太奇MBA数学全部笔记

1、2011年太奇MBA数学全部笔记i.备考资料：基础讲义数学高分指南太奇模考卷 +周测+精选500题+历年真题2.两个教训：A、不要死抠题，要有选择的放弃，舍得一定的机会成本。每年都会有难题，考试时不要随便尝试死盯住一题不放。B、一定要找巧妙的方法(例如，特殊值法、看题目中条件间的关系等)3、基础知识基本公式：22_2(1) (a b)a2ab b(2) (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b322(3) (a b)(a b) a b3322(4) a b (a b)(a 碱力口 ab b )(5) (a bc)2a2b2 c22ab2ac 2bca2 b2c2abacbc2(a2b2 c2

2、 abac bc)1222-(a b) (a c) (b c)2指数相关知识：nnn 1m m na a a a (n 个 a 相乘) a aVaa若a 0,则 ja为a的平方根，指数基本公式：对数相关知识：对数表示为logb(a>0且a 1,b>0),当a=10时，表示为lgb为常用对数； 当a=e时，表示为lnb为自然对数。有关公式:Log (MN) =logM+logN m log nlog m log nlog；：1 10gbm换底公式:loga10gte1log： loga单调性:题型为给出题干S2有关充分性判断:P,条件S1P则题目选A若 &W>P,而 S

3、2P 则题目选BS P,而 S2P则题目选S)牛P，而S2半PS1S1S2S2P贝灿目选CP贝灿目选E形象表不：，X X特点：(A)(B)联(合)立V(D)联(合)立X(C)(E)(1)肯定有答案，无(2)准确度解决方案：“自检机会”、“准确性高”(1)自下而上带入题干验证(至少运算两次(2)自上而下，(关于范围的考题)法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真”图像法，尤其试用于几何问题第一章实数自然数：自然数用 N表示(0, 1, 2)(2)正整数整数Z 0负整数质数和合数：质数：只有1和它本身两个约数的数叫质数,1既不是质数也不是合数最小的合数为4,最小的质数为2;10以内质数：2、3、5

4、、7; 10以内合数 4、6、8、 9。除了最小质数2为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对除了 2以外的正偶数均为合数，反之则不对只要题目中涉及 2个以上质数，就可以设最小的是2,试试看可不可以Eg:三个质数的乘积为其和的5倍，求这3个数的和。解：假设3个质数分别为mi、mt、mso由题意知：mm>m3=5(mi+m>+m3)一欠定方程不妨令 mi=5,贝U mm2=m+m2+5mmi-mi-m2+1=6(mi-1)(m 2-1)=6=1 x 6=2X3则 m-1=2,m2-1=3 或者 m-1=1,m2-1=6即m=3,m2=4 (不符合质数的条件，舍)或者m=2,m2=7贝U

5、 m+m2+m3=14。小技巧：考t时，用 20以内的质数稍微试一下。（4）奇数和偶数整数Z/奇数2n+1 .I偶数2n相邻的两个整数必有一奇一偶合数一定就是偶数。（X） 偶数一定就是合数。（X）质数一定就是奇数。（X） 奇数一定就是质数。（X）奇数偶数运算：偶数土偶数才禺数；奇数±偶数=奇数；奇数±奇数=偶数奇数*奇=奇数；奇*偶=偶；偶*偶=偶合数=质数*质数*质数* *质数例：12=2*2*3= _ 一*3分数：p,当p<q时为真分数，p q时为假分数，带分数（有整数部分的分数） q（6）小数:纯小数：0.1 ;混小数：1.1 ;有限小数;无限小数;实数R有理数

6、Q整数（Z）分数（m）n无理数有理数Q:包括整数和分数，可以知道所有有理数均可以化为卫的形式，这是与无理数的区别,q有限小数或无限循环小数均是有理数。p.循环节数字无限循环小数化成 上的方法：如果循环节有 k位，则此小数可表示为：人Exqk个9oo0.a bc =abc999.0例1、0.213 =0.2131313化为分数分析:. O0 00.213=0.2+ 0.013=0.2+0.1*_1 + ±*130.13=5 + 10 99oo例2、0.abc化为最简分数后分子与分母之和为137,求此分数.abc 26.分析：0 abe = 从而 abc=26*9999 111无理数：无

