生成式的数学概念教学

1、生成式的数学概念教学一次“众数、中位数”教学尝试上海市恒丰中学 沈岱曹治安摘要：在“众数、中位数”教学中，我们的教学策略是：创设问题情境，揭示数学概念的来源；提供探究任务，明晰数学概念的内涵；组织变式训练，深化数学概念的理解；回归问题原型，加强学生情感体验。关键词: 比较研究 建构主义 一、研究的背景1中美数学教学的一些基本特征20世纪80年代以来，中国的数学教学基本上以“接受式”为主，后来“启发式”有所发展，近来人们认识到“活动式”教学的重要性。而美国的数学教学一贯重视让学生自主探索和自主发现，对学习过程的体验1。下面，我们以“众数、中位数”教学为例说明中美两种不同理念下的教学设计。2“众数

2、、中位数”的两种教学设计中国的一种“众数、中位数”2设计过程为：（1）创设情景、提出问题；（2）合作讨论、探索新知；（3）理性概括、纳入系统；（4）指导应用、鼓励创新：（5）归纳小结、反思提高。而美国的一种“众数、中位数”3设计为：（1）提供开放性活动的任务工作单；（2）探讨“发现”的方法与规律；（3）组织探究过程；（4）实施探究任务。比较上述两种设计，我们发现他们之间的一些差异（如表一所示）。表一 中美对“众数、中位数”的两种教学设计之比较中国“课例大家评众数、中位数”美国“赋予各种集中量数的意义”优点不足优点不足1教师通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的主导作用。进行“学疑结合

3、”、“学思结合”、“学用结合”的学法指导。2其知识的系统性、教学目标的达成度都较高，数学思想方法有所体现与贯穿。3课堂容量与密度大，“双基”训练多。1学生的探究活动少，缺少对知识的发生、发展过程的体验。2课堂中学生主动建构数学知识、探究知识内在联系等方面的机会少。3学生直面数学困惑并挑战难关的主动性很少能够被激发与调动起来。1教师呈现探究任务，学生在研究的情境中探究某个概念的意义。2学生参与到提出猜想、检验猜想、推理证明的过程之中。3教师参与到学生的小组活动之中，施以必要的帮助。1教学组织比较凌乱、课堂容量小，任务实施大多数时间处于无组织不系统的探究水平之上。2学生很少能够清晰而明白地说出猜想

4、的理由，不少学生的探究处于盲目的状态。3学生难以增进对建立与检测猜想过程的理解。3教学内容的考虑教学目标（1）从生活故事中产生问题，在遭遇问题过程中自主发现疑问，产生渴望建立新概念的要求，借此培养学生发现问题的探索习惯与质疑事件的敏锐性；（2）引导学生建立新概念，在交流讨论中领悟概念的内涵与外延，通过合作探究来建构概念，培养学生的交流表达能力；（3）回归生活实践，解决实际问题，把知识内化为一种能力。（4）营造数学课堂教学中平等对话、和谐互动的氛围。渗透建构主义理念和归纳猜想的数学思想方法。帮助学生树立全面发展、学科相互借鉴和相互促进的意识，养成科学思维的习惯。教学内容地位分析与重难点解读众数、

5、中位数与平均数都是描述一组数据的集中趋势的统计特征量。面对描述某个对象或某件事情的一组数据，可以利用这几个基本概念帮助学生学会用数据说话。平均数的概念在学生头脑中已有较深的印象和基本认识，不再讲解，本节课的重点在于众数与中位数的求法与应用；众数与中位数概念的形成与定义既是重点又是难点。如果教师开门见山给出定义，既不利于学生主动探索知识能力的培养，也不利于学生理解数学与生活的关系，误解成数学概念是天上掉下的馅饼。中学生学习数学重要的是能够理解“数学源于生活，又反作用于生活”，学生建构概念时能够用他们自己的语言表述科学概念的含义，不求遣词的生动，只求表达的准确和易于理解。因此，(1)根据学生的认知

6、特点，笔者将概念解读为以下两个说法：1°众数是代表大多数的数，即重复次数最多的数据；2°按大小排列后的一组数据居正中的一个数据或两个数据的平均数来表示中位数。二、教学设计我们追求一种有意义的活动式学习，主动建构，进行必要地变式训练，重过程亦重获得。我们主张课堂教学应“以学生为本”，以促进学生的自主发现、自主研究、自主发展作为出发点而实施探究活动；以“教师组织教学是为了有利于学生有意义的活动式学习、主动积极建构”而实施合作学习；以有效提高学习质量为归宿点而进行变式训练。我们以如下的想法作为我们的设计支柱。1、创设问题情景，揭示数学概念来源教师为了激起学生的内驱力，最有效的方法

