2018-2019学年内蒙古赤峰市高二下学期期末联考数学(理)试题解析版

1、绝密启用前内蒙古赤峰市2018-2019学年高二下学期期末联考数学（理 ）试题评卷人得分、单选题1,复数 z满足(z+i)(2 +i)=5,则 z=()A. -2-2iB. -2+2iC. 2-2iD. 2 + 2i【答案】C【解析】【分析】 5利用复数的四则运算可得z = -i ,再利用复数的除法与减法法则可求出复数z.2 i【详解】55 2 -i.（z+i X2 + i ）=5,.z=i= i =2 i i =22i,故选：C.2 i 2 i 2 -i本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题。2 .已知% 3表示两个不同的平面，l为a内的一条直线，则 “2 3是,

2、3的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.解：根据题意，由于 a, 3表示两个不同的平面，l为a内的一条直线，由于 “2 3, 则根据面面平行的性质定理可知，则必然a中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，3是, 3的充分不必要条件.故选A.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定.3 .某校1000名学生中,O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人,为了研究血型与色弱的关系，

3、要从中抽取一个容量为60人的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分别抽的人数为（）A . 24,15,15,6B. 21,15,15,9C. 20,18,18,4D. 20,12,12,6【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数根据分层抽样的特点可知,A型血的人要抽取的人数为O型血的人要抽取的人数为 60工200 = 24 ,1000250,一,60 M而而=15, B型血的人要抽取的人数为25060M=15,1000AB型血的人要抽取的人数为“ 100-60M=6,故答案为：A.100019本题考查分

4、层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题。4 .我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径d的一个近似公式d ：.1：V，人们还用过一些类似的近似公式，根据冗定3.141591”判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A. d J16VB. d J21VC. d 3VD. d fc2V, 9: 11. 157【答案】B【解析】【分析】利用球体的体积公式得 V =4nR3 =4n m'd 1 =皿，得出d的表

5、达式，再将 冗的3326近似值代入可得出 d的最精确的表达式.由球体的体积公式得 V =4 - R3 =，- 33d j nd32="66V6,% 1.9099 ,竺定 1.7778, 4力.9091, 300 1.9082 , 4 与6最为接近，故选：C.91115711 二【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题。5.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念 ，制定节能减排的目标，先调查了用电 量y （单位:千瓦时）与气温x （单位：oc）之间的关系，随机选取了 4天的用电量与当天 气温，并制作了以下对照表：x （单位

6、：oc ）171410-1y （单位：千瓦时）24343864由表中数据得线性回归方程：y = 2x+a，则由此估计：当某天气温为12oC时,当天用电量约为（）A. 56千瓦时 B. 36千瓦时 C. 34千瓦时 D . 38千瓦时【答案】B【解析】【分析】计算出X和亍的值，将点（x,y ）的坐标代入回归直线方程，得出 a的值，再将x = 12代入可彳#出y的值，即为所求结果。【详解】由题意可得17 14 10 -124 34 38 64由于回归直线过样本的中心点 （x,y ）,则2父10 + ? = 40,得?=60,回归直线方程为y = -2x+60,当x=12时，歹=-2父12+60=3

7、6 （千瓦L时），故选:B.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点（x, y ）这一结论，考查计算能力，属于中等题。6 .甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“ 3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为 0.4,则本次比赛甲获胜的概率是()A . 0.216B. 0.36C. 0.352D. 0.648【答案】C【解析】【分析】先列举出甲获胜的情况，再利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率。【详解】记事件A:甲获胜，则事件 A包含：比赛两局，这两局甲赢；比赛三局，前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢。由独立事件的概率乘法公式得

8、P(A)=0.42 +C；父0.6父0.42=0.352,故选：C.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式的应用，解题前先要弄清事件所包含的基本情况，并逐一列举出来，并结合概率的乘法公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。7 .已知抛物线 C:y2=4x的焦点为F ,准线为l, P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP =2QF，则|qf |=()A. 8B. 4C, 6D, 3【答案】D【解析】【分析】设点P(-1,t )、Q(x,y ),由FP=2QF,可计算出点Q的横坐标x的值，再利用抛物线的定义可求出 QF .【详解】I!设点 P(T,t)、Q(x,y ),易知点 F(1,0

9、), FP = (2,t ), QF =(1-x,-y),二 2(1-x)=-2,解得x =2,因此，QF=x+1=3,故选：D.【点睛】考查计算能本题考查抛物线的定义， 解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标,力，属于中等题。，社区服务活动共有关怀老人、8 .甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，记事件A为4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则 P(B|A)=()环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项.1C.D.A .一4【答案】A【解析】【分析】确定事件AB,利用古典概型的概率公式计算出P(ABMDP(A),再利用条件概型的