7、限不循环小数常见无理数：兀、e带根号的数（根号下的数开不尽方），如， 2,，3对数，如log 23有理q （Q）有限小数实数（R）无限循环小数1无理数：无限不循环小数有理数 整数Z分数真分数（分子分母，如3/5 ）假分数（分子 分母，如7/5 ）考点：有理数与无理数的组合性质。A、有理数（+ X+ ）有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义）B、无理数（+-X+ ）无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数；无理数+非零有理数 =无理数eg.如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（X）。如，扬口2 T2oC、有理数（+ ）无理数=无理数，非零有理数（X + ）无理数=无理数（

8、8） 连续k个整数之积可被k!整除（k !为k的阶乘）（9）被k（k=2,3,4-）整除的性质，其中被 7整除运用截尾法。被7整除的截尾法：截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的是7的倍数，该数就可以被 7整除2倍，所得结果若同余问题被2 整除的数，个位数是偶数被3 整除的数。各位数之和为3 倍数被 4 整除的数，末两位数是4 的倍数被 5 整除的数，个位数是0 或 5被 6 整除的数，既能被2 整除又能被3 整除被 8 整除的数，末三位数之和是8 的倍数被 9 整除的数，各位数之和为9 的倍数被10整除的数，个位数为0被11 整除的数，奇数位上数的和与偶数位上数的和之差（或反过来）

9、能被11 整除被7、11、 13整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或反过来）能被7、11、 13 整除第二章绝对值（考试重点）1 、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集要求：（1） x系数都要为正（ 2）奇穿偶不穿2、实数a 的绝对值的几何意义：数轴上实数a 所对应的点到原点的距离【例】充分性判断f（x）=1 只有一根（ 1） f（x）=|x-1|（2） f（x）= |x-1|+1解：由（1） f（x）=|x-1|=1 得 x 11 两根由（2） f（x）=|x-1|+1=1 得 |x-1|=0, 一根答案：（B）3、基

10、本公式：|x|<a -a<x<a |x|>a x>a 或 x<-a |x|=a x= a4、几何意义的扩展：|x| 表示 x 到原点的距离|x-a|表示 x 到 a（ 两点 ） 的距离|x-a|+|x-b|表示 x 到 a 的距离与x 到 b 的距离之和，并且有最小值|a-b| ，没有最大值，当x 落入 a,b 之间时取到最小值|x-a|-|x-b|表示 x 到 a 的距离与x 到 b 的距离之差，并且有互为相反数的最小值 -|a-b| 和最大值|a-b| ，当 x 在 a,b 两点外侧时取到最小值与最大值5、性质：对称：互为相反数的两个数的绝对值相等等价：

11、（1） |a|（升次）应用：1 x1 x2 1(Xl x2)2_(Xl x2)2 4x1x2,22(2) |a| a (去绝对值符号)a2 |a|非负性（重点）：归纳具有非负性的量11242n24a ,a a 0； a 2 ,a 46、重要公式凶 -x-X |x|1x>01x<0cj Labcl有几种取值情况?c abc|b|形如三角形三边关系【例】a,b,c都为非零实数， 回 Lbl a b讨论：两正一负：2两负一正：-2三正 2三负 -27、绝对值不等式定理三角不等式：|a| |b| |a b| |a|左边等号成立的条件：ab 0且|a| |b|右边等号成立的条件：ab 0第二

12、章整式和分式一、内容提要1、整式单项式：若干字母与数字之积 多项式：若干单项式之和2、乘法运算(1)单项式X单项式2x 3x2=6X3(2)单项式X多项式x (2x-3) =2x2-3x(3)多项式X多项式(2x+3) (3x-4) =6x2+x-123、乘法公式(重点),.、222(1) (a b) a 2ab b，一、2222(2) (a b c) a b c 2ab 2bc 2ac(3) (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2,.、22(4) a b (a b)(a b)3322(5)a b (a b)(a ab b )4、分式：用A,B表示两个整式，A+ B就可以表示成 公的形式

13、，如果B中还有字母，式子 上 就叫分BB式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在解分式方程的时候要注意检验是否有增根5、有理式：整式和分式统称有理式6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式9、分式的运算：bebdcb ac - b a - b加减法:adbc-acac乘法：a?cacbdbdacad除法：一一一？一bdbc乘方：(a)n bbn10、余式的定义(重点)：被除式=除式x商株式F(x)=f (x) g(x)+r(x)当r (