7、就是“重视教学与现实生活的联系”（顾泠沅面向21世纪上海市中小学数学学科教育改革行动纲领），即创设问题情景，使学生引起认知冲突，直面数学困惑，置身于渴望解决问题的情境之中。为此我们设计了“广告策划员的工资该定为多少”的问题情景，问题的解决转化数学问题的争论：学生用已有的知识直接解决问题存在争议，用创造性的知识解决问题又存在疑问，这激起了他们对解决矛盾的迫切愿望。我们创设了小张到某公司应聘的如下问题情景： 诚 聘上海安化广告有限公司由于业务发展需要，现向社会公开招聘一名广告策划员。要求：熟悉平面设计与办公自动化软件、大专以上学历、男女不限、待遇从优。 2003-5-1小张应征而来，向总经理询问一

8、些情况。总经理说：“我们这里经济效益好，待遇不错，员工月平均工资2500元。只要你干得好，公司不会亏待你。不过，你得先试用一周”。小张工作几天后，公司通知小张说他的月薪为2000元。小张很有情绪地找到总经理说：“你欺骗了我，你不是说月平均工资为2500元嘛，怎么才给我2000元呢?”总经理说：“小张，员工月平均工资就是2500元，不会错的，我不可能骗你。至于你的工资，公司决定按全体员工的一般工资水平2000元给你。不信，我可以给你看我们的工资统计表。”边说边拿出一张表格给小张看。上海安化广告有限公司2003年4月工资发放统计表员工总经理部门经理设计员业务员文秘总计人数（人）141012330月

9、工资（元）70004000250020001000合计（元）7000160002500024000300075000讨论的问题：小张的工资该定为多少？2、提供探究任务，明晰数学概念的内涵为保护和鼓励学生的个人能动性并提高课堂效率，我们要求学生自主或小组合作学习，利用工作表推导出“众数、中位数”意义。从而在某种程度上利用以前的学习，对新信息进行精制，并与其他信息关联起来，以便在保持简单信息的同时，理解复杂信息；学生清晰地认识到了自己的工作目标，就可以形成与获得所希望的成果相应的预期从一组数集猜想，利用别的数集验证或纠正猜想，使合作学习取得成功。由此让学生熟悉归纳猜想的数学思想方法，体验克服困难的

10、兴奋与团结协作的价值。我们提供的工作单如下：表二 中位数、众数意义根据下列各组数据，推测众数、中位数的意义。A组：2、3、10、12、17众数：无 中位数：10B组1、2、2、5、6、7、8众数：2 中位数：5C组：1、1、9、6、11众数：1 中位数：6D组：3、6、8、9、10、11众数：无 中位数：8.5E组：2、15、12、2、8众数：2 中位数：8F组：8、2、12、15、2众数：2 中位数：8G组：6、6、1、8、8、7、7、7、4、6众数：6、7 中位数：6.5H组：5、5、5、5、5、5众数：5 中位数：53、回归问题原型，实施适度的变式训练为确保授课的完整性，我们在鼓励学生从

11、情境中发现数学概念，经过探究明白了数学概念的本质之后，再回到问题情境之中，解决问题。为了巩固学习成果和检验迁移水平，我们将情境改造，形成“貌似神非”和“貌非神是”的新问题，加强变式训练。训练题如下：1 小张的工资按经理的意思该定为多少？2 如果将表格改为下表，销售员的月销售改定为多少？并说明理由。上海×商场2003年6月电冰箱的试销售情况统计表销售台数3891112 33人数13115513若为下表，该选谁做班长？并说明理由。班级班长候选人得票数 候选人徐听奉献张以淼刘铮铮选票数3161074、尝试文理互补，深化数学概念的理解“二期课改”强调中学各学科要有机整合。我们用录像片断呈现故

12、事情景，结尾部分通过两首诗帮助学生理解两个概念，在用数学语言学习的同时，又以诗的语言加深印象。师生合作小结，既有利于学生巩固建构成果，又有利于学生精炼建构经验。下面是我们归纳的两首诗：表三 中位数、众数的描述诗众 数中 位 数三人为众众表多，众数含义我来说。一群好汉选首领，众数当然做大哥。大哥大哥该是谁？数数谁家兄弟多：没有大哥别伤心；一个大哥最好过；几个大哥也好说。一群好汉闹嚷嚷，兄弟依次排成行。中位数啊中位数，不当尾来不称王，胆小如鼠站中央。兄弟9个你老5，前怕狼来后怕虎；10个兄弟又咋办，老5老6平均算。5自主评价通过自主评价，促使学生反思他们的体验和获得的知识等，提高反思性学习的能力。