10、概率公式可计算出P (B A)的值.【详解】事件AB为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则 p(ab)4, P(A)=，二 p(ba)=£4 故选：A44PA 4 A44【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题。9.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 12B. 36C. 84D. 96【答案】B【解析】【分析】记事件A:小明的父亲与小明相邻， 事件B:小明的母亲与小明相邻， 利用捆绑法计算出 事件A、事件B、事件Ap|B的排法

11、种数n(A)、n(B)、n(ACB),利用容斥原理 可得出所求的坐法种数为 A5 -n(A)-n(B)+n(AB ),于此可计算出所求坐法种数。【详解】记事件A:小明的父亲与小明相邻，事件 B:小明的母亲与小明相邻，对于事件A,将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序，24则 n(A)=A2A4 =48,同理可得 n( B )= n( A )=48 ,对于事件A|B,将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，2 . 3与其他两个兀素进行排序，则n(Ac B)= A2 A3 =12,由容斥原理可知，所求的坐法种数为 A5 n(A)n(B )+n(AcB)=12

12、02父48+12 = 36,故选：B.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。10.已知函数f (x) =ex-Ibx2-x在区间(0,+g)上是单调递增函数，则b的取值范围 2是()A . (-°0,1)B, 0,1C. (-°0,1D. 0*)【答案】C【解析】【分析】对函数y = f(x)求导，将问题转化为 f'(x户0恒成立，构造函数g(x)=f'(x),将问题转化为g(x min >0来求解，即可求出实数 b的取值范围.【详解】* *Y 12_ x

13、"x* f (x )=e -bx x ,二 f (x )=e -bx-1 ,令 g(x )=e -bx-1 ,则2g x min 0.g'(x )=exb,其中x >0,且函数y = g'(x)单调递增.当b£1时，对任意的xA0,g'(x)>0 ,此时函数y = g(x)在(0,收)上单调递增，则g(x )>g(0 )=0,合乎题意；当 b >1 时，令 g'(x)=0,得 ex b = 0 ,二 x = lnb.当 0<x<lnb 时，g'(x)<0；当 xlnb 时，gx)>0 .

14、此时，函数y=g(x而x = lnb处取得最小值，则 g(x )min = g(lnb )< g(0 )= 0,不合乎题意.综上所述，实数b的取值范围是(-0°,1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化为导数的符号来处理，然后利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题，属于中等题。11 .过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P,Q,Fi是另一焦点，若 H 一,/PFQ二一，则双曲线的离心率e等于()3A.近1B. 33C.收十 1D.五+2【答案】B【解析】【分析】根据对称性知APF

15、F2是以点F2为直角顶点，且ZPF1F2可得PF1 =2 PF2,6I，利用双曲线的定义得出PF2 =2a,再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率e的值.【详解】31由双曲线的对称性可知，APFF2是以点F2为直角顶点，且/PFF2=,则6PF1 =2 PF2 ,由双曲线的定义可得 PF1 PF2 =|PF2 =2a,在 RtAPFF2 中，tan/PFF2 2 =在=百，: e = c = V3 ,故选：B. F1F2I 2c 3a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题。2x-1

16、,x<112 .已知函数f(x) = 则方程f ( f (x) =1的根的个数为()11n(x-1) ,x 1A. 7B. 5C. 3D, 2【答案】A【解析】1令u = f (x)，先求出万程 f (u )=1的二个根u1 =1 , u2=1+, u3=1 + e,然后分 e1.一 别作出直线u=1, u=1+, u = 1+e与函数u=f(x )的图象，得出交点的总数即e为所求结果.【详解】令u = f (x ),先解方程f (u ) = 1.(1)当 uE1 时，则 f (u )=2u1 =1 ,得 u1 =1 ;一 .,一 1,(2)当 u >1 时，则 f (u)= ln

17、 (u -1，= 1,即 n(u1 再 ，解得 u2 = 1 +，u3 =1 +e. e所以，方程f f (x ) = 1的根的个数为3 + 2+2 = 7,故选：A.【点睛】本题考查复合函数的零点个数， 这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题。第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分、填空题13 .随机变量之服从二项分布U B（n,p）,且E代）=300 , D仁）= 200,则n等于【答案】900【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差，列出关于n和p的方程组，可

18、解出 n的值.【详解】小 曰E=np -300屈曰n二90O由题意可得4 K，解得1 ，故答案为：900.D=np1-p ）=200 p =3【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的计算，解题的关键就是这两个公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题 .14 .超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过 60km/h,否则视为违规.某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图，则违规的汽车大约为 .【答案】800【解析】【分析】先通过频率分布直方图，得出速度大于60km/h对应矩形的面积和，再乘以 100