14、x) =0时，称为整除11、f(x)含有(x a)因式 f(x)能被(x a)整除12、二次三项式：十字相乘可以因式分解2 . K 1形如13.因式定理f(x) 含有(ax-b )因式f(x)含有(x-a )因式14、余式定理：ax + bx + ca1f(x)可以被(ax-b )整除 f( )=0 af(a)=0f (x)除以ax-b的余式为f() a二、因式分解常用的因式分解的方法1、提公因式法【例】2、公式法3、十字相乘因式分解，适用于2ax bx c ,见上面第12小点4、分组分解法2(1) ax bx c十字相乘，一、3.一 ，、(2) ax bx c 了解内容、，3.3,2C、万法

15、： ax bx c= ax b1x b2x c = x(axb1) b2(x 一)或b2_3j -_3j -3 ax bx c= ax bx g C2 =axCi bx C2(3) ax4 bx2 c 设t x2将原式化为 at2 bt c3.2(4) ax bx c方法一、拆中间项J方法二I立方公式平方差ex : 2x3 13x2 3 2x3 x2 12x2 3(5) ax5 bx c方法一、ax5 dx3 dx3 bx c方法二、ax5 dx2 dx2 bx c(6)待定系数法(见讲义 24页)多项式anxn an ixn 1 .aixa。0的根为a°的约数除以an的约数(7)双

16、十字相乘法2,2应用：ax by cxy dx ey fx y常数=(aix biy f1)(a2x b2yf2)a1a2其中aib2d,b1f2 b2 fl ea,b1b2 b, f1f2 fa2 bl c,a1f2 a2 fl经典例题:1.实数范围内分解(x 1)(x 6)(x25x 16) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)120 有(B)A. (x1)(x6)(x25x16)2_B. (x1)(x6)(x5x16)C. (x 1)(x 6)(x25x16)2D. (x 1)(x 6)( x5x16)E.以上都不对解答：用特殊值代入得2.已知abc 0且aA. -3 B-2adb

17、D1) c.3b(l aE1、，11)c( cab以上全不对(A)1) c1) ca1 ab)bd aa)(bb)(bcacacba-)(-)(bb解答：(c)(a bc-)(a-) a第三章比和比例一、 基本定义2.关系(1)原值为 原值为a,增长了a,下降了P%P%现值为现值为a(1+P%)a(1-P%)如果原值先增加a (1+P%)(1-x)=a如果原值先减少P%减少多少可以恢复原值P% x 1 P%P%增加多少可以恢复原值P%a(1-P%)(1+x)=aP% iP%P%(2)比较大小甲比乙大P%,P%甲二乙(1+P%)乙比甲小甲比乙少P%,P%甲二乙(1- P%)乙比甲大p%p% 1p

18、%1 p%(3)甲是乙的P%,甲一P% 甲二乙P%3.比例：a:b=b:c ba、c比例中项4.正比y=kx （k 可正可负）、性质a:b c:dad bc内项积=外向积三、重要定理1 .更比定理2 .反比定理3 .合比定理4 .分比定理*5.合分比定理*6.等比定理a c b d a c b da c b d a c b da c b da b c d b d a ca bba bba mcb md（两边取倒数）c ddc dd（两边加1,通分）（两边减1,通分）aceace ab d f b d f bbc 3a ac 3b ab 3c【例】 a,b,c 为非0头数，且m ,求mabc（1

19、） 当a b c 0时由等比定理，分子分母同加减，得 m=-1（2） 当a+b+c=0时a+b=-c 代入原式，得 m=-4 陷阱在分母的取值，要分开讨论7.增减性（比较大小）a,b,m均大于0什 aam a,若一1 则一（m 0）bb mb若0 a 1则与3a （m>0）b b m b四、平均值1、算术平均值：2、几何平均值要求是n个正数，则xg yx,x2.xnnjX五、平均值定理1、Xix2xnnn x1x2.xn当且仅当x1x2Xn时，两者相等2、n=2 时，b Tab2113、当 a -, a 2ba六、比较大小的方法：1、整式作减法，与 0比较大小2、分式作除法，与1比较 技

