(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题二立体几何第1讲空间几何体学案

1、2 第 1 讲空间几何体 考情考向分析1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、 体积的计算 2 考查空间几何体 的侧面展开图及简单的组合体问题. 热点分类突破 热点一三视图与直观图 1 .一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正 视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2 .由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体. 例 1 （1）（2018 全国川）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头

2、若如图摆放的木构件与某一带卯眼的 木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 （ ） 答案 A 解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 （2）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 / ABC= 45, AB= AD= 1, DCL BC,则这块菜地的面积为 _ . 答案 解析 如图，在直观图中，过点 A作AE! BC垂足为点E,师生讲练互动热点苔个击破 A. （如图所示） , 2 则在 Rt ABE中，AB= 1,Z ABE= 45,二 BE=-. 而四边形AEC曲矩形，AD= 1, EC= AD= 1BC= BE+

3、 EC= + 1. 由此可还原原图形如图所示. 1 这块菜地的面积为 S= 2(A D 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底 面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 面的位置， 再确定几何体的形状， 即可得到结果在还原空间几何体实际形状时， 一般是以 正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑. 跟踪演练 1 (1)(2018 浙江省台州中学模拟 )在一个几何体的三视图中， 正视图和俯视图如 图所示，则相应的侧视图可以为 ( 在原图形中，A D = 1

4、, A B 且 A D/ B C , A B丄 B C, 调整实线和虚线所对应的棱、 2= 2 3 俯觇图 4 答案 D 解析由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥 等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为 D 选项中的图形，故选 D. 如图，在正方体 ABCB AiBiCD中，E, F, G分别为棱 CD CC, AB的中点，用过点 E, F, G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为 （ ） 答案 解析 延长 取AA的中点H,连接GH贝U GH为过点E, F, G的平面与正方体的面 ABBA的交线.

5、GH交BA的延长线与点 P,连接EP,交AD于点N,则NE为过点E, F, G的平面与正方 体的面ABC啲交线. 同理，延长EF, 交DC的延长线于点 Q连接GQ交BC于点M则FM为过点E, F , G的平 5 热点二几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点， 解决这类问题，首先要熟练掌握 各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割 成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例 2 （1）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的表面积为（ ）面与正方体

6、的面 BCCB的交线. 所以过点E, F, G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形 EFMGHN 故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项 C所示. 6 A. 8+ 4 2 + 8 5 B. 24 + 4 2 C. 8+ 20 2 D. 28 答案 A 解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为 4,宽为 2 的矩形，左右两个侧面是底边为 2, 高为 2 2 的三角形，前后两个侧面是底边为 4，高为 5 的平行四边形，所以该几何体的表面 1 积为 S= 4X 2+ 2X 2X2 2 + 2X 4X 5 = 8+ 4 2 + 8 5. （2）（2018 杭州质检）一个几何体的三视图如图所示

7、， 则该几何体的体积是 _ ，表面积 是 _ . 解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为 V 3 1 1 2 14 X2 + 寸 3 冗 X2 X 3=亍 n , 1 2 1 2 1 1 1 t2 2 / f 表面积为 S= 4X4 n X2 + X n X2 + X 4X 3+ X 2X2 n X 2X；-;3 + 2 = 6 + （ 6 13） n . 思维升华 （1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和. （2）求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解； 求组合体的体积时，若所给定的几何体

8、是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分 割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何 体的直观图，然后根据条件求解. 跟踪演练 2 （1 ）（2018 宁波期末）圆柱被一个平面截去一部分后与半球 （半径为r）组成一个 几何答案 14 6 + (6 + .13) n =4 X 3n 7 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+ 20 n , 则r等于（ ） 正视图 俯视图 A. 1 B . 2 C . 4 D . 8 答案 B 解析由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的 1 2 2

9、1 2 2 一半底面重合，则其表面积为 2X4 n r + n r + 2r X22 + 2X2 n r X2 r = 4r + 5n r = 16 + 20 n，解得r = 2,故选 B. 3 （2）（2018 绍兴质检）某几何体的三视图如图所示 （单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm） 是（） 正视團 俯观图 A. 2 B . 3 C . 4 D . 6 答案 A 解析 将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为 1 1 正方形（边长2），高为 3 的正四棱锥，则其体积 V= 3Sh= 3X（ 2）2X 3= 2,故选 A. 3 3 热点三多面体与球

10、与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为 正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径8 球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题， 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 （或“切点”“接点”）作出截面图. 例 3 （1）已知正三棱锥 S ABC的顶点均在球 O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱9 A. 16n C. 24 n 答案 A 解析 设正三棱锥的底面边长为 a,外接球的半径为 R

11、因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 a, 所以-a= R 即 a= 3R 又因为三棱锥的体积为 2 3, 所以 3X aR= 3（ 3R）* R= 2 3, 解得 R= 2,所以球的表面积为 S= 4 n R = 16n . 如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为 （ ） 答案 D 解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为 20,24,16 的长方体 ABCB ABCD 中, 锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 2.3，则球0的表面积为（ ） B. 18 n D. 32 n 25 n A. B. 4 25n 1 125 n 16 C. D. 1 125 n 16 则AD= ，