19、0可得出结果.【详解】由图象可知，速度大于 60km/h的汽车的频率为(0.024 + 0.028 + 0.02+0.00810 = 0.8,因此，违规的汽车数为 1000M0.8 = 800,故答案为：800.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，计算频率时要找出符合条件的矩形的面积之和，考查计算能力，属于基础题. 3215 .设P为曲线C :y =x -x +2上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 0, ?,则点P横坐标的取值范围为 .【解析】【分析】由切线的倾斜角范围为.|0,亍L得知切线斜率的取值范围是10,1,然后对曲线C对应的函数求导得y',解不等式0My'

20、;E1可得出点P的横坐标的取值范围.【详解】由于曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是.|0，-,则切线斜率的取值范围是_ 40,11,对函数 y =x3 _x2 +2 求导得 y' = 3x2 -2x ,令 0 W y'M1,即 0 M3x2 2x<1 ,一一一 2一 2解不等式3x2 -2x >0 ,得x W0或x之一；31解不等式 3x2 -2x <1 ,即 3x2 -2x -1 <0 ,解得MxM1.3所以，不等式组0 <3x2 -2x <1的解集为因此，点P的横坐标的取值范围是【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线的斜率与点的横

21、坐标之间的关系，考查计算能力, 属于中等题。16.已知四边形 ABCD为矩形，AB = 2AD=4,M为AB的中点，将AADM沿DM折起，得到四棱锥A -DMBC ,设AC的中点为N ,在翻折过程中，得到如下有三个命题：BN /平面ADM，且BN的长度为定值45 .，三棱锥N-DMC的最大体积为"2 ;3在翻折过程中，存在某个位置，使得 DM _ AC .其中正确命题的序号为 .（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】取AD的中点E ,连接EM、EN ,证明四边形BMEN为平行四边形，得出BN/EM ,可判断出命题的正误；由 N为AC的中点，可知三棱锥 N - DMC的体积

22、为三棱锥A - DMC的一半，并由平面 ABM _L平面BCDM ,得出三棱锥 A - DMC体积的最大值，可判断出命题的正误；取 DM的中点F ,连接AF ,由AE_L DM ,结合AC 1 DM得出DM _L平面ACF ,推出DM _L CF得出矛盾，可判断出命题的正误.如下图所示:EN ,则 AD=AM =2, AE = 1,/MA1E = 90 ,由勾股定理得 EM = JAE2 + AM 2 = J5 ,.1易知BM CD ,且BM = CD , ,E、N分别为AD、AC的中点，所以, 21 -EN/-CD ,=2二四边形BMEN为平行四边形，BN = EM=J5, BN/EM ,；

23、BN辽平面ADM , EM u平面ADM，二BN平面ADM ,命题正确；对于命题，由N为AC的中点，可知三棱锥N - DMC的体积为三棱锥 A - DMC的一半，当平面ABM，平面BCDM时，三棱锥A - DMC体积取最大值，11取DM的中点F ,则AF，DM ,且AF = DM =父2/=J2 , 22平面 ADM，平面 BCDM ,平面 ADM c平面 BCDM = DM , A1F 1 DM ,AF 仁平面 ADM，二 AiF _L平面 BCDM ,11 . _ .DMC 的面积为 S/DMC = CD BC =父4父2=4,22所以，二棱锥A DMC的体积的最大值为SMC AiF =x

24、 4乂 J2 = 9,333则三棱锥N -DMC的体积的最大值为22-,命题正确；3对于命题，；AD=AM , F为DM的中点，所以，A1F -L DM ,若 AC，DM，且 ACcAF=A,二 DM _L 平面 ACF ,由于 CF u 平面 ACF ,，CF _LDM ,事实上，易得 CM = DM = 2J2，CD = 4 , :CM 2 + DM 2 =CD2 ,由勾股定理可得 CM -LDM ,这与CF _L DM矛盾，命题 错误.故答案为：.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找

25、到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题评卷人得分三、解答题17.设命题P：对任意xW0,i,不等式2x-2至m2 -3m恒成立，命题q：存在xWT,1,使得不等式x2x + m1 W0成立.(1)若P为真命题，求实数 m的取值范围;(2)若p八q为假命题，Pvq为真命题，求实数 m的取值范围5【答案】(1) 1MmM2 (2) m<1 或一cmM24【解析】【分析】(1)考虑命题P为真命题时，转化为 m2-3m<(2x-1 min对任意的xw 0,1成立，解出不等式可得出实数 m的取值范围；(2)考虑命题q为真命题时，则可转化为 (x2-x + m-1

