(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习导数的概念及运算讲义(含解析)

1、第一节导数的概念及运算突破点一导数的运算机牢双基自学回扣基本知识81 .导数的概念称函数y = f(x)在x = x0处的瞬时变化率Ayfxo+Axfx0li m = li m xr a xAxA x函数y=f(x)在x = x0处的导数，记作f (x0)或yr ,A yx=x0,即 f (x0) = li Am -=li Amf xo+ Ax fA x.称函数f (x) = lif x+Ax f x ,一Am0 3为f(x)的导函数.3.导数运算法则(1) f(x)g(x)(2) f(x) g(x)2 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f( x) = c ( c为常数)f (x)=0

2、f (x) =sin xf ( x) = cos_xf(x) = exf (x) = exf (x) = In x1 f ( x) =rx基本初等函数导函数f (x) =x( a e d)r fa 1f ( x) = a xf (x) = cos xf (x) = _ sin_ xf(x)=ax(a0, aw1)f ( x) = axln_ af (x) = log ax( a0, aw 1)1f (x)=- xln a=f (x) 土 g (x)；=f (x)g(x) + f (x)g (x)；x(g(x) W0) .x g x f x g2g x 4 .复合函数的导数复合函数 y = f(

3、g(x)的导数和函数y=f(u), u= g(x)的导数间的关系为yx=y ux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.基本能力一、判断题(对的打，错的打“x”)(1) f (xo)与(f(x0)的计算结果相同.()+ ln(2)求f (xo)时，可先求 f (X0)再求 f (xo).()(3) f (xo)是导函数f (x)在x=xo处的函数值.()答案：(1) X (2) X (3) V二、填空题1 .函数y= xcos x sin x的导数为 .答案：一xsin x2 .已知 f(x) =13- 8x + 2x2, f ( xo) = 4,贝U xo=解析：: f ( x

4、) = - 8 + 4x,1- f (xo) = 8 + 4xo= 4,解得 xo= 3.答案：3兀兀3.已知函数f(x) = f cos x+ sin x,则f 1的值为兀解析：: f (x) = f sin x+cos x,f 4 一广；*+乎,得4 =V2-1. . f (x)=(g一l)cos x+ sin x.答案：1研透高考深化提能典例感悟1.已知函数f(x) = -xx,则其导函数f (x) = ()eA. xB.1 -xx- eC. 1+xD. 1-xx 解析：选B函数f(x)=xx,则其导函数f (x) eex xex2xe2. (2019 枣庄三中质检)已知函数f(x)的导

5、函数为x,则 f (1)=()1 x了，故选B.f (x),且满足 f(x)=2xf (1)A. eB. 1D. eC. 1解析：选 C 由题可得 f (x) = 2f (1) +)，则 f (1) = 2f (1) + 1,解得 f (1)= x-1,所以选C.一，兀兀一一，,3.函数 f(x)=xsin 2x+ cos 2x+,则其导函数 f ( x) =.兀兀 11x 2x 4cos 4 x解析：f(x)=xsin 2x + cos 2x + =2xsin(4 x+兀)11 .=2xsin 4 x, . f(x) = 2sin 412sin 4 x 2xcos 4 x.-1答案：一2si

6、n 4 x- 2xcos 4 x方法技巧导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数哥的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f (x0), a, b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导针对训练1 .设 f(x) =x(2 019 +ln x),若 f (x(o) =2 020 ,则 x0等于()A. e2B. 1C. In 2D. e解析：选 B f ( x) =

7、 2 019 + ln x+ 1 = 2 020 + ln x,由 f ( x。)= 2 020 ,得 2 020 + ln xc=2 020 ,则 In x0=0,解得 x0=1.2. (2019 长沙长郡中学一模)等比数列an中，a = 2, a=4,函数f (x) =x(xa1)( x a?) ( x a8),则 f (0)=()A. 26B. 29C. 212D. 215解析： 选 C f( x)= (x a)( x一生)(xa8)+x(x一曰)(x-a2) (x-a8),所以 f (0) = aa2a3a8= (aa) 4= (2 x 4) 4= 212.故选 C.突破点二导数的几何

8、意义抓牢双基自学回扣基本知识函数f(x)在点X0处的导数f ( X0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0, y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为 yyo=f (xo)( xxo).特别地，如果曲线 y=f(x)在点 (刈，y。处的切线垂直于x轴，则此时导数f1 (xo)不存在，由切线定义可知，切线方程为 x =xo.基本能力一、判断题(对的打“，”，错的打“X”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点.()答案：(1) V (2) X二、填空题1 .已知函数f (x) = axln x+b(a, b R),若f(x)的图象在x= 1