20、巧方法：1、特值法2、极端法（趋于 0或无穷大）111111【例】 一：一：一 一： 一 ：一，且 a+b+c=27,求 a-2b-2c a b c 2 3 4a b c 2 3 4 9由题思可知，a:b:c=2:3:4, - 可得 a=6 b=9,c=12a22算出 a-2b-2c=-36第四章方程不等式 一、基本定义：1、元：方程中未知数的个数 次：方程中未知数的最高次方数 2、一元一次方程Ax=b 得 x b a3、一兀二次方程22ax +bx+c=0(a w 0)一兀一次方程 ax +bx+c=0,因为一兀一次方程就忌味着aw 0。.2b当 =b -4ac>0时，方程有两个不等实

21、根，为X1,2=-。当 =b2 -4ac=0时，方程有两个相等的实根。当 =b2 -4ac<0时，方程无实根。一元n次方程根的情况：一元二次方程中带根号的根是成对出现的，一元三次方程至少有一个 有理根，或者说奇数次方程至少有一个有理根、重要公式及定理21、 一兀一次方程 ax +bx+c=0的解法(1) 因式分解：十字相乘(为完全平方数)b 、一求根公式X12 = 1,2 2a2、 抛物线y=ax2+bx+c图像的特点及性质2y= ax +bx+c(抛物线)，则开口方向由 a决定：a>0时，开口向上，a<0时，开口向下c决b定与y轴的交点对称轴 x= 2a ,对称轴左右两侧单

22、调性相反两根决定了与x轴交点2- ( _b_ 4ac b2)lx1 x2|= la代表抛物线在x轴上截取的长度顶点坐标2a， 4a 当 >0时，有两个不等实=0,有两个相等实根，<0时，无实根恒正：a>0,<0;恒负：a<0,<0、根与系数关系(韦达定理)bc, X1X2aa ,注意：韦达定理不仅对实(1)1Xi1X2XiX2X1X2b 一 十一与a无关c2X12X2(K X2)2 2X2b2 2ac仪忆)2c2(3) |x X2 | Ja X2)2 4X1X2匚|a|(4) X12 X22 (X1 X2)2 2X1X2(5)3X13X2(X1(x X2)(

23、X1X2)(X12 KX2、2 x2)3X1X22X2丫丫 2Xi X2如果X1、x2是ax bx c 0的两个根，则根是适用的，对虚根也适用韦达定理的扩展应用：考试题型1、题型一2.aX bX c 0的根的分布情况(1)有两个正根(2)有两个负根(3) 正一负根如果再要求X1 X2 0,X,X2一 0 ,aaX1 x2 0,x,x2 - 0,aac 一 一 x1x2- 0即a和c异方即可;a|正根|>|负根|,则再加上条件a,00b异号;如果再要求|正根|<|负根|,则再加上a, b同号(4) 一本:艮比k大,一个根比 k小af(k)<02、对数方程，不等式的应用方程：lo

24、g；(x) loga(x) f (x) g(x) 0不等式：a>1 时 log；(x) loga(x) f (x) g(x) 00<a<1时 log；(x)10gg(x) f(x) g(x) 0n 指数相关知识：an a a a(n个a相乘) a nnam mana1对于an ,若n为正偶数，则a 0;若n为正奇数，则a无限制；若n为负偶数，则a>0;若n为负奇数，则a 0。若a 0,则 ja为a的平方根，负数没有平方根。指数基本公式：am an am nnmamanamn其他公式查看手册题型三、韦达定理的应用不等式的性质：1、同向皆正相乘性2、皆正倒数性b 0a bd

25、 0d c不等式a3、c,_224、a b 0 a b不等式解集的特色： 解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。元一次不等式ax b 若，a>0时x aa<0时 x babax b 右，a>0时x aa<0时 x a2x 12x 12xi移向通分得：竺i3x 23x 2二、含绝对值的不等式三、一元一次不等式组3 x3x 22x 3 03x 2 7求交集得2x 3x 332x 3 03x 2 75x 4 0x 234斛得 x 3 一 一 x 一254x 5一一， 3临界点为-1 , 32x<-1时，解得 8 x 13-1 w xW 时，解得-1 w xW 2