26、)min <0对任意的x三1,1成立，可解出实数 m的取值范围，然后由题中条件得出命题p、q一真一假，分P真q假和P假q真两种情况讨论，于此可求出实数m的取值范围.【详解】 对于 p：(2x-2)min 之m23m成立，而 x?0,1,有(2x 2)min = 2 ,2 至 m2 -3m,1 Wm W2q：存在xw-1,1,使得不等式9,、 ., 2x 一x + m-1W0成立，只需(x x + m1)min W0一 2而 x -x m -1 .min5m <-；455=-+m , - - +m <0 ,44(1)若P为真，则1 <m <2 ;(2)若pnq为假命

27、题，Pq为真命题，则p,q一真一假.1MmM 2 5若q为假命题，P为真命题，则55 ，所以一< m E 2 ；m 44m1 或 m2若P为假命题，q为真命题，则5 ，所以m<1.m -45-综上，m<1 或一 < m <2 . 4【点睛】本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理 能力，属于中等题。18.某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完

28、全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球,其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到 2个红球，则打6 折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有 放回每次摸取1球，连摸3次,每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受 6折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.【答案】(1) 49L (2)该顾客选择第一种抽奖方案更合算，详见解析1600【解

29、析】【分析】(1)选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率值；(2)选择方案一，计算出付款金额X的分布列和数学期望值，选择方案二，计算出付款金额Z数学期望值，比较大小可得出结论 .【详解】(1)选择方案一：若享受到 6折优惠，则需要摸出 2个红球,设顾客享受到6折优惠为事件A,则P(A) =C10740'一 . 7749所以两位顾客均学受到 6折优惠的概率为 p=p(A)，P(A)= *=40 40 1600(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0,600,700,1000c331P(X=0)=才砺，P(X=600) =C| c7C10,P(X

30、= 700)=40C302140 'C324P(X =1000) =-7C10故X的分布列为X06007001000P1120740214072417217 4585所以 E(X)=0m+600父一+700区一+1000区一= (元)；1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z =1000 200Y ,339由已知可得，故 Y-B(3,), E(Y)=3m =，1010 10所以 E(Z) = E =1000 _200E(Y) =820 (元)，因为E(X) < E(Z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式

31、，考查随机变量分布列与数学期望，在列随机变量的分布列时，要弄清变量所满足的分布列类型，结合相关概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。19.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA_L 平面 ABCD, AD/BC, AD_LCD,且AD=CD=242，BC=4T2，PA = 4.(1)求证：AB_LPC;(2)在线段PD上,是否存在一点 M，使得二面角M AC D的大小为45 ,如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在 ，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)在线段PD上，存在一点M，使得二面角M - AC-D的大小. 一 1为45°,且BM与平面MAC所成角正弦值为

32、 一2【解析】【分析】(1)利用勾股定理得出 AB _L AC ,由PA_L平面ABCD ,得出AB1PA,利用直线 与平面垂直的判定定理证明 AB _L平面PAC ,于此得出AB _L PC ;(2)设PM =KPD ,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法cs m解出九的值，得出BM的坐标，则cos即为BM与平面PAC所成角的正弦值【详解】(1) AD=CD=2 应，BC=4 夜， AB=AC=4,ABAC PA_L 平面 ABCD, AB_LPA,，AB_L 平面 PAC , PC u 平面 PAC,AB _L PC ;(2)以A为原点，以过 A平行于CD的直线为x轴，A

33、D,AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,则 A(0,0,0) , P(0,0,4) , B(2V2, -272,0),D(0,2J2,0), C(2V2, 2 应0),设 PM' =KPD，0<九<1，M (0, 2T2Z, 4-4?J ,AM =(0, 2 应九447J , AC =(272,272,0)设平面MAC的法向量m = (Xi,y，Zi),则m AM =0,2 V2九 yi +(4 4九)z1 = 0 4，即 I L LmAC =02 2xi 2.2yi=0AP =(0,0,4),则m = |1,-1,又平面ACD的法向量为、-2+2

34、,28sin 8 = cos2.4,2 4解得:=- 一或九二2 (舍)，M 0,，一 ,333平面MAC的法向量为m = (1,1,J2),设BM与平面MAC所成角为0,则【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算， 解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引 入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。1 ,短轴长为20 ,过右焦点F且22.一八 x y20.已知椭圆C :0十42=1(a >b >0)的离心率为 a b与x轴不垂直的直线 l交椭圆于P,Q两点.求椭圆C的方程;(

