省二2014数学建模

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，

2、在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）

3、：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文在景象匹配的基础上，通过天体力学（开普勒定律）和轨迹根数模型确定轨道在二体力学位置，结合积分方程计算最精确轨道和最燃料节省轨道的最优控制策略。针对问题一，首先进行简化假设，设计二体轨道模型。在二体轨道基础上，建立天体力学模型，求出嫦娥三号在高度100km 的环绕圆轨道飞行时的环绕速度为1.63324km/ s，减速到1.61379 km / s后变轨进入椭圆轨道的近月点，此时横向速度v b= 1.69204 km / s。利用）（计算得出极坐标下的椭圆轨迹方程为：根据开普勒定律得出远月点减速飞抵椭圆轨道，最后建立轨迹根数模型，利用软件仿真出近月点位置（

4、19.53 W，72.91N,15km）；远月点位置（160. 51E，107.09S,100km）。针对问题二，首先将着陆轨道简化成主减速、避障、垂直下落三个阶段。在避障阶段采用多尺度塔式小波分解的图像匹配算法，通过Image Match 软件确定距离月面100m处的数字高程图在距月面2400m处的数字高程图的匹配坐标为（364,1700）。根据坐标计算出在粗避障过程中，嫦娥三号以夹角为30度的方向水平横向位移905m。在精避障过程中，利用MATLAB软件获取数据，并规定灰度值为90-110的范围为可接受的平缓地势，通过逐点扫描确定最优着陆点坐标为(112,959)。嫦娥三号以夹角为50度的

5、方向水平横向位移601m确定在6个阶段的最优控制策略，本文针对轨道精确度和燃料节省度分别建立模型。在景象匹配基础上建立最精确轨道策略模型，从推力控制方向、约束条件、控制过程计算方法三方面对着陆轨道三个阶段分别讨论，分析出每个阶段的最优控制方程。然后针对燃料节省问题，建立最省燃料轨道模型：构造哈密顿函数，根据极大值原理得到最优控制角为： ，最后算出最优轨道的终端参数。针对问题三，着陆轨道和最优控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。对于误差分析，本文针对最精确轨道和最省燃料轨道进行对比，比较之间的误差。针对敏感性分析，首先确定敏感性分析指标，选取不确定因素主发动机推力和嫦娥三号运行质量。分析不确定

6、因素变动时对着陆轨道和最优控制策略的影响程度。关键字： 二体轨道设计 天体力学 轨迹根数 景象匹配 最优控制策略一、问题的重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高

7、速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析2.1问题一的分析问

8、题一中，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。嫦娥三号是含地球停泊轨道段的探测卫星，探测器先由运载火箭送到地球停泊轨道，再将探测器送入地月转移轨道，地月转移轨道末端即为远月点，2013年12月6日17时47分进入环月轨道进行圆周运动，12月10日21时实施环月降轨。在做圆周运动时，我们根据天体运动学开普勒定律计算出嫦娥三号近月点和远月点相应速度的大小与方向。再通过轨迹根数模型，利用软件确定远月点和近月点的位置。2.2问题二的分析 问题二中，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。在2400m和100m的时候，需要看月球表面图确定着陆位置。初始是平抛，

9、15000km到3000，km。可以认为加速率为常量（设为-a），但是加速度的方向是随轨道变化而变化的，这里需要用积分确定，最终速度57m/s是一个斜着的速度。快速调整，飞船是在600米的距离将水平速度减为0的。用MATLAB打开第一幅图，每个数字代表每个像素的灰度值，选取一个阈值然后用坐标尺算出和目前航天器位置的水平距离。从2400到100的高空，初始水平速度为0，到100时水平速度又返回0，所以是一个水平加速和水平减速的过程，100米的位置是悬停的所以没有垂直速度，可是30米的地方是有垂直速度的，最后，缓速下降阶段，就是慢悠悠的给个垂直向上的加速度，30米到4米过程，在30米处计算出的垂直