26、2 x>3 时，3 vx<422合并得，8x43性质：1.a>b>0,a2 b2一 一2. 22.a<b<0,ab四、一元二次不等式注：将系数调整为正数后在求解 ax2 bx c 0 时，a>0 时，x x2,x x1 ax2 bx c 0 时，a>0 时，xi x x2解高次不等式：方法：穿针引线法(由右上开始往下穿)注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点；奇次方不考虑全看为一次。x<1 且 xw -1 ,或 2Vx<3类似于|ax+b| |cx+d|>e的不等式，可以分段讨论，但计算量大，这时使用折线法，限于一次方 程，步

27、骤如下：根据ax+b=0,cx+d=0求出折点0,向上折|a|c|0,水平0,向下折一些图像的画法y=|ax+b|, 下翻上，把原下方图像上翻后去掉原下方y=|ax|+b, 右翻左，把右边翻到左边，去掉原来左边的|y|=ax+b, 上翻下，原来下方去掉五、超级不等式：指数、对数问题(1)对数的图像要掌握方程：log；(x) loga(x)f (x) g(x) 0不等式：a>1 时 log；(x)loga(x)f (x) g(x) 0单调递增0<a<1时 log；(x)10gg(x) f(x) g(x) 0 单调递减1对于an,若n为正偶数，则a 0;若n为正奇数，则a无限制;

28、若n为负偶数，则a>0;若n为负奇数，则a 0。若a 0,则 J3为a的平方根，负数没有平方根。第五章应用题、比、百分比、比例（1）知识点利润=售价-进价利润=出厂价-成本壬H、/门玄禾U润十小玄变化量禾I润率=变化率=、，一进价（成本）变刖重技巧（思路）思维方法：特值法如果题目中出现必需涉及的量，并且该量不可量化，则此量一定对结果无影响。可引入一个特殊 值找出普遍规律下的答案。1、用最简洁最方便的量作为特指2、引入特指时，不可改变题目原意3、引入两个特值时需特别注意，防止两者间有必然联系而改变题目原意讲义P131/例20一般方法：十字相交法：优秀 906人数比非优.3 一非优=3 50

29、=305十字交叉法的使用法则1、标清量2、放好位 （减得的结果与原来的变量放在同一条直线上）3、大的减小的题型归纳1.增长率（变化率问题）2.利润率3.二因素平均值 4.多比例问题5.单量总量关系 6.比例变化7.比例性质二、工程问题（总量看成1）（1）知识点工量=功效*工时（效率可以直接相加减）工量定时，工效、工时成反比工效定时，工量、工时成正比工时定时，工量、工效成正比纵向比较法的使用范围：如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用纵向比较法的使用法则：1、一定要找到可比较的桥梁2、通过差异找出关系并且利用已知信息求解工程问题题型：效率计算；纵向比较法；给排水问题；效率变化问题三、速度问题知

30、识点：1 . S=vtS表示路程（不是距离或位移），v匀速，t所用时间s 定，v、t 成反比;v 定，s、t 成正比;t 定，s、v 成正比2 .相遇问题S为相遇时所走的路程；S相遇=s1+s2=原来的距离；V相遇=v1+v2t 6目遇相遇时所用时间“目遇3 .追击问题S追击=s1-s2 （走的快的人比走的慢的人多走的路程）V 追击=v1-v24.顺水、逆水问题V 顺二丫船+v水V逆7船7水（丫顺“逆=2 V水）16016022例16.公共汽车速度为v,则有 v v 803得v=40;最好用中间值代入法中间值代入的适用范围：往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最

31、有效的方法是中间值 代入法，而回避解一元二次方程。使用法则：用中间值代入而非中间答案同等条件下用最简洁最方便的代入如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。例 17. （V卡+60） 6= （48+ V卡）7 得V卡=24（V卡 +60） 6= （V丙 +24） 8 得V丙=39例20.第一次相遇：小明走了500,小华走了 S-500;第二次相遇：小明走了 S+100,小华走了 S-100第一次相遇：小明和小华走了S；第二次相遇：小明和小华走了2S说明第二次2个人走的都是第一次的2倍;对于小明来说：S+100=2X 500S=900例21.设船速V,水速x,有1208016v