9、处的切线方程为 2x- y= 0,贝U a+ b=.解析：由题意，得f (x)=aln x+a,所以f (1) = a,因为函数f(x)的图象在x= 1 处的切线方程为 2x y=0,所以a=2,又f(1) = b,则2X1b = 0,所以b=2,故a+b =4.答案：42 .曲线y= log 2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 .解析：: v = ,，切线的斜率 k=，切线方程为 y=(x1),，所求xin2in2in2 _ 1111二角形的面积 S= 2X 1 X jn-2-=2in 2 =2log 2e.1答案：2log 2ex 23.设函数f(x) =g 2 +x

10、 ,曲线y = g(x)在点(1 , g(1)处的切线万程为9x+y 1=0,则曲线y = f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 .解析：由已知得 g (1) =- 9, g(1) =8,1 . x又 f(x) = 2g 2 + 2x,1 .91f (2) =2g (1) +4=-2+4=-2, f(2) =g(1) +4= -4, 1r，所求切线万程为y+4=-2(x-2),即x+2y+6 = 0.答案：x+2y+6=0研透高考,深化提能全析考法考法一求切线方程 “过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者 A必为切点，前者未必是切点.曲线在某点处的切线，若

11、有，则只有一条；曲线过某点的切线 往往不止一条.切线与曲线的公共点不一定只有一个.例 1 已知函数 f(x) =x34x2+5x4.(1)求曲线f (x)在点(2, f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程. 2解(1) -. f (x) = 3x -8x+5, f (2) = 1,又 f (2) =-2,曲线f (x)在点(2, f(2)处的切线方程为y-( -2)=x-2,即x y 4=0.(2)设切点坐标为(x0, x34x2+5x04),f (xo) = 3x2 8xo+ 5,，切线方程为 y- ( 2) =(3x08x0+5)( x2),又切线过点

12、(x。，x3-4x2+ 5x0-4), . x0 4x0 + 5x0 2 = (3 x0 8x0 + 5)( x0 2),整理得(x2) 2(x01) = 0,解得x0= 2或x= 1,，经过点A(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程为xy4=0或y+2=0.方法技巧求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在“曲线y = f(x)上一点P(x, y)处的切线方程：点 P(x, y)为切点，切线斜 率为k=f (xo),有唯一的一条切线，对应的切线方程为y y0= f (xo)( x x0).(2)求“过”曲线y=f (x)上一点P(x0, y)的切线方程：切线经过点 P,点P可能是切 点，也可

13、能不是切点，这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设切点A(x1, y”,则以A为切点的切线方程为 y y1 = f (x1)( x x。；根据题意知点 Rx0, y0)在切线上，点 A(xb y1)在曲线y=f(x)上，得到方程组 y1 = f x1,求出切点 A(x1, y”,代入方程 y y1= f (x1)( xx。，y0 y1 = fx1x0 x1 ,化简即得所求的切线方程.考法二求切点坐标例2(2019 柳州一模)已知函数f(x)=e2xT,直线l过点(0, e)且与曲线y=f(x)相切，则切点的横坐标为()A.1B.- 1一一-1C.2D.e_e2

14、x0T + e解析设切点为(x。，e2x0T), .f(x)=2e2xT, 2e2x0T =,化简得2x1Xo= e2 2x。.令 y=2x- 1-e2 2x,贝U y = 2+2e*2x0. 丁 x= 1 时，y=0,，X0=1.故选 A.答案A方法技巧求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.考法三求参数值或范围例3(1)已知函数f (x) = aln x+ bx2的图象在点 P(1 , 1)处的切线与直线 x- y+1=0垂直，则a的值为()A. - 1B. 1C. 3D.

15、 - 3(2)(2019 乐山调研)已知曲线f (x) =e2x2ex + ax1存在两条斜率为3的切线，则实 数a的取值范围是()解析(1)由已知可得R1,1)在函数f(x)的图象上，所以 f (1) = 1,即 aln 1 + bx 12= 1,解得 b= 1,所以 f (x) = aln x+ x2,a故 f (x) = 一+ 2x. x则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k=f (1) = a+ 2,因为切线与直线xy+1 = 0垂直，所以 a+2=- 1,即 a= 3.(2)由题得 f (x) = 2e2x2ex+a,则方程2e2x2ex+a=3有两个不同的正解，令 t =ex(t0),且 g(t)=2t22t + a3,则由图像可知，有 g(0)0且A0,即 a 30 且 4-8(a-3)0 ,解得3a1,1 C (0