江苏四星级高中2011年高三数学一轮复习资料03 第三章 基本初等函数（Ⅱ）教案

1、第三章 基本初等函数（） 知识网络任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用第1讲 弧度制与任意角的三角函数知 识 梳理1任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角的终边在第象限，则称为第象限角；终边相同的角所有与终边相同的角连同在内构成集合为2弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1（弧度）的角.角度与弧度的互化公式：； 3扇形的弧长

2、公式： （扇形的圆心角为弧度，半径为）；扇形的面积公式： 4 任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点，设则 ；5 三角函数在各象限的符号：上正下负横轴零，左负右正纵轴零，交叉正负横轴零6三角函数的定义域三角函数定义域RR重 难 点 突 破 1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。2.难点：确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算. (1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。问题1：若是第三象限角，试求、的范围.点拨：依

3、据象限角的表示法将表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.：是第三象限角k·360°+180°k·360°+270°(kZ)(1)k·180°+90°k·180°+135°(kZ)当k2n(nZ)时，n·360°+90°n·360°+135°当k2n+1(nZ)时，n·360°+270°n·360°+315°为第二或第四象限角.(2)k

4、3;120°+60°k·120°+90°(kZ)当k3n(nZ)时，n·360°+60°n·360°+90°(nZ)当k3n+1(nZ)时，n·360°+180°n·360°+210°（nZ)当k3n+2(nZ)时，n·360°+300°n·360°+330°(nZ)为第一或第三或第四象限角.（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。问题2. 一个扇形OAB的面积

5、是1平方厘米，它的周长是4厘米，求AOB和弦AB的长.分析：欲求AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在AOB中求弦AB的长.作OMAB交AB于M，则AMBMAB，在RtAMO中求AM.解：设扇形的半径为R cm.AOB= rad.据题意 解之得过O作OMAB交AB于M.则AMBMAB.在RtAMO中，AMsin1，AB2sin1故AOB2 rad.该AB的长为2sin1厘米.热 点 考 点 题 型 探 析考点1 角的概念问题题型1: 终边相同的角的表示方法例1 写出所夹区域内的角的集合。【解题思路】任一与角终边相同的角，都

6、可以表示成与整数个周角的和.解：当终边落在上时，角的集合为； 当终边落在上时，角的集合为；所以，按逆时针方向旋转有集合：【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可题型2:象限角的表示.例2已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论值确定象限角.解析，；当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；即：为第一或第三象限角。，的终边在下半平面。【名师指引】已知所在象限，求所在象限问题,一般都要分n种情况进行讨论【新题导练】1设M小于的角，N第一象限的角，则（ ）A、锐角 B、小于的角 C、第一

7、象限的角 D、以上都不对解析：D 小于的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边在第一象限的角，所以是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角2写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合_解析:3已知，判断所在的象限解析：在第一象限或第二象限，可设，若，则，若，则故在第一象限或第二象限考点2 弧度制与弧长公式题型1:角度制与弧度制的互化例3.（1）设，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限（2）设，用角度制表示它们，并在范围内找出与它们有相同终边的所有角【解题思路】用互化公式.解析（1），在第二象限，在第一象限（2），与它终边相

8、同的角可表示为，由得，即在范围内与有相同终边的角是 同理且在范围内与有相同终边的角是【名师指引】角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在内找到与该角终边相同的角例4设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 【解题思路】用扇形面积和弧长公式.解析: 【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度【新题导练】4化为弧度为（ ） A、 B、 C、 D、解析B 5三角形三内角的比是7815，各内角的弧度数分别是_解析：设三角形的三内角分别是，则故所以各内角的弧度数分别是考点3三角函数的定义与三角函数的符号题型1:判断三角函

9、数值的符号例5. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）sin（） （3）tan（672°） （4）tan【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。解：(1)250°是第三象限角，cos250°0(2)是第四象限角，sin（）0(3)tan（672°）tan（48°2×360°）tan48°而48°是第一象限角，tan（672°）0(4)tantan（2）tan而是第四象限角，tan0.【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定题型2:由三角函数的定义求值例6已知