13、三、课堂活动的分析（一）课堂教学行为的变化在课堂教学实施过程中，策略型学习的建构主义思想得到了充分的体现：讨论的开放度，平等对话、和谐互动的课堂教学氛围，学生长时间保持较高的思维水平都给我们留下了深刻的印象。下面我们分两个环节来说明。1基于问题情境，学生从不同的角度提供不同的解决方案，多观点交锋在学生各小组仔细琢磨了录像情境中的问题后，教师鼓励学生大胆设想自己的解决方案，并对学生的回答作评价或总结。请看片断：师：小张的工资该定为多少呢？下面我们一起来听听大家的意见。生1：我们认为经理应该给小张开2500元的月薪。因为2500元代表员工工资平均水平，也就是全体员工的一般水平。（有学生反驳：如果比

14、尔.盖茨来我们班级，我们平均就有几十亿美元了，这几十亿美金是我们班级的一般水平吗？）（全班学生大笑）师（笑）：反驳的有道理，举例也很生动。看样子，一般水平并非就是平均水平生2：我们认为小张的月薪可以定为2000元。因为公司中业务员最多，有12个人，他们的工资都是2000元，少数服从多数。所以2000元合理。（大家部分赞成，部分反对，有学生低声说设计员也有10人呢，不算少数）师：很有道理，第二小组给出了一个数学概念众数，很了不起的，极富创造力。下面我们再一起来听听其他意见。生3：我们认为总经理工资太高，不该把他的工资算进月平均工资，应该扣除。再去掉一个最低工资，平均工资应该是（75000-700

15、0-1000）÷（30-2）2393（元）这个工资代表一般水平，更合理些。（许多同学笑：不对。你以为是跳水比赛，要去掉最高分，去掉最低分?）师：很好，同学们，第三小组能够把运动员评分规则用到这里，说明我们的同学学习很灵活，肯动脑筋，我们都要学习这种精神数学上习惯称这种平均数为截尾平均数,但2393代表工资的一般水平是不是最合理，好像还有不同的意见。生4：我们认为一般水平就是中等水平。我们把30个员工的工资从高到低排列后，中间有两个值：第15人为2500元，第16人为2000元。取哪一个都不好，我们就取它们的平均值：2250元。这种做法是我们讨价还价的结果，合不合理请大家批评指正。（很

16、多学生很佩服发言人的创新精神与设计能力，频频点头；也有同学说哪有这么复杂）师：这种理解有独到之处，逻辑合理，不简单！他们算出的这个2250就是这30个工资数的中位数。（老师将它写在黑板中央）我们已经有四种意见了，让我们再听听别的意见。生5：小张是不是名牌大学毕业的，工作能力强不强？找工作最讲这个！我表哥复旦大学毕业的，做广告，月薪就是5000。我认为广告策划工作工资可以拿到5000元一个月，当然要看他是那个大学毕业的，是否工作能力强（学生都笑：这个问题又不是数学问题，他吹牛不打草稿）在上述活动中，学生根据自己熟悉的知识以及课堂以外见过的其他类型的知识，提供解决问题的方案并能够阐述理由，学生分别

17、提供了5个方面的内容，开放度较大。2平等对话，促进了学生元认知的发展；自主探究，始终使学生处于高认知水平的活动中。通过师生、生生对话，对多种问题解决策略进行分析和比较，探索合理的问题解决策略或方案。从如下教学片断可见一斑。（1）师：好！我们一起来听听大家对众数的理解，希望举例说明。（2）生6：众数就是一组数据中出现次数最多的数，如B组、C组（3）师：有不同观点的请发表意见。（4）学生7：众数是一组数据中出现次数最多且至少达两次的数，只出现一次的不是众数，如A组、D组（5）师：讲得很好(板书“众数”概念)我们再看一看关于众数大家还能够发现什么有趣的特点？（6）生8：一组数据的众数可能有多个，如G

18、组，我还可以举个例子：2，2，3，3，4，4的众数是2、3、4。（7）学生9：几组数据的众数可能一样，如B组、E组与F组。（8）学生10：一组数据中的各数据交换位置后众数不变，如E组与F组。（9）学生11：同一个数据组成的一组数据中众数就是这个数，如H组。（10）教师：大家讲得都很对。接下来我们谈谈对中位数的理解（11）学生12：中位数就是一组数据中最中间的一个数或中间两个数的平均数（12）学生13：不对，要先排列(老师示意他讲)要将一组数据从小到大排列后，再找最中间的一个数或中间两个数的平均数（13）教师（点头）：能否说得更准确些？（看到大部分同学开始沉默，老师作提示）我的意思是说，何时取最

