AD时，此时正方形 MNGH是边长为1的正方形，令 H点在AB 上，则/HMB=90 , /B=60°, MH=1 v . BM= cm. . . t= s.当MH到达AD时，那么此时的正方形 MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令 G点 在AC上，0设 MN=xcm ,则 GH=DH=x, AH= " x,. AD=AH+DH= : x+x= "x=4 日x=3.当 “ wtw园,SMNGN=1cm2.当 4V tw 阳寸

20、,SMngh= (t-3) 2cm2.S关于t的函数关系式为:(3)分两种情况：二,当DP=PC时，易知此时 N点为DC的中点，MN=6cmEN=3cm+6cm=9cm. . . t=9s故当t=9s的时候，CPD为等腰三角形；当 DC=PC时，DC=PC=12cmNC=6 cm1. EN=16cm - 1cm - 6 cm= (15-曲飞)cm.t= (15-613)s故当t= (15-血口)s时，CPD为等腰三角形.综上所述，当1=9$或1= (15-久")s时，4CPD为等腰三角形.考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际

21、问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.7.如图，抛物线y= - x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上 且横坐标为3.(1)求 tan/DBC 的值；(2)点P为抛物线上一点，且 /DBP=45,求点P的坐标.手tan / DBC;【解析】A、试题分析：(1)连接CD,过点D作DE，BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点B、C、D的坐标，则可得 CD/AB, OB=OC,所以/ BCO=Z BCD=Z ABC=45°.由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得l4正BC=V2 , BE=BC- DEE ,由此可知DE _

22、3tan / DBC=*r = T ;(2)过点P作PHx轴于点F.由/ DBP=45及/ABC=45可得/ PBF=Z DBC,利用(1)中的结果得到：tan/PBF?.设P (x, - x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知一- - 3,+ 4 3,、 口266；=-,通过解方程求得点P的坐标为(-一，4T 55 25试题解析：(1)令 y=0,贝U- x2+3x+4=- (x+1) (x-4) =0,解得 xi= - 1 , x2=4 .A (T, 0) , B (4, 0).当 x=3 时，y= - 32+3 x 3+4=4.D (3, 4).CD/ZAB,/ BCD=Z ABC

23、=45 :在直角 OBC中，-. QC=OB=4, bc=472 .在直角CDE中，CD=3.-.CE=ED=-21- ,2c 邛BE=BC- DE=.,一DE 3. tan / DBC= 一 ；RE 5(2)过点P作PF±x轴于点F./ CBF=/ DBP=45 , / PBF=Z DBC, .3 . tan / PBF.、一小十三工十4 3设 P (x, - x2+3x+4),贝U =4 -x 手解得 xi = - - , x2=4 (舍去)，二 66、 P （,）.5 25考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数8.如图，已知点H从CL °）出发，以1个单位长度

24、/秒的速度沿工轴向正方向运动，以。.月60 q;以P（叫3）为圆心，|PC为为顶点作菱形"八叫使点凡在第一象限内，且"口c = 半径作圆.设点小运动了,秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；的边所在直线相切的r OD = OCcosbO* =DC - 0 cti Q ="2点二的坐标为（2）当0P与。相切时（如图1）,切点为CPC LOGD 4 01图工1过/乍po = op于E则一 21 + t3J31*'= OPCOS30* =° °与。°所在直线相切时(如图3),设切点为 "OP交叫于J图3则 PEJ

25、.。*31 + £)速1 + 0PC = PF= OPsin30' + 2_-+ t 2/(I + 023V'3(1 + t) 2r)+(2L-2-3)=(3 + -)化简，得 H +1尸-83(1 1)+ 27 =0解得八3 ±6国乂 : 93-6万】V0, 口-弓,所求t的值是【解析】(1)过。作11轴于,3,3-1 和%,* + 6/T.，利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标OP与菱形OABC的边所在直线相切，则可与 分三种情况探讨： 当圆P与OC相切时, OC,再由OA=+t,根据菱形的边长相等得到OC相切；或与 OA相切；或与 AB相切