10、角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为34（且均不为零），求2sin+cos的值【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.解析:若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则【名师指引】若点是角终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.【新题导练】yPQox6.(佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，角的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过点.角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且，则的值为A B C D 解析：D7.(2008·深圳市高三年级第一次调研考试)若，则点位于（ ）A.第一象限B第二象限C第

11、三象限D第四象限解析直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选 D抢 分 频 道 基础巩固训练1已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，则是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的终边与函数决定的函数图象重合，求= 解析:在角的终边上取点故=4.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：B，故2在第二象限.5.(2008广东省佛山市

12、普通高中高三教学质量检测)OxyBAC如图A、B是单位圆O上的点，且在第二象限. C是圆与轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形.（1）求； （2）求. 解析（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知（2）因为三角形AOB为正三角形，所以， 所以= =. 点评该考题主要考查三角函数定义与和差公式.综合拔高训练6.在扇形中，弧的长为，求此扇形内切圆的面积解：设扇形所在圆半径为，此扇形内切圆的半径为，如图所示，则有，由此可得则内切圆的面积7圆弧长度等于其内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数.解析： 如右图所示，设正三角形的边长为,半径为,取的中点连接则,在中,圆心角弧度数为8 xyOA

13、B如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值。【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得为锐角，（1）（2）为锐角，第2讲同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则（1）对角线上对应的函数互为倒数；（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积；（3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等 于下面一个顶点的平方。例如：1 2用同角三角函数的基本关系式求

14、值时应注意：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。3. 关于诱导公式（1）诱导公式()角 函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限函数名不变符号看象限（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(3)诱导公式解决常见题型（A）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（B）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.重 难 点 突 破 1.重

15、点：掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：正确的使用同角三角函数的关系式和诱导公式。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的关系，确定好符号，使问题获解。（1）. 对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.问题1:化简：错解：原式正解：原式（1）当，时原式+=0（2）当，时原式+=0（2）要注意角的范围,防止符号取错.问题2:已知_错解：两边同时平方，由得解得： 或解得：所以的值为正而导致错误.正解： 两边同时平方，有 求出热 点 考 点 题 型 探 析考点1求值问题题型：利用公式求三角式的值例1（广东省执信中学2009届高三上学期期中

16、考试）tan600°的值是（ ）ABCD 【解题思路】由于6900超出了锐角的范围，故需先利用诱导公式进行化简解析由tan6900tan（3002×3600）tan（300）tan300知应选A【名师指引】应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断例2.(2007·韶关市高三摸底题)已知，则（ ）A、2B、2C、0D、【解题思路】联想到诱导公式及对同角三角函数公式解题解析:B【名师指引】处理的齐次式的问题，通常采用化切法，即将分子分母或等式两边同除以的最高次幂化为的关系式即可，这种题型高考中经常考。【新题导练】1. （ ）ABCD解析sin2100 =

17、，选D。2(中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试)若，则= .解析: 原式=考点2化简与证明问题题型1：三角式的化简例3化简：【解题思路】利用诱导公式及三角变换公式化简三角函数式解析 原式 【名师指引】化简三角函数式化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式题型2：三角恒等式的证明例4.求证：【解题思路】将右边展开进行因式分解.证明：右边 【名师指引】证明简单的三角恒等式一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等于同一式子；证明与

18、原恒等式等价的式子，从而推出原式成立在化简或证明三角函数式时常用的技巧有： （1）“1”的代换为了解题的需要有时可以将1用“”代替 （2）切化弦利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数（3）整体代替将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系题型3：条件三角等式的证明例5.已知【解题思路】已知条件中含角,待求结论只含,故考虑消元法证：由题设： /： +： 【名师指引】 等式中出现正弦、余弦和正切函数，一般采用“切化弦”的方法进行证明若已知条件中的角多于待求结论中的角可考虑消元法.【新题导练】3化简：解析:0，故原式4已知：求证：解： 5求证：解析：左边 右边抢 分 频 道

19、 基础巩固训练 1 ( )A. 2 B. C. 4 D. 解析：原式=，选D2是第一象限角，则（ ）A B C D解析：B 3. （东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知，则的值为（ ）A B C D解析：选B4(2008·广东省惠州市高三第二次调研考试)已知，则= 解析：由题意点评本题考查同角三角函数公式的理解与运用5若且_ 解析：由知又故=6求证：证明：左边 右边综合拔高训练7已知，求（1）；（2）的值解析（1）； （2）点评 利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化8已知关于x的方程4x22(m+1)x+m=0

