从数学角度探寻音乐的规律——以《献给爱丽丝》为例

1、从数学角度探寻音乐的规律以献给爱丽丝为例摘要：长久以来，大部分人对音乐的认识仅仅是停留在听觉上面，即旋律与音高，但是让我们拨开她的面纱，却发现如此感性的东西当中竟然蕴藏着如此之多的理性数学。音乐的出现伴随着数学，人们常说节奏是音乐的灵魂，可节奏不就是一种数学吗？我们有时候说这首音乐听起来真是完美极了，可这个世界上又什么东西是完美的，唯有数学，不同的组合，不同的序列，演艺出不同的音乐。关键词：数学；萌芽；拍号；键盘；等比数列；变换；高潮；时间我们以献给爱丽丝这首钢琴曲为例，简单的介绍一下音乐之中蕴藏的数学。 一、音乐中数学的萌芽相传毕达哥拉斯路过一家铁匠铺时，在“铿铿锵锵”的打铁声音的启发之下进

2、行了许多试验，试图寻找乐器发出更加协调、动听的声音的规律。经过多次地观察与反复地比较，他终于发现三弦琴发声的协调性与琴上三根弦的长度有着密切联系，三根弦的长度比例为3: 4: 6 时最为适合。根据这项发现，毕达哥拉斯探索并完善了音乐数，如1: 2 产生八度，2: 3 产生五度，3: 4 产生四度等等。他发现每根振动着的弦只要按音乐数的比例划分，就可以产生不同的音程。这和铁匠铺里的打铁的声音高低是随着铁锤的大小和敲击力度的轻重变化而变化的原理一样。后来，他继而发现声音在质上的差别如声音的长短、高低、强弱等等是由发音体数量的差别而产生差别的。被拨动琴弦的每一组和谐组合都可以记为整数的比例，按照比例

3、增加弦的长度就能产生音阶。如从产生音高C的弦开始，C 的16 /15 长度给出B，C 的6 /5 长度给出A，C 的4 /3 长度给出G，C 的3 /2 长度给出F，C 的8 /5 长度给出E，C的16 /9 长度给出D，C 的2 /1 长度给出低音C。由此他得出结论: 音乐能够反映出的作为宇宙本质的数理关系，能够体现作为宇宙根本规律的“和谐”。 二、拍号中的数学在每一首乐曲的开头部分， 我们总能看到一个分数，比如，2/ 4 、3/ 4 、3/ 8 、6/ 8 等，这些分数是用来表示不同拍子的符号， 即是音乐中的拍号，其中分数的分子表示每小节单位拍的数目，分母表示单位拍的音符时值， 即表示以几

4、分音符为一拍。 拍号一旦确定， 那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数， 这可以通过数学中的分数加法法则来检验。我们节选献给爱丽丝的某些片段，献给爱丽丝这首曲子的拍号是3/4拍，我们可以看到第一小节由6个八分音符组成，即6×（1/8）=3/4，同样，下面的小结2×（1/8）+1/2=3/4，原来每首曲子的拍号并不是凭空加上去的，而是根据每小结音符的拍值计算上去的。 三、键盘上的数学 图一如图一所示，我们知道在钢琴的键盘上，从一个C 键到下一个C 键就是音乐中的一个度音程(如图1) 。 其中共包括13 个键，有8 个白键和5 个黑键，而5 个黑键分成2 组，一组有2 个

5、黑键，一组有3 个黑键。 2 、3 、5 、8 、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。 四、音乐中的等比数列如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合， 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、i 等音阶就是利用等比数列规定的。 再来看图一，显然这个八度音程被黑键和白键分成了12 个半音，并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率) 是第一个C 键振动次数的2倍，因为用2 来分割，所以这个划分是按照等比数列而作出的。 我们容易求出分割比x ， 显然x 满足x12= 2 ，解这个方程可得x 是个无理数， 大约是1.06。于是我们说某个半

6、音的音高是那个音的音高的1.06 倍，而全音的音高是那个音的音高1.06平方倍。 实际上，在吉它中也存在着同样的等比数列。 五、音乐中的平移变换平移是一种简单的数学计算或者形式，那么在音乐中是否也存在这样的平移呢？让我们在先给爱丽丝这首钢琴曲中寻找一下，看看是否有他们的身影。、，其中箭头的方向为音符的平移方向，我们可以看出，第一幅图中的音符经历了向右向上平移，第二幅图中的音符经历了向右向下平移。六、音乐中的反射变换同样以献给爱丽丝为例，在曲谱中不难找出像这样的对称音符。音乐是我们感情表达的工具，其实让我们仔细想一下，数学中的平移给我们更多的感觉是一种相同信号的输出，就像我们高兴时连续不断的大笑

7、，或者悲伤时连续不断的哭泣一样。同样，对称给我们的感觉是平衡，就像我们情绪的上升和下降，比如大笑之后，小声逐渐消失，直至趋于原始的平静状态。 七、献给爱丽丝高潮位置的数学计算0.6 18 是苏联音乐理论家对数以千计的各种体裁。结构的器乐作品的高潮位置分析侧定的结果。 x 表示主体结构的小节数(曲式的附属部分一般不计算在内) G 代表高潮所在的小节位。在小型曲式的器乐作品中， 高潮所处的小节位置一般比较明显， 称为高湘点， 有时只在一两小节之间。如舒柏特的苏格兰娜曲 是一首方整性的单二部曲式， 全曲共16 小节， 四二拍子， A、B 两乐段均为八小节并结束在主调(G 大调) 上。第九小节至第十小

8、节之间出现了离调(到e 小侧)， 调式、调性及写法上与人乐段形成了对比。 力度上用sf 加强。伴奏声部的音区提高， 增加了明亮的色彩。 通过以上的分析， 可得出: 高潮的位置在第九小节与第十小节之间。 可以运用以下公式来验证：G=0.618×n（小结总数）我们以献给爱丽丝为例，献给爱丽丝一共有105小结，根据公式计算，我们可以得知献给爱丽丝这首曲子的高潮位置大约在65小结左右，根据乐谱我们也可以看出，65小结左右确实为这首曲子的高潮部分。 八、计算乐曲时间根据作品所指示的速度并按照这个速度在较准确的时间范围内去表现乐思， 对于每位演唱者、演奏者、音乐指导及音乐教师来说尤为重耍。 如何

9、计算音乐作品的约略时长? 如何估计一场音乐会的演出时间? 如何运用这个“尺度” 检查学习者的演唱或演奏的时间是否符合作品的要求? 是我们在排练或教学中时常遇到的一些麻烦问题。根据公式我们就可以计算出乐曲的演奏实践，假设我们以的速度演奏曲目，m=3，x=105，s=90，我们可以算出SH=3。5，也就是3。5分钟。音乐的各个方面都与数学紧密的联系在一起，数学体现着这个世界上某些事物的本质，音乐体现着完美，而数学正是完美的代表，让我们在聆听优美音乐的同时，一起来感受数学所给我们带来的震撼吧。参考文献：刘卫锋，王尚志。数学与音乐。首都师范大学数学系，2005刘丹，张乃尧。清华大学自动化系。模糊数学在音乐特征描述中的应