35、2)当直线l的斜率为 芯时求&POQ的面积;在X轴上是否存在点M (m,0)，满足PM| = QM ?若存在，求出m的取值范围；若不 存在，请说明理由.224 _【答案】(1) ±+上=1(2) -J3 (3)在X轴上存在点M(m,0),满足PM = QM , 435一，1且m的取值范围为0,)4【解析】【分析】(1)根据题中条件列有关 a、b、c的方程组，解出这三个数，可得出椭圆C的标准方程；(2)先写出直线l的方程，并设点P(Xi,y1卜Q(X2,y2),将直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用弦长公式求出PQ|，计算出原点到直线l的距离d ,可得出AOPQ的一_1 _.面

36、积为S jPOQ=- PQd；皿2(3)当直线l的斜率为零时，得出 m=0；当直线l的斜率不为零时，设直线l的方程为y = k(x 1 ),设点P(x1,y1)、Q (X2, V2 ),将直线l的方程与椭圆C的方程联立，并列出韦达定理，求出线段PQ的中点N的坐标，由题中条件得出 MN _L PQ ,利用斜率关系可得出 m与k之间的关系式，利用函数思想得出实数 m的取值范围2b =273,解得：a =2, b = 1, c = 1 ,c 1(1)由已知得 一二一a 22/ 上 2a =b +c22所以椭圆C的方程为士 +2- =1 ；43(2)设直线 l: y=J3(x1),设点 P (x1,

37、y1 )、Q(x2,y2),y =、.3(x -1)由x2y2，得 15x2 24x = 0 ,+ = 143PQ = J +34(x1 +x2 )2 -4x1x2 =16 ,5点O到直线l的距离为d =Y3,则S住OQ =PQ d =lM16xY3=4J3；222 525(3)当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线 l的斜率为0时，m = 0,当直线l的斜率不为0时，设直线l : y = k(x 1)(k o 0), 设 P Xi, y( i, Q X2, y2 jly =k(x -1)2222由X2 y2，得(3+4k2)X2 8k2x+4k2 12 =0=1,438k2- 6kx1+

38、x2=-2-,y1+ y2= k (x1+ X2-2 )= 2，3 4k34kPQ的中点N24 k2-3k3+4k2，3+4k2 jPM = QM ,则 MN _L PQ,-3k八2 -0kMN kPQ = -1 , k = -1 ,4k2 -m3 4k2k23 4k2综上，在x轴上存在点M (m,0),满足PM 1QM ,且m的取值范围为0, j).本题考查椭圆方程的求解， 考查椭圆中三角形面积的计算以及直线与椭圆位置关系的综 合问题，这种类型问题常用韦达定理法求解，解题时要将题中一些问题等价转化，考查 计算能力，属于中等题。X 一 X 一21 .设函数 f(x)=xe +a(1e )+1.

39、(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)若函数f (x)在(0,+b)上有唯一零点，证明：2<a<3.【答案】(1) f(x)的减区间为(g,a 1),增区间为(a1,),极小值为af (a 1) = a +1 -e ,无极大值(2)见解析【解析】【分析】(1)求出函数y = f (x)的定义域以及导数，利用导数求出函数 y=f(x)的单调区间,并由单调性得出函数 y = f (x)的极值；(2)利用参变量分离法得出关于 x的方程a = x +与口在x10,g)上有唯一解，构 ex -1X Xx+1f e (e x2)造函数g (x )= x +,得出g (x尸 "2

40、 一,构造函数h(x)=ex-x-2 求ex -1ex -1出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数y=g(x)的最小值转化即可。【详解】(1)f(x)的定义域为(_«,y) , f'(x) = (x+1a)ex,当 xw(,a1)时，f'(x)>0, f(x)为减函数；当 xw(a1,+s)时，f'(x)>0, f(x)为增函数，f(x)有极小值f(a1) = a+1ea，无极大值，故f(x)的减区间为(°0,a 1),增区间为(a 1,y),极小值为f (a 1) = a + 1 ea，, 无极大值；(2)函数f(x

41、)在(0,)上有唯一零点，即当xw(0,z)时，方程f(x) = 0有唯一解，1x 1ex ex - x -2a = x +有唯一解，令 g(x) = x + ，贝U g '(x) =2xxe -1e -1ex -1令 h(x) =ex -x-2 ,则 h'(x) =ex 1 ,当xw(0,+*)时，h'(x)A0,故函数h(x)为增函数，又 h(1)=e3>0, h(2) =e2 -4>0,h(x)在(0, )上存在唯一零点 xo,则 x° w (1,2),且 ex0 = % +2 ,当 xW(0,% 的，g'(x) <0,当乂三(刈，收)时，g'(x) >0 , g(x)在(0,48)上有最小