32、x V x6012016v x v x解得 x 2.5速度问题题型总结：1.s=vt（中间值代入法）2. S 相遇=s1+s2, V相遇=v1+v2 3. 顺水逆水问题四、浓度问题溶质知识点：定义：浓度=溶液 溶液=溶质+溶剂溶质=浓度X溶液溶质溶液=溶度例24.属于补水（稀释）问题第一次剩下纯：（x 20） ?60%纯：T°%30(x 20) ?60%剩x 20) ?60%30 T60%浓度为：（x 20） ?60%-30x /x=20%x=60通用公式：原浓度（v a） （v b） 后浓度倒两次：v2原浓度（v a） （v b） （v- c） 后浓度倒三次：v3v为原来溶液的量，

33、a为第一次倒出的量，b为第二次倒出的量 题型归纳；浓度计算；补水问题五、画饼问题1 .两饼相交;=A+B-x+y例25.设只有小提琴人数为 5x,则总人数=46=22+5x+3x-3x+14 只会电子琴的=22-6=162 .三饼相交总=A+B+C-x-y-z+m得x=2例 28.总=3?30-5-6-8+3=74六、不定方程1.3.步骤:1.最优化方案选择的不定方程；2.带有附加条件的不定方程不等式形式的不定方程要勇敢的表达出方程 ；2.观察方程和附加条件拉关系;3.求解（穷举法）例27.设一等奖，二等奖，三等奖人数为 a, b, c,则有a b c（a, b, c为正整数）6a+3b+2c

34、=229a+4b+c=22得a 2接着穷举法当 a=1 时，b=2, c=5当a=2时，不符题意最优化方案选择题目的解决方案：1、找到制约最优的因素（稳，准，狠）；2、判定什么情况下最优；3、求解不等式形式的不定方程解决方案：列出不等式通过不等式组求出解得范围 根据附加条件判定具体解集 例29.东欧2/3欧美欧美2/3总数 亚太1/3总数七、阶梯价格问题 图表型、语言描述型 做题步骤：1.分段找临界； 例30.少于1万1万-1.5万1.5欧美15个总数3/2欧美总数182.确定区间;0125150350万-2万2400总数少于213.设特殊部分求解万-3万3万-4万125+150+350+x

35、?4%=770 x=3625第六章数列、等差数列an 1 an常数，则an为等差数列，公差 d 常数1、an a1 n 1 d通项公式ak n k d起始项不是第一项，n的系数。dn a1 d关于n的函数，说明等差数列通项是关于n的一次函数，公差为注：an 3是等差数列，为常数列，通项就是该常数，常数列是数列题特值法的首选。2、Snn a ana1an 已知n n22 项数求S几就是脚码乘以一个数，&3 13 X、等比数列等比数列通项是关于 n的指数函数,3n【补例】an 4- 2n1是等比数列，q33二，a124S a1 1 q3 _aqn,为一定有常数项的指数函数。n 1 q1 q

36、 1 q*如果一个数列既是等差又是等比数列，则该数列为非零常数列数学思想1、定性排除加反向验证；2、首选特值法和图像法；3、充分性判断先猜后做。【补例】Snn2 11n有最大值，在对称轴处取得，总结：Sn f(n) an2 bnai 0,d0,Sn有最大值；aiN的取值四舍六入，例：(1) n=5, S5有最值(2) n=5.1 , S5 有最值,(3) n=5.6, S6 有最值,n 一，即S5 S6 =S最大值2 14对称轴：n2 d0,d 0,Sn有最小值0,a6 0(4) n=5.5 , S5S6 有最值，且 S11总结：(1) an为n的一次函数(2) Sn为n的无常数项的二次函数

37、(3)若an为常数列，an退化为常数，Sn退化为n的一次函数，如 为 3? Sn 3n【补例】an , bn前n项和为Sn,Tn ,则§9：丁19 3： 2(1) an , bn为等差数列(2) a10：bi03: 2利用S=却码*中间项，选C【补例】等差数列中 S9 72 ,求a2 a4 a9S9 9 a5 72, a5 83n33【补例】an -nr是等比数列，q 二，a12241 nS a -a_aqn,为一定有常数项的指数函数。 n 1 q 1 q 1 q【补例】Sn 2n 1是等比数列【补例】Sn3n2n 1不是等比数列，需要配一个常数Sn1 ,常数与系数相反数，q232,