19、中间一个数，何时取最中间两个数的平均数？（14）学生14：奇数个时取最中间一个数，偶数个时取最中间两个数的平均数。（15）教师：对了，再请问能不能按从大到小排列？（学生15立即回答：能。其他同学也同意。）谁来归纳一下中位数的含义？（片刻）（16）学生15：所谓中位数，就是按大小顺序排列后的一组数据，若有奇数个数据，最中间一个数就是中位数，若有偶数个数据，最中间两个数的平均数就是中位数。（17）教师（板书）：很好。简单的说，将一组数据按大小顺序依次排列后，最中间一个数（奇数个）或最中间两个数的平均数（偶数个），就是这组数据的中位数。请问：从小到大排列后的9个数，中位数是哪一个？（18）学生（齐答

20、）：第5个。（19）教师：从小到大排列后的16个数，中位数是哪一个？（有学生说是第8个，有学生说是第9个，有学生说是第8第9两个数的平均数）（20）教师（提示）：16是奇数还是偶数？（学生：偶数）中位数该是多少？（学生：第8第9两个数的平均数）注意：偶数个数据时，中位数是按大小排列后的正中间两个数的平均数（在概念处划线）。再问：从小到大排列后的n个数，中位数是哪一个？想好了请举手回答。（约两分钟后）（21）学生16：从小到大排列后的n个数，当n为奇数时，中位数是第个数；当n为偶数时，中位数是第与第+1个数的平均数。（22）教师：很好。（并将学生17的回答板书在黑板上）大家再看一看关于中位数还能

21、够发现什么有趣的特点？并举例来支持你的说法。（23）学生17：一组数据的中位数是唯一的，只有一个值。（其他学生齐答：同意）（24）学生18：一组数据的中位数与众数可能相同，如H组。（其他学生齐答：同意）（25）教师：我也有几个讲法，大家看对不对？（1）两组数据的中位数相同，则两组数据相同（生答：不对）（2）中位数就是一组数据最中间的一个数或最中间的两个数的平均数。（生答：不对，要先按大小排列）好的，大家对众数与中位数有了概念性的认识。接下来我们总结一下（板书）：（1）平均数、中位数、众数都是反映一组数据的集中趋势的统计量。（2）平均数反映的是平均水平，中位数反映的是中等水平（或一般水平），众数

22、反映的是最大频率数（或最大权重数）。因此应该根据不同的场合选用不同的数据指标。接下来我们看一看上课初提到的问题，相信大家会作出合理的决策。好，现在再看工作表一，小张的工资按总经理的意思应该怎么给？（26）学生：（片刻，基本上是齐答）给中位数：2250元。（27）教师：好的。我们用掌声祝贺第四小组的英明决策。同时感谢其他几个小组给我们带来的好主意，如果不按总经理的讲法，其他几组的意见也是可行的。使问题处于学生思维水平的最近发展区，强调意义与推理学生从某个例子出发进行自主猜想、再选择另外的例子进行主动验证。通过师生合作学习，学生从多角度理解了众数与中位数的意义。四、教师授课理念1传统的教育观逐步转

23、向建构主义的教学观教育观念决定教育方式，教育方式转变的背后就是教育观念的转变。第一次教学设计更多地沿袭传统的教育观“接受式”：问题情景的作用仅仅在于引出新概念，然后就是“边讲边练”，而第三次设计主要应用了建构主义的教学策略“活动式”：问题情景的作用贯穿首尾，以高思维水平的探究替代模仿性质的边讲边练。建构主义的教学侧略随处可见：录像情景接近真实，问题因素复杂，体现了“教学应该基于内容的真实性与复杂性”。教师对录像情景的引导：“请大家小组交流，分别站在小张和总经理两人的角度提出和数学有关的问题”体现了方法的导引性与支撑性。针对录像情景，教师提要求：“你们小组的问题有几个？想问的问题是什么？你们有无

24、该问题的解决方案或自己的观点”,以及教师启发学生给“截尾平均数”起名字都体现了学习内容的丰富性、挑战性与开放性。教师对学生的鼓励性评价颇多,评价的激励功能充分彰显。整堂课中的师生交流与小组合作学习体现了平等、合作和交流学习共同体的初步形成。2设计思想的转变通过多次反思，教学设计渐趋合理。第一次设计基本上是“自起炉灶”，凭借以往的教学经验和教师个人的喜好或愿望来设计，而第三次设计是“站在别人的肩膀上”的。下面简要说明：（1）“中西结合”：教学过程充分挖掘了原有两个课例的优点，批判性地继承了两种不同文化背景下的优良传统，既彰显了扎实的“双基”训练的特色，又借鉴了美国教学“培养学生的自主探索、自主创