10、速度减到0。 2.3问题三的分析 问题三中针对着陆轨道和最优控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。对于误差分析，本文针对最精确轨道和最省燃料轨道进行对比，比较之间的误差。针对敏感性分析，首先确定敏感性分析指标，选取不确定因素主发动机推力和嫦娥三号运行质量。分析不确定因素变动时对着陆轨道和最优控制策略的影响程度。三、模型假设1、假设月球近似为理想球体且质量均匀；2、嫦娥三号卫星和月球自转速度忽略不计，排除自转速度对其他速度的影响；3、假设月球的月心是椭圆轨道的焦点；4、嫦娥三号相对于月球被视为点质量物体；5、忽略其他天体引力对嫦娥三号的引力摄动；四、符号表示嫦娥三号所受离心力嫦娥三号质量月球质量

11、月球万有引力圆周轨迹远月点的瞬时速度月球把平均半径引力常量椭圆偏心率椭圆轨道半长轴椭圆轨道半短轴月心离椭圆中心距离远月点长度近月点长度开普勒常数椭圆轨迹中远月点的瞬时速度椭圆轨迹中近月点的瞬时速度 径向速度 嫦娥三号与月球水平面的夹角五、模型的建立与求解5.1二体轨道设计 a.简化假设二体假设指的是，认为探测器在地球引力场里运动，略去其他天体引力对探测器的影响。具体内容如下： 地球为正球体，半径取为地球赤道半径R =6378137km，地球引力常为； 月球为绕地心作匀速圆周运动的空间几何点， 地月距为REL=38400km， 嫦娥三号自圆形地球停泊轨道加速进入地月转移轨道； 嫦娥三号的轨迹为地

12、心圆锥曲线。5.2问题一的模型建立与求解步骤一：嫦娥三号从地月转移轨道进入100公里×100公里的环月轨道做圆周运动；飞行约4天后，变轨进入椭圆轨道，降低动能，此时椭圆轨道进入点就是远月点的位置，此处动能最小，势能最大，根据天体运动学可知：离心力等于万有引力。由此可知远月点在圆周轨道运行速度。步骤二：飞行约4天后因为嫦娥三号需要降落，所以采用1500牛到7500牛的可调节推力的发动机制动，变轨进入椭圆轨道，因为能量不足，万有引力大于离心力，又因为有惯性，所以做椭圆运动；运动过程中有一个势能最小，动能最小的位置即为近月点，根据开普勒定律求出椭圆轨迹方程及速度。步骤三：建立轨迹根数模型，

13、利用软件分别计算远月点和近月点的近似经度和纬度。 5.2.1天体运动力学的模型与求解a.在圆周轨道中的远月点速度及方向 Step1：由于进入环月轨道后做以半径为100公里的圆周运动，此时的离心力与万有引力近似相等。离心力： (1)万有引力： (2)(1)(2)式联立可解得： （3）Step2：代入数据可得：在远月点嫦娥三号瞬时速度为： ，方向垂直于离心力。b.在椭圆轨道中的速度及方向 因为能量不足，将远月点的瞬时速度降低，形成下降椭圆轨道，此时的瞬时速度低于圆周运动时的速度，经过轨道周期的一半，嫦娥三号飞抵椭圆轨道近月点，此时轨道高度的为15km。根据卫星使用目的和发射条件不同，可能有不同高度

14、和不同形状的轨道，但它们有一个共同点，就是它们的轨道位置都在通过地球垂心的一个平面内。卫星运动所在的平面叫轨道面。卫星轨道可以是圆形或椭圆形。但不论轨道形状如何，卫星的运动总是服从万有引力定律的。所以根据开普勒定律求出椭圆轨迹方程及速度。Step1：根据开普勒第一定律(椭圆定律)：嫦娥三号以月心为一个焦点做椭圆运动。用 软件拟合出嫦娥三号围绕月球的运行轨迹。如图（1）图（1）椭圆偏心率远月点长度为:；近月点长度为：；确定嫦娥三号轨道平面的极坐标表达式为： Step2：开普勒第二定律(面积定律) ：卫星与月心的连线在相同时间内扫过的面积相等。由第二定律可导出卫星在轨道上任意位置的瞬时速度为： （