26、，应 如图1所示，由切线的性质得到 PC垂直于OC=1+t,由 /AOC 的度数求出 Z POCJ 30 °,在直角三角形 POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30 =oc/op ,表示出OC,等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；当圆P与OA,即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC,又PC=PO利用三线合一得到 E为OC的中点，OE为OC的 一半，而OE=OPcos30,列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F, PF与OC交于点G,由切线的性质得到 PF垂直于AB,则PF垂直于OC,由CD=FG在直角三角形 OC

27、D中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD,即为FG,在直角三角形 OPG中，利用 OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根 据PF=PC表示出PC,过C作CH垂直于y轴，在直角三角形 PHC中，利用勾股定理列出 关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值.9.如图以4ABC的一边AB为直径作OO,。与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点 D作。的切线交AC边于点F.2(1)求证：DF± AC;(2)若 / ABC=30 ,求 tan / BCO的值.【答案】(1)证明见解析；(2) tan / BCO=Y39【解析】试题分析：(1)连接OD,根据三角

28、形的中位线定理可求出OD/AC,根据切线的性质可证明DE± OD,进而得证.(2)过。作OF, BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解.试题解析：证明：连接OD .DE 为。O 的切线，OD，DE.O为AB中点，口为BC的中点.ODll ACDEXAC (2)过。作 OFXBDJJ BF=FD 在 RtBFO 中，Z ABC=30 .OF=-OB , BF=OB.BD=DC, BF=FD3.3FC=3BF=OB12obg32ob 92在 RtA OFC 中，tan / BCO=OFFC点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性

29、质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=1OB, BF= OB, FC=3BF纪3 OB是解题关222键.10.水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1: 0.6,背水坡坡比为1: 2,大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积.【答案】故大坝的截面的周长是(6/34+30+98)米，面积是1470平方米.【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+B C梯形的面积公式可得出答案.试题解析：二.迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1: 0.6

30、, DE=30m, .AE=18 米，在 RTA ADE 中，AD=Jde2 AE2=6 宿米背水坡坡比为1： 2,.BF=60 米，在 RTA BCF中，BC=JCF2 BF2 =30 75 米,. .周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30s/5+88= (6734+30 75+98)米，面积=(10+18+10+60) X30+2=1470平方米).故大坝的截面的周长是(6734+30 75+98)米，面积是1470平方米.11. 2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规 划，将停车纳入城市综合交通体系，计划到 2030年，在主城区

31、新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN/AD,AD± DE,CF± AB,垂足分别为 D, F,坡道AB的坡度为1 :J3 ,DE=3米，点C在DE上，CD= 0.5米，CD是限高标志屏的高度(标志牌上写有：限高米)， 如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？(结果精确到0.1米，参考数据J2 = 1.41 6=1.73【答案】该停车库限高约为2.2米.【解析】【分析】据题意得出tan B ,即可得出tanA,在RtADE中，根据勾股定理可求得DE,即可3得出Z1的正

32、切值，再在 RtCEF中，设EF=x,即可求出X,从而得出J5x的长.【详解】解：由题意得，tanB 3/MN / AD,Z A= Z B,tanA= 回 3.DEXAD,DE在 RtA ADE 中,tanA=， AD.DE=3,又 = DC=0.5,.CE=2.5,.CF1AB,Z FC&Z CE3 90 ,.DEXAD,Z A+Z CEF 90 ,Z A= Z FCE.tanZ FC .3在 RtCEF中，设 EF=x, CF= 73 x (x>0) , C$2.5,5代入得(-)2 = x2+3x2,2解得 x= 1.25, CF=x 2.2该停车库限高约为 22米.【点睛