12、则 A0= |AD= I T o 1 10 KG= 9, GL= LB= 12, BB= 16罟=囂, 则厶 KGLsA LBB,Z KLA 90, 故可求得三棱锥各面面积分别为 SABKL= 150， SAJKL= 150, SAJKB= 250, SAJLB = 250, 故表面积为 S表=800. 4 1 125 n 故三棱锥内切球体积 V球=3n r3= 16 思维升华三棱锥P- ABG可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点 A, B, G可作为下底面的三个顶点. P-ABG为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线. 跟

13、踪演练 3 (1)在三棱锥 P- ABG中, PAL平面 ABG AB! BG 若 AB= 2, BC= 3, PA= 4，则 该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A. 13 n B . 20 n G . 25 n D . 29 n 答案 D 解析 把三棱锥P- ABG放到长方体中，如图所示, 所以长方体的体对角线长为2 + 3+4 = 29, 所以三棱锥外接球的半径为 J9, (2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为 面积为S2，则匚等于( ) 82 A. 1 : 2 B . 1 : 3 G . 1 : 4 D . 1 ：8 答案 G 解析如图，三棱锥B- K

14、LJ即为所求的三棱锥，其中 设内切球半径为 3V ，则 r = 8表= 15 7， S,外接球的表 三棱锥体积 JK= 1 000 , 所以外接球的表面积为 11 由已知圆锥侧面积是底面积的 1 2 则，IR = 2 n r , 1 2 即 2 2 n r R= 2 n r , 解得R= 2r, 故/ AD= 30,则厶DEF为等边三角形， 设B DEF的重心，过 B作BCL DF, 则DB为圆锥的外接球半径， BC为圆锥的内切球半径, 真题押题精练 【真题体验】 1.（2018 全国I改编）某圆柱的高为 2，底面周长为 16,其三视图如图所示. 圆柱表面上的 点M在正视图上的对应点为 A,圆

15、柱表面上的点 N在侧视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面 上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 _ . 答案 2 5 解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M N的位置如图所示. J 2 N 0 4 N J 圆柱的侧面展开图及 M N的位置（N为OP的四等分点）如图所示，连接MN则图中MN即为 一 1 M到N的最短路径.ON=；X 16= 4，OM= 2， 4 2 倍，不妨设底面圆半径为 r, I为底面圆周长，R为母线长, BC 1 BD=2， r内=1，故 |= 4. 真题押题体味咼考 I) 12 MN= OM+ ON= 22+ 42= 2 5.13 2 . （2017 北京

16、改编）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 答案 2 3 解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示, 可知SD为该四棱锥的最长棱. 由三视图可知，正方体的棱长为 2, 故 SD= ,22+ 22+ 22= 2 3. 3. （2017 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 则这个球的体积为 _ . 解析 设正方体的棱长为 a,则 6a2 = 18,. a= 3. 设球的半径为 R则由题意知 2R= a2+ a2 + a2= 3, 3 亠日 4 3 4 肌 9 R= 2故球的体积 V= 3 冗 R= 3 冗X q = 2 n . 4. （2017 全国I

17、 ）已知三棱锥 S- ABO的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球O的直径.若 平面SCA_平面SCBSA= ACSB= BC三棱锥S ABC勺体积为9,则球O的表面积为 _ 答案 36 n 解析如图，连接OA OB 18, A 14 由 SA= AC SB= BC, SC为球 O 的直径知，OAL SC, OBL SC 由平面SCAL平面SCB平面SCAO平面SCB= SC OA平面SCA OAL平面 SCB 设球O的半径为r,贝U OA= OB= r, SC= 2r, 一 + 、 11 r3 二棱锥 S ABC的体积 V= 3 x x SC OB OA=, 3 2 3 3 r 即=9, r

18、 = 3, 球 O的表面积 S= 4 n r = 36 n 3 【押题预测】 1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为 （ ） 押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热 点.此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积. 答案 D 解析 由三视图知，该几何体是底面边长为 ，22 + 22 = 2 2 的正方形，高 PD= 2 的四棱锥P ABCD因为PCL平面 ABCD且四边形 ABC是正方形， 易得 BCL PC BAL PA 又 PC= PD+ CD = 22 + 2 2 2 = 2 3 , 1 所以 S PC

19、D= & PAD= x 2 X2 ；J2 = 2 2 , SPAB= SPBC= 2X22X2 J3 = 2*6. 所以几何体的表面积为 4 .6+ 4 2 + 8. 2 .在正三棱锥 S- ABC中，点M是SC的中点，且 AML SB,底面边长 AB= 2 2 ,则正三棱锥A. 16 C. 2 2 + 2 6 + 8 B. 8 2+ 8 D. 4 2+ 4 6 + 8 恻视图 15 S ABC勺外接球的表面积为( ) A. 6 n B . 12 n C . 32 n D . 36 n 押题依据灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的 执占 八、八、 答案