15、 ）Step3：模型求解，代入数据可得：嫦娥三号轨道平面的极坐标表达式为 远月点的瞬时速度：近月点的瞬时速度：总结：通过简单的二体问题计算公式可知，嫦娥三号飞行在高度100km 的环绕圆轨道运动的时候，环绕速度为1.63324km/ s ；通过减速，将速度减小到v a = 1.61379 km / s ，形成下降的椭圆轨道，经过轨道周期的一半，飞抵椭圆轨道近月点，横向速度v b= 1.69204 km / s ，因为月球自身的环绕速度1.67237km/ s，所以径向速度v y =0，方向垂直向下。5.2.2轨迹根数模型的建立与求解a.轨道约束条件（1）到达点的时间。到达时间的设计应保证月心轨

16、道进入点的前后数小时在地面测控站的测控范围内。（2）轨道根数。月球卫星的轨道根数由月球探测器的飞行任务确定，通常包括轨道高度、轨道倾角等参数。对于具有可见光探测任务的探测器，则对太阳光矢量与轨道面的夹角有约束。若设计过程给定了到达时间，则可用到达时的轨道升交点经度来满足此约束条件。b. 椭圆轨道进入点的轨道参数确定 轨道根数（或称轨道要素或轨道参数）是对选定的两个质点，在牛顿运动定律和平方反比定律的重力吸引下，确认特定轨道所必须要的参数。椭圆轨道上的三个笛卡尔坐标），所以每个独立的开普勒轨道（未受到摄动）经过解析后，可以由原始的笛卡尔数值以六个参数明确地定义天体的姿态和速度。因此，所有的轨道元

17、素组合都明确的含有轨道倾角升交点黄经，离心率，近日点辐角，半长轴，近日点通过时间这六个元素。地月转移轨道末端到达时间和升交点经度m 的确定取决于两个因素：1）燃料消耗要求和太阳光照条件共同约束的影响；2）到达时测控条件要求。嫦娥三号所需速度增量（包括EA 点加速机动和LOI 点制动机动所需的速度增量之和），与LOI 点月心升交点经度取值m 有关。m 越趋近于-90o（从0o 方向接近）或越趋近于90o（从180o 方向接近），则地月转移轨道飞行时间越长，探测器所需燃料消耗越少。当m 选定后，则LOI 点到达时间的天窗口取决于太阳光照条件。根据计算表明，若给定m 以及到达时太阳矢量与轨道面的夹角

18、（称为太阳相位角），则每个月有两次机会满足要求。c.确定远月点和近月点位置² 到达时间： 2013年12月6日17分47时² 轨道倾角： 90 deg² 近月距：1752.646 km (对应轨道高度为15km)² 到达远月点时太阳与标称轨道面的夹角：-35-40deg² 升交点经度 ： -85 deg² 离心率：0.024² 半长轴：1794.513km根据嫦娥三号资料显示，由于近月点在虹湾区正上方，忽略月球自转，所以经度可以看做基本不变；因为月球极区半径为1735.843km，赤道半径1737.646km，经计算竖直高度

19、为19.31497km。通过软件仿真，结果表明近月点位置（19.53 W，72.91N,15km）；远月点位置（160. 51E，107.09S,100km）。如图（2）（3）： 图（2）图（3）5.3问题二的模型建立与求解步骤一：将着陆轨道的6个阶段简化为主减速控制，避开障碍控制以及垂直降落控制三个阶段。步骤二：确定距离月面100m处的数字高程图在距月面2400m处的数字高程图的匹配坐标。步骤三：对简化后的三个阶段分别从推力控制方向、约束条件、控制过程计算方法三方面进行讨论，再在景象匹配基础上建立最精确轨道策略。步骤四：针对燃料的节省建立燃料最省轨道模型，求解最优控制。5.3.1.模型的简化