20、的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.解析：设直角三角形的两个锐角分别为、，则可得+=，cos=sin方程4x22(m+1)x+m=0中，=4（m+1)24·4m=4(m1)20当mR，方程恒有两实根.又cos+cos=sin+cos=，cos·cos=sincos=由以上两式及sin2+cos2=1，得1+2·=()2解得m=±当m=时，cos+cos=0，cos·cos=0，满足题意，当m=时，cos+cos=0，这与、是锐角矛盾，应舍去.综上，m=10已知，且（1）求、的值；（2）求、的值解析（1）由可得： ；于是：

21、，；且，于是：（2）；第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数知 识 梳理 1两角和与差的三角函数公式 2.二倍角公式 = =3.半角公式 ， ， 重 难 点 突 破 1.重点：运用三角公式对式子进行等价变形，处理化简、求值和恒等式证明等问题2.难点：利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，准确合理的使问题获解。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。（1）两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律问题1。不查表求值：=_解法一 原式 解法二 (2)准确估算角的范围问题2. 已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根

22、，若a，bÎ(-)，则a+b=（ ）AB或-C-或D-错解：B. 正解：D.热 点 考 点 题 型 探 析考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切题型1: 顺用公式 例1:已知则等于（ ）ABCD【解题思路】直接用两角和的正切公式解：B， ， ， 【名师指引】熟练掌握两角和与差的三角函数公式的结构特点是解决此类题的关键.题型2: 逆用公式例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试）155°cos35° cos25°cos235°=_.【解题思路】注意到解析:原式=【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” 变角：它决定变换的

23、方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；【新题导练】1. 的值为 解析诱导公式变角，再逆用三角公式切入，=2. (华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)若，且，则 解析：考点2 二倍角的正弦.余弦.正切题型1：顺用公式例3(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)已知,求的值.【解题思路】先由诱导公式求出，再由二倍角公式求解。解析.又,且【

24、名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此类题的关键.题型2: 逆用公式例4的值为（）【解题思路】联想二倍角的正弦公式解析： 【名师指引】见就联想到是三角变换中常用的手段。题型3: 变形用公式例5(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在ABC中，已知角A为锐角，且.求f (A)的最大值；【解题思路】联想到降幂公式：，解析角A为锐角，取值最大值，其最大值为【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次，见切割就化弦”这一手段。【新题导练】3A是锐角,求的值；解：（由条件，得 A在锐角，4已知，则的值为（ ）A B C D 解析:选B 抢

25、 分 频 道 基础巩固训练1( 2009届广东五校高三第二联考试卷)已知则的值为（ ）A B C D 解析:选D： 2(华南师大附中2009届高三综合测试（二）)设，则A BC D解析: 选C3的值为 。解析：原式=4已知，则 解析： 5(2008-2009年汕头金山中学摸底考试)已知函数.若，求的值.解:由得:综合拔高训练6(广东省2009届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解：（）若ab，则sincos0， 2分由此得 tan1（），所以 ； 6分（）由a(sin，1)，b(1，cos)，得ab， 10分当sin()1

26、时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1 12分7(惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知（1）求的值；（2）求的值解：（1）由, ， （2） 原式 8已知向量，求的值.解：设则，.第4讲 简单的三角恒等变换知 识 梳理 1 升降幂公式:;2 同角正余弦化积公式，其中 ；=重 难 点 突 破 1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式”问题1: （07江苏）若，则_点拨：已知条件中的

27、角是，待求式中的角是，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。由 求出 (2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。问题2：已知，求和的值点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。先将切化弦，再寻找角之间的关系。由得则因为所以热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 三角求值题的处理题型1.给角求值问题例1 （山东省聊城一中20082009学年度上学期高三年级期末综合测试）不查表求值= 【解题思路】要注意到,然后用公式展开. 【解析】原式 = 【名师指引】给角求值

28、问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注意公式的顺用、逆用和变形用.【新题导练】1. (tan5°cot5°)·解：原式=2(08海南省)=（）A. B. C. 2 D. 【解析】，选C。答案：C题型2给式求值例2 (惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知（1）求的值；（2）求的值【解题思路】第(1)问注意到,第(2)问对三角式化为的表达式.解析：（1）由, ， （2） 原式 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)设向量，若，求的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解