33、】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角 的正切值.12 .如图，建筑物RC上有一旗杆.氏从与BE相距40 m的。处观测旗杆顶部八的仰角为 观测旗杆底部B的仰角为45'求旗杆的高度.（参考数据：sinSO" «0.77Icos50D 之 0.64, tai150 tlA【答案】旗杆小的高度约为|7.6m.【解析】BC【分析】在RtBDC中，根据tan/BDC?万求出BC,接着在 RtADC中，根据ACtan / ADC=tAB + BC'=CD即可求出AB的长度【详解】EC解：.在 RtBDC 中，tan/BDC行=1

34、, . BC=CD= 40mv 在 RtA ADC 中，tan / ADC=* J=TT7AC AB + BC.AB 7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用 ,313.如图，在 4ABC中，AC BC 10, cosC ,点P是BC边上一动点（不与点 A,C 5重合），以PA长为半径的e P与边AB的另一个交点为 D ,过点D作DE CB于点E.1当e P与边BC相切时，求e P的半径;2联结BP交DE于点F ,设AP的长为x , PF的长为y ,求y关于x的函数解析式， 并直接写出x的取值范围；3在2的条件下，当以 PE长为直径的eQ与eP相交于 AC边

35、上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.【答案】(1)40；(2) y 5x，x2 8x 80 0 x 10 ； (3) 10 27593x 20【解析】【分析】3 一(1)设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 R,连接HP,则HP，BC, cosC=,则5sinC=4, sinC=HP = R= 4,即可求角军；5 CP 10 R 52(2) PD/ BE,则 EB= BF,即：4 5xPD PF收 8x 80 y ,即可求解; y(3)证明四边形 PDBE为平行四边形，贝U AG=GP=BD即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5 ,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为

36、H,圆的半径为R,sinC=r=40 R=CP 10 R 5(2)在 ABC 中，AC=BC=10cosC=3 ,5设 AP=PD=x, ZA=Z ABC=3,过点 B 作 BH, AC,贝U BH=ACsinC=8同理可得：CH=6, HA=4, AB=45/5,则:tan / CAB=2BP=，82DA=25x 则 BD=475-25x5'5，x 4 2=Jx2 8x 80，如下图所示，PA=PD / PAD玄 CAB=Z CBA=3,tan 3 = 2 贝U cos 3 =j , sin 3,EB=BDcos 3 =( 4 75 - 2-5 x)I).PD/ BE,EB=BF,即

37、:PDPF整理得:5x x2 8x 80 y=3x 200 x 10 ；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,3两个圆交于点G,则PG=PQ即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D, GD为相交所得的公共弦， 点Q时弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/ GDA=90 ； .EP/ BD,由(2)知，PD/ BC,二.四边形PDBE为平行四边形，.AG=EP=BD.AB=DB+AD=AG+AD=4、,5 ,设圆的半径为r,在4ADG中，AD=2rcos 85, DG=-y= , AG=2r,2r 205J+ +2r=4 J5 ,解得：2r=后,则:DG=%=10-2T5,相交所得的

38、公共弦的长为 10-275.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中(3),要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.14.已知 RtAABC, / BAC= 90 °,点 D是 BC 中点，AD= AC, BC= 4 J3 ,过 A, D 两点作 OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心 O在AB上且点 M是。上一动点，连接 DM交AB于点N,求当ON 等于多少时，三点 D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心 O不在AB上且动圆。与DB相交于点 Q时，过 D作DHLAB (垂

39、足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP- DQ的值变不变？若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2P(2)当ON等于1或，3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】 【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE ME,易得当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE± DM,易得到 4ADC为等边三角形，得 /CAD=60°,贝U / DAO=30° , / DON=60 ,然后1根据含30的直角三角形三边的关系得DN=,AD=J3,

40、ON=?DN=1;当 MD=ME, DE 为底边，作 DHLAE,由于 AD=2Q , Z DAE=30°,得到 DH=J3 , / DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,贝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=V3,则ON=J3-1;(3)连AP、AQ, DP, AB,彳导AC/ DP,则/ PDB=/ C=6CT,再根据圆周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,则/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易证得AQCAPD,得到 DP=CQ 贝U DP-DQ=CQ-DQ