20、： 精确软着陆过程主要是使嫦娥三号由距月面 15km 的高度降落到月球表面，同时将初始相对月球1.69204km/s 的初速度减小到相对静止既相对速度为0，并满足一定的着陆精度要求的着陆过程。根据任务要求将着陆过程分为3个阶段，以其所要达到的高度为指标分为初始高度距月面15km、主速度减小为0 时的高度(制导阶段的初始高度)、制导结束的高度、抵达月面；具体过程如下表：控制阶段距月面距离描述主减速 （A）15000-2400米减速并调整，使发动机的推力竖直向下避开障碍（B）2400-30米相机采集月面信息，调整位置避开障碍垂直降落（C）30-0米垂直下降，使嫦娥三号到达着陆位置5.3.2 基于多

21、尺度塔式小波分解的图像匹配Step1:确定粗避障横向位移通过Image Match 软件确定距离月面100m处的数字高程图作为模板图，将距月面2400m处的数字高程图作为待匹配图。使用法计算出距月面2400m处的数字高程图的最佳阈值为116.9991如图（4），以此作为顶层粗匹配阈值且将预选粗匹配点数设为500。最终求出最佳匹配坐标。结果如图（5）图（4） 图（5）在匹配结果图按1：1的比例加入坐标轴如图（6），将匹配坐标对应直角坐标系中的坐标（364,1600），嫦娥三号位置在中心坐标（1150,1150），根据勾股定理计算 ，所以在粗避障过程中，嫦娥三号以夹角为30度的方向水平横向位移90

22、5m。图（6）b.精细避障横向位移Step1:利用MATLAB软件获取大量数据，并规定90-110的灰度值为可接受的平缓地势，通过逐点扫描确定最优着陆点坐标为(112,959)。嫦娥三号以夹角为50度的方向水平横向位移601m5.3.3最精确轨道的建立在嫦娥三号导航定位中 ，传统的方法有燃料最省软着路、两次减速软着路，但下视景象匹配是一种广泛使用的定位方法 ，它利用嫦娥三号实时获取下视景象(实时图) ，与飞行区域具有地理编码的基准图像(基准图)进行匹配，根据匹配结果来实时确定嫦娥三号位置 ，因此匹配结果的好坏将直接影响导航定位的精度。图像匹配通常是在已知的 M×N 个象素的图象中寻找

23、m×n 个象素的子图像的匹配位置(M>m，N>n)图像匹配是计算机图像科学的一种基本处理方法。通常把实时图与基准图中与之大小相等、方向相同的子图(基准子图) 逐一进行比较，找出与实时图相匹配的那个基准子图的位置，即认为是实时图在基准图中的位置，从而确定出基准图与实时图的相对位置。A.主减速段最优控制策略Step1:推力方向控制在横向主减速嫦娥三号的速度方向可分解为横向速度和径向速度，在横向减速阶段主要的任务是减小嫦娥三号的横向速度为其后的制导飞行做准备。在径向减速段由嫦娥三号纵轴相对当地水平面的偏角 得到姿态调整信息对嫦娥三号的进行姿态调整使嫦娥三号纵轴沿垂直平面旋转 =

24、/2 + ，最终将主发动机的喷口方向(嫦娥三号纵轴)垂直当地月面，选择主发动机的开机点，利用主发动机推力抵消径向速度。Step2:约束条件根据任务需要，在横向减速完成时，嫦娥三号的横向速度将减小到零，主发动机关机，所以终端约束条件为水平速度为0。 由嫦娥三号携带的降落相机的开机高度和速度要求为基准，得到嫦娥三号进行径向减速后所需的径向速度20km/s和距离月面的高度3000km。Step3：控制过程计算方法1.计算初值：带入横向减速动力学方程： 其中， ， 是推力加速度。Step4：主减速阶段各变量变化曲线图速度及质量变化曲线图高度径向速度变化曲线B.避障段最优控制策略Step1：推导方向控制