38、a11一的等比数列4注：sn2n是等比数列，但是只影响第一项,从第二项开始与n ),Sn21所代表的等差数列的第二项开始完全相等。【补例】09-01-11 ,1- an 0, a1 二，an2202s 11 口,贝 U TESn_1A、首项为2, q -2的等比数列；日首项为2,q2的等比数列C、既非等差又非等比;D首项为2,1 ，一d 的等差数列2E、首项为2, d 2的等差数列SnSm252Sn2Sn21Sn2SnSn 1 Sm-0 G2Sn2答案选ESnSn1总结:an为n的指数函数(2) Sn为n的有常数项的指数函数，且系数相反(3)若an为非0常数列时，an退化为常数,Sn退化为n的

39、一次函数，如an a1该常数，Sn na1(4)既成等差数列又成等比数列的一定是非0常数列【补例】等差数列，3a50,则Sn最小A、S1 或0B、S12C、S13S15E、以上都不对3a5a14d7 a19d51三个数成等差:d, a, a三个数成等比:2a,aq,aq ,1 5113.2所以n取13,答案选Ca一，a,aq ,分式未必好处理) q四个数成等差：a d,a,a d,a 2d , （ a 3d,a d,a d,a 3d ,对称，但公差为 2d ,易错）a2 a a 32四个数成等比： 一，a,aq,aq , （ ,-,aq,aq ,对称，但公比为q ,易错） qq qM总结:等差

40、数列等比数列1、定义2、通项3、通项公式技巧（an是关于n的一次函数）（an是关于n的指数函数）4、前n项和公式Sn1a1 anqa1(1 qn)q 1 , Sn/1 q1 qq 1, Snna15、Sn技巧关于n的无常数项的二次函数关于n的中常数项的指数函数6、角码规律7a、b、c成则 b a cb叫做等差中项. 一 .2.a、b、c成等比，则b ac （奇数项同号、偶数项同号）b叫做等比差中项8,S2k i (2k 1同bkT2k 1第七章排列组合（解决计数问题）一、两个原理? 加法原理（分类）做一件事有n类办法，每一类中的每一种均可单独完成此事件，如果第一类有m1种方案，第二类有 m2种

41、方案. 第n类有mn种方案，则此事件共有方案数m1种方案，第二个步骤有m2种方案.N1mlm2 mn? 乘法原理（分步）做一件事分n个步骤，如果第一步有第n步有mn种方案，则做此事件的方案数N m1 m2模型：从甲到乙有2种方法；从甲到丙有4种方法；从乙到丁有3种方法； 从丙到丁有2种方法； 问从甲到丁有几种方法?解：2*3+4*2=14二、两个概念排列1、排列定义：从n个不同元素中，任意取出 m (m n )个元素，按照一定顺序排成一列，称为从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列2、排列数定义：从 n个不同元素中取出 m ( m n)个元素的所有排列的种数，称为从n个不同元素中取出m个元

42、素的一个排列数P1mn(n 1)3、(n m 1)n!(n m)! P：n!n个不同元素对应 n个不同位置的方案总数记为n!(一一对应)常用的阶乘数： 0! =1, 1! =1, 2! =2, 3! =6, 4! =24, 5! =120组合cnm?1、组合的定义：从n个不同元素中，任意取出m (m n )个元素并为一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有可能的组合的个数称为组合数常用的组合数：CO 1 C： n C42 6C3 20c3c；3 c4 C434C； C； 10 C2 C： 15 C72 C75 21C；C"28(1)、(2)、(3)、Cnmn mCn(

43、化简用)(4)、CnmCm1(5)、Cn°C：Cn 2n3、二项展开式:(ab)n C；an C：an 1bC：anrbr.C；bn存在选择cnm存在对应 n !2、组合的性质:只要存在选择，使用 C只要涉及到顺序，就阶乘(不同元素对应不同位置)建议：尽量画位置图 尽量具体化 各种题型总结：平均分组问题：注意要修正，看所分的组间是否有区别，无区别为平均分组，要再除以阶乘对元素或位置限定：思想是先特殊后一般相邻：捆绑法，解决元素相邻问题。步骤是先把相邻元素作为一个元素进行大排列，然后可能存 在小排列不相邻：插空法，解决元素不相邻问题。先不管不相邻元素，把剩下的大元素进行大排列，然后 选