29、析:【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换【新题导练】1. 已知函数f(x)2sinxcosxcos2x. ()求f ()的值； ()设(0，)，f ()，求cos2的值.解析：（）f(x)=sin2x+cos2x,f()=sin+cos=1（）f()=sin+cos=,1+sin2=, sin2=,cos2=（0，）2（，） cos2<0.故cos2=2. 已知向量a（3sin，cos），b(2sin, 5sin4cos)，（），且ab 求tan的值；解：（1）ab，a·b0而a（3sin，cos），b(2sin, 5sin4

30、cos)，故a·b6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan4 0解之，得tan，或tan（），tan0，故tan（舍去）tan题型3.给式求角例4(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量，函数，若且，求的值；【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。解析：-由得即 或或 -【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例5(2007·四川 )已知<<<,()求的值.（）求.【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的范围定角。解析（）由，得，于是（）由，得又，由得：,所

31、以【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。【新题导练】3已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（）.若，且，求角的大小；解析：（）由已知得：则 因为 4在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求角A；解析：，即，考点2: 三角式的化简与证明题型1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值.例1. 化简【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求：函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求出值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式.解析原式= =【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项

32、.例2:证明tantan【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：2x，xx sinxsincoscossin 又cosxcos2x2coscos÷即得：tantan.【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.【新题导练】5=（ ）A、 B、 C、1 D、B解析6求证: .=证明:左边= =右边方法技巧 利用万能公式得出=，=可简化过程.抢 分 频 道 基础巩固训练1已知，则（ ）A B C D 解析：D ，2.( 汕头金山中学20082009学年度上学期高三期末考试)已知，且，则等于（ ）. . . .解析：由且知故=选B3（广东深圳外国语学校20

33、082009学年高三第二次月考）已知，则的值为（ ）A B C D 解析：=选A4设，则大小关系（ ）A B C D C. D. 或解析：D ，5求值：_ 解析: . 5. 设向量，且（1）求；（2）求解：（1）（2）6. (广东省四校联合体08年第一次联考)设函数，其中向量，若函数解：（1） 综合拔高训练7. （中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试）已知向量, , . () 求的值; () 若, , 且, 求解:（）, , . , , 即 , . （）, , , , . 8. 已知 求的值.解: 由= =得 又,所以.于是=9. 已知向量(cosx,sinx),(，)，若&

34、#183;，且x,的值.解： 第5讲三角函数的图像与性质知 识 梳理 正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R（2）值域：都是-1，1对于，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对于，当时，取最大值1，当时，取最小值1。（3）周期性：、的最小正周期都是2和的最小正周期都是（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线 （5）单调性：在区间上单调递增，在单调递减；在上单调递增，在区间上单调递减，。 （6）正切函数的图象和性质：（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是.（4）奇偶性与对称

35、性：奇函数，对称中心是，（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。2.难点：化简三角函数式的过程.3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关的问题(1)利用单调性处理不等关系问题1. (08四川)设，若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间，即，即，即；又由，得；综上，即选C（2）研究三角函数的性质问题2. （08安徽

36、卷）已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象.解：（1） ,由函数图象的对称轴方程为 （2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为热 点 考 点 题 型 探 析考点1作三角函数的图象题型1:作正弦函数的图象例1（2007·天津改编）画出函数在一个周期内的图像【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）五个特殊点的选取解析（1）列表如下：0000（2）描点、连线（

37、如图332）图3-3-2【名师指引】五点法作图的技巧：函数的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为，于是五点横坐标依次为，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像题型2.借助于三角函数的图象处理有关问题问题2. （2007·天津）设函数，则（ ）A、在区间上是增函数B、在区间上是减函数C、在区间上是增函数D、在区间上是减函数【解题思路】作出图象,一目了然解析函数的图象如下图选 A【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出函数在区间上的图像解析（1）列表如下： 0010（2）描点、连线（如图