25、由于上一个控制段结束时嫦娥三号各状态值已经达到降落相机的开机条件，此时嫦娥三号所携带的星载计算机将降落相机所拍摄的图像和机器内存储的环月阶段所拍摄的基准图像进行匹配计算，形成目标点的位置信息。由此信息可得到辅助发动机喷口方向与嫦娥三号和目标连线的角度偏差 和距离 。 Step2:约束条件由嫦娥三号精度要求和飞行任务要求为准，得到嫦娥三号进行垂直减速后所要达到的径向速度20km/s以及距离月面的高度2400km。Step3：控制过程计算方法(1)径向运动方程建立：由于初始横向速度为0，设初始径向速度为v y0 ，自由下落末速度(开机点速度)为vyg ，横向制导终点径向速度为v y1 。自由下落距

26、离为S y1 ，开机减速距离为S y2 ，下落总距离为Sy 。由径向减速方程可得：式子中： （2）横向运动方程的建立：横向运动与径向减速段类似可得到横向速度和位移公式，设辅助发动机开机点到喷口切换点的横向位移为SHx，喷口切换点到横向制导段结束(横向速度减为0)的横向位移为Sx2，喷口切换点横向速度为vHx，横向总位移为SX x2 Hx = S + S，再根据横向速度与横向位移公式联立方程可得：Step4：避障段各变量变化曲线图高度径向速度变化曲线横向平移，横向速度变化曲线c.垂直降落段最优控制策略Step1：推导方向控制垂直降落过程与径向减速过程基本一致，但是减少了嫦娥三号进行姿态调整地过程

27、，控制策略更加简化。Step2: 约束条件 软着陆的基本要求为以接近0的速度降落在月球表面。Step3：控制过程计算方法式子中： Step4：垂直降落段各变量变化曲线图高度、径向速度的变化曲线5.3.3.1最精确轨道的近似求解1.初始条件2.最优轨道终端参数 5.3.4最省燃料轨道建立与求解Step1：最优控制方法如果以燃料最省为优化性能指标，意味着登月软着陆完毕嫦娥三号的剩余质量最大。对于推力幅值恒定的嫦娥三号，燃料消耗最省的性能指标可以表示为：因此，如果达到燃料最省的性能指标，首先应选择较大比冲的发动机。一般情况下，当发动机的类型已经确定的时候，发动机的比冲和推力幅值都已确定，即发动机的燃

28、料消耗率已经确定。此时性能指标变为飞行时间极小。此时发动机的推力会取为最大值，使嫦娥三号在尽量短的时间内完成软着陆任务，对于软着陆问题，由于实际工作时间很短，燃料最优的性能指标具有更重要的工程意义。构造哈密顿函数，根据极大值原理得到最优推力控制角有对于登月软着陆的最优控制问题实际就是控制发动机的推力T 和推力控制角 达到最优的推力 和最优的推力控制角 ，使得嫦娥三号沿着一条燃料最省的轨道进行软着陆。Step2:最优软着陆轨道近似求解 1.初始条件2.终端条件3.最优轨道终端参数 5.4问题三模型的建立与求解5.4.1误差分析a.针对着陆精度误差分析1.最省燃料着陆轨道 所选近月点与飞行器实际所

29、到达的轨道位置有一定偏差，将造成其后的降落过程的极大偏差，使飞行器存在以很大速度击中月球表面或严重偏离降落范围的安全隐患。2.最精确着陆轨道能降低着陆器以极大速度击中月球表面的几率，同时由于增加了横向飞行制导段，使得飞行器能自主寻找已知目标点，大大降低了严重偏离降落范围的安全隐患b.针对燃料消耗误差分析1.最省燃料着陆轨道燃料最优软着陆方案的燃耗比最低(燃料消耗量和初始质量比)，降落过程时间最短。两次减速软着陆方案的降落过程时间居中，燃耗比也居中，精确软着陆的燃耗比最大，降落时间也最长。2.最精确着陆轨道精确软着陆的燃耗比最大5.4.2敏感性分析敏感性分析是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化对某一个或一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。其实质是通过逐一改变相关变量数值的方法来解释关键指标受这些因素变动影响大小的规律。根据资料显示，初始条件精度较差，摄动影响一般较大；推力器安装误差变大，轨道摄动量增大；喷气时间对摄动量没有明显的影响规律。此外，摄动仿真曲线波动较大，且变化量分布不均匀，变轨姿控过程