44、取间隔插空，可能存在小排列m 1(6)隔板法：n个相同的元素分给 m (m n)个人，每人至少一个名额Cn 1使用隔板法要满足以下三个条件1、所要分的物品规格必须完全相同2、所要分的物品必须分完，绝不允许有剩余3、参与分物品的每个成员至少分到一个，绝不允许出现分不到物品的成员每人至多一个cmcmm n 1代表无任何约束的隔板问题例：从1, 2, . , 20这20个自然数中任取3个不同的数字组成等差数列，问有()多少个。解：等差数列a1，a2,a3, a2 a1 d,a3 a1 2d,可知a1，a3奇偶性相同。这20个数中有10个奇数，每选的两个奇数选出后可构成2个等差数列，则10个奇数可构成

45、等差数列的个数为 p)同理偶数也可以构成 P0,总共2吊个第八章平面几何和解析几何(为考点，为重点，为运用，*为总结)一、平面几何部分1、平行直线(1) 一条直线与一组平行线之间的关系231与4是同位角，同位角相等2与4是内错角，内错角相等3与4是同旁内角，同旁内角互补 内错角的角平分线平行；同位角的角平分线平行；同旁内角的角平分线垂直。2、多边形奇数条的多边形任意多边形的外角和是 360三角形(1)三个内角和： A+ B+ C=180o四角形内角和为360°n边形内角和为(n-2) X 180°外角：三角形外角等于不相邻两内角和(2)三条边：两边之和大于第三边，两边之差小

46、于第三边例1、已知三角形 ABC,其中A(1,3)、B(4,6)、C点在x轴上运动求(1) C点在何位置时，AC BC值最小；(2) C点在和位置时,AC BC值最大。解：(1)错误答案：，AC BC AB , AC BC最小值为AB分析：由于等号取不到，答案错误正确答案：作 A点关于x轴的对称点得 A'A(1,3)、A'(1, 3)、B(4,6)、求C点，利用等比关系 - CD, CD 2 93当点C在(2,0),时AC BC的最小值为3月。(2)：作AB的延长线，C点是AB延长线与x轴的交点因此可知，当C点在(-2,0 )时,AC BC最大彳1为3垃*总结1、当A点、B点在

47、坐标轴的同侧时，求 AC BC最小值，需做对称点，求AC BC值最大，直接连线即可。2、当A点、B点在坐标轴的两侧时，求 AC BC最小值，直接连线即可，求AC BC值最大，需做对称点。(3) 三角形的四心 重心：三条中线的交点，将中线分成1： 2两段，坐标为(“ x2 x3 ,当3 垂心：三条高的交点。 内心：内切圆圆心，三条角平分线交点，角平分线到角两边的距离相等 外心：外接圆圆心，三条边的中垂线交点。*总结1、内心与重心必在三角形内部。在三角形内2、外心与垂心在边界上在三角形外锐角三角形一存外心在斜边中点 二角形重心在直角顶点钝角三角形(4) 周长与面积1周长 L=a+b+c 面积 S=

48、 - absinc= Jp( pa)( pb)( pc) ,p 为半周长(等底等高等面积；若等高，面积比等与底边比)(5) 全等和相似三角形相似的判定定理(其他皆为此二种的变形)两个三角形中有两个角对应相等两个三角形两组对边对应成比例，且其夹角相等概念：相似比 R=f似三角形边长之比一组相似形中线性比均为R,面积比为R2,体积比为R3全等：R=1的相似即为全等全等判定：边角边，边边边，角边角定理可判定两个三角形全等，相似时比全等多了一个角角角判定。周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似：周长、中线、高之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。(6)特殊三角形1) Rt角： A+ B= 9

49、0o边：勾股定理：a2 b2 c22.22对于一个给定的三角形，如果a b c (c为最长边)，则该三角形为钝角三角形，反之为锐角三角形常用的勾股数：(3,4,5),( 5,12, 13) , ( 7,24,25) , ( 1,1,72),(1,62) , (9, 40, 41)(观察够股数发现以下特点1、首数字为基数；2、其周长为n2 n n(n 1)。例1、Rt ,直角边最短为17,求周长？周长为 n2 n n(n 1) 17 18 306等腰直角，角度45 ° 45 ° 90 ° 三边1:1: 好等差数列直角， 角度30 ° 60 ° 90 ° 三边1:J3 ： 230o所对的边是斜边的一半一般Rt ,外接圆半径R