38、333）2.( 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知函数对任意都有则等于（ ）A. 或 B. 或 C. D. 或解析: 由，函数图象关于，是最大值或最小值选B考点2值域与最值问题题型1.化为的形式例1. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知R.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值，并指出此时的值【解题思路】利用对解析式进行化简,再进一步处理. 解：（1） . (2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . 此时，即Z. 【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的形式,再研究函数的性质. 利用整体代换的思想求出函数的最大值和最小值是解题的关键题型2.通

39、过换元用二次函数的知识研究值域或最值.例21，3，5求函数的最大值和最小值【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.解析设，则所以 故当即时，当即时，【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想【新题导练】3.设求的最大值及最小正周期.解：故的最大值为；最小正周期4. 已知向量,，且 （1）求的取值范围； （2）若，试求的取小值，并求此时的值。解： （1） 即 6分（2） 的最小值为 考点3周期性与奇偶性问题题型 .研究三角函数的奇偶性和求周期例1(潮南区0809学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性。【

40、解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使f(x)有意义，必须，即得f(x)的定义域为（2）因f(x)的定义域为，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数. 【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称若函数f（x）为奇函数的图像关于原点对称若函数f（x）为偶函数的图像关于y轴对称例2（08江苏卷）的最小正周期为，其中，则= 【解题思路】代公式解析:【名师指引】先将解析式化为的形式,再用公式进行处理.【新题导练】5（2007·广东）若函数，则是（D ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数剖析,

41、且为偶函数.答案D6. （A0，0）在x1处取最大值，则 （ ）A、一定是奇函数B、一定是偶函数C、一定是奇函数D、一定是偶函数解析:D （A0，0）在x1处取最大值在x0处取最大值， 即y轴是函数的对称轴 函数是偶函数 考点4单调性与对称性问题题型1.求单调区间和研究对称性例1(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)已知向量， （1）若, 且 求；（2）求函数|的单调增区间和函数图像的对称轴方程【解题思路】先进行向量运算,再化简三角函数式解析(1). 由得求函数|的单调增区间是： 由 。得对称轴方程是：【名师指引】函数的图像有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为

42、题型2.借助于单调性处理不等关系和最值问题例2(广雅中学08-09学年高三上学期期中考试)设向量，函数.(1) 求函数的最大值与单调递增区间；(2) 求使不等式成立的的取值集合.【解题思路】处理三角不等关系要借助于图象分析和周期性解：(1) . 当时，取得最大值. 由，得， 的单调递增区间为. (2) 由，得. 由，得，则， 即. 使不等式成立的的取值集合为.【名师指引】三角函数与导数的整合是近两年高考的一种趋势【新题导练】7. （汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）设,都是第二象限的角，且sinsin，则（）A.tantan B.coscos C.tantan D.coscos解析

43、：取排除A，C，再取排除D，选B8. 已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.解析：(1) 函数f(x)的最小正周期 (2)当时， 当，即时，f(x)取最小值1 所以使题设成立的充要条件是，故m的取值范围是(1,)抢 分 频 道 基础巩固训练1. (东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试)若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）20070316A（，0）B（0，0）C（，0）D（，0）解析: 将代入得函数值为0，故选C2. （华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试）是（ ）上的增函数 A B C D解析：选B3.

44、 (深圳市外语学校2009届高三上学期第三次质量检测)已知向量，则的最大值为【解析】.4. (深圳市外语学校2009届高三上学期第三次质量检测)已知函数,则的值域是 【解析】 画图可得的值域是5. 已知函数(1)求证：；(2)已知的值。解析: f(x)= f(x)= = = = = tan()f(2)=tan() = tan= f(2) = = 6. 已知函数。（）当时，求的单调递增区间：（）当，且时，的值域是，求的值。解：（）， （）而 故 综合拔高训练7.(潮州市20082009学年度第一学期高三级期末质量检测)函数。（1）求的周期；（2）解析式及在上的减区间；（3）若，求的值。解：（1），（）所以，的周期。 4分（2）由，得。又，令，得；令，得（舍去） 在上的减区间是。 8分（3）由，得， ， 又， ，。8.已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）9.已知定义在区间上的函数yf（x）的图象关于直线对称，当时，函数f（x）sinx（1）求，的值；（2）求yf（x）的函数表达式；（3）如果关于x的方程f（x）a有解，那么将方程在a取