25、新”的长处。（2）“对话”与“合作”：课堂中两次典型的小组合作学习，一是问题情境的讨论，二是探究任务工作单的小组学习。充分体现了“对话”与“合作”的教学理念。3课堂关注点的转变（1）由以往关注教师对知识的传授转变为关注教师怎样引导学生探索新知；如，第一次设计代表了传统的教学处理方式：注重教师如何对“众数、中位数”概念要点的剖析，而第三次设计关注的是教师如何引导学生理解“众数、中位数”的来源及如何推测“众数、中位数”的意义。（2）由第一次设计关注学生对新知识的解题应用，关注变式训练的量，而第三次教学设计关注学生是否积极参与体验知识的发生与发展过程，关注变式训练的质，减少了重复训练。（3）由只关注

26、结果是否正确即教学目标的达成度，转变为也关注学生学习体会的发散性与开放性，关注学生思维中的闪光点。本节课关注的是学生答案中的闪光点，关注的是学生思维过程中的合理成分。如下面这个教学片断：教师要求学生给计算（75000-7000-1000）÷（30-2）2393时用到的平均数起个名字。（片刻，重复学生提到的名称）：运动员计分法去掉头尾的平均数折衷平均数中间平均数还有吗？没了。大家都开动了脑筋，讲得都很好，我们数学上习惯的提法是截尾平均数（老师将它写在黑板右侧），大家讲的与这个名称很接近。 五、结论与讨论我们把这种通过创设情境，问题提出及探究来揭示概念的发生和发展过程的教学称之为“发生式

27、的数学概念”教学。通过上述分析，我们体会到通过这种教学模式，学生积极主动参与数学教学之中。经过从情景中发现数学概念，自主探索概念，适当变式训练，同学们经历了合作学习、反思修正、积极建构的过程，展现了“数学从生活中来，又还原于生活”的朴实真理，是实施二期课改精神的一种积极探索。这种教学策略在体现新课程理念时具有如下特点。1促进探究活动任务驱动与探究活动改善了学生被动学习的局面，给学生提供了一个体验知识发生发展过程的机会。知识是自己用心血换来的劳动成果，因此学生在探究过程中获得的任何经验，即使极其细微也都渴望被肯定、被尊重，老师适时的鼓励与赞许给予了他们极大的强化。学生经历了探究的艰辛，同时品尝到

28、了挑战成功的愉悦感与成就感。这种心理体验将大大促进以后的探究活动，甚至对学生探究习惯的养成都有极其重要的影响。在这方面，“发生式的数学概念探究课”展示的情景生动，学生从生活故事中产生问题，在遭遇问题过程中自主发现疑问，产生渴望建立新概念的要求，老师恰当的点评促进了探究活动的进行。2优化知识建构学生在小组交流讨论中要树立权威就需要不断优化自己的意见，韦纳指出：“自己应该在学习中发挥积极的作用”是学会学习的强烈动机与情感。这将有利于他们领悟概念的内涵与外延，通过合作探究来建构概念，共享探究成果。另一方面教师适时引入数学思想方法无疑有助于优化知识构建。“情境发现法的数学概念探究课”采用工作单，让学生

29、相互合作竞争，对“众数”与“中位数”的意义进行推敲，采用归纳猜想的数学思想方法，多角度、多层次地加以斟酌，效果很好，学生体会很深。师生之间的直接对话加大了交流的深度。3提高认知水平由于“发生式的数学概念探究课”中探究活动与小组讨论需要学生对所学数学知识要有理性认识，能用自己的语言进行叙述与解释，在某些环节甚至要求学生对所学数学知识要有实质性认识并能与已有数学知识建立起联系，并在新的情景中灵活应用。讨论与交流的需要保持了学生思维的紧张度，拉动学生积极思维，在客观上提高了学生的认知水平。然而，在设计与实施过程中，我们也感觉到有些问题需要进一步讲论。首先，教师在学生的探究活动中应该扮演一个什么样的角色，应当对学生施加多大力度的干预，其分寸较难把握，教师始终惦记着教学任务是否能够及时完成，操练是否还有足够的时间。其次，这种课的普遍实用性在主要以考试分数衡量教学质量的传统观念下，