20、 B 解析 因为三棱锥 S- ABC为正三棱锥，所以 SBL AC又AML SB A8 AM= A, AC AM?平面 SAC所以SBL平面SAC所以SB丄SA SEL SC同理SAL SC即SA SB SC三线两两垂直， 且 AB= 2-2,所以 SA= SB= SC= 2,所以(2 R) 2= 3x2= 12 ,所以球的表面积 S= 4 n R = 12 n , 故选 B. 3._ 已知半径为 1 的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时， 球的体积与圆柱的体积的 比值为 _ . 押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主 要是求柱体、锥体、球体或简

21、单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的 体积计算，命题角度新颖，值得关注. 答案舞 解析 如图所示，设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的侧面积为 所以当 r = 4 *2 3 16 S= 2n r X2 1 r2 =4 n r 1 r2 3, 6,三视图还 1 1 原为几何体是图中的三棱锥 p ABC且 &PAB= SB= 2x4X 6= 12 , AB= -x4X2 3= 4 3, PAC是腰长为 52，底边长为 4 的等腰三角形，SPAC= 8 3.综上可知，该几何体的表面积 为 2X 12+ 4 3 + 8 3 = 24 + 12 3.故选 C. 5. 已知如图所示的

22、三棱锥 D ABC的四个顶点均在球 0的球面上， ABCHA DBC所在的平面 A. 4 n C. 16n 答案 C 解析 如图所示， AB + AC = BC,. ./ CAB为直角，即A ABC外接圆的圆心为 BC的中点 O . ABCHA DBC所在的平面互相垂直，则球心在过A DBC的圆面上，即A DBC勺外接圆为 球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径 R= 2,球的表面积为 S= 4n R = 16 n，故选 C. 6. 已知正四棱锥 P ABCD勺各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ：,：2， 若该正四棱 锥的体积为 2，则此球的体积为（ ） 互相垂直, AB=

23、 3, AC=/3 B. 12 n D. 36 n A. 124 n 3 B. 625 n 81 C. 500 n 81 D. 256 n 9 21 答案 C 解析 如图所示，设底面正方形 ABC啲中心为O ,正四棱锥P ABC啲外接球的球心为 022 底面正方形的边长为 2, O D= 1, 正四棱锥的体积为 2, - VP-ABCS= 3 x（ 2）2X PO = 2, 解得PO = 3, OO = | PO PO = |3 R , 在 Rt OO D中，由勾股定理可得 OO 2+ O Df= O&, 即（3 R）2+ 12= R2, 解得R= 5， 3 4 3 4 |&3

24、 500 n V球=3n R=3n x 3 =_T. 7 .在三棱锥 S ABC中，侧棱 SA!底面 ABC AB= 5, BC= 8，/ ABC= 60, SA= 2 半，则该 三棱锥的外接球的表面积为 （ ） 64 256 A. y n B. 丁 n 436 2 048 3 C. 3 n D. 27 n 答案 B 解析 由题意知，AB= 5, BO 8,Z ABO 60, 则在 ABC中，由余弦定理得 AC= AB+ BC 2 x AB BCx cos / ABC 解得A（=乙 设厶ABC的外接圆半径为r，则 2 又侧棱SAL底面ABC 三棱锥的外接球的球心到平面 ABC的距离d =扌SA

25、= 5 ,则外接球的半径R =23 8 某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是 _ （写出所有可能的序号） 答案 解析 如图 a 三棱锥C ABD正视图与俯视图符合题意，侧视图为; 如图 b 四棱锥P ABCD正视图与俯视图符合题意，侧视图为； 如图 c 三棱锥P- BCD正视图与俯视图符合题意，侧视图为. 9 如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图 都是等腰梯形，且 ADL平面CDE F现测得 AB= 20 cm , AD= 15 cm, EF= 30 cm , AB与EF间 3 的距离为 25 cm，则几何体 EF ABC的体积为 _ cm.

26、 答案 3 500 解析 在EF上 ,取两点 M N（图略），分别满足EM= NF= 5,连接DM AM BN CN则该几 何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可 1 1 1 以求得 V= 2X 20X 15X 20+ 2X -X -X 20X 15X 5= 3 500. 2 3 2 o 256 S= 4 n R = _3 Tt 2,其中 ABCD是矩形，ABFE和 CDEF 则该三棱锥的外接球的表面积为 b 图I 图2 24 10. （2018 浙江省杭州二中等五校联考 ）一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 _ ,其外接球的体积为 _ 25 解

27、析 由三视图得该几何体是一个底面为直角边分别为 3,4 的直角三角形，咼为 5 的三棱锥， 且三棱锥的顶点在底面的投影为底面直角三角形中边长为 4 的直角边所对的顶点，则其表面 1111 积为 2 X 3X4 + 2 X 3X5 + 2 X 5X5 + 2 X . 34 X4 = 26 + 2 34 ,其外接球的半径为 寸审甲弓芦!=字，则外接球的体积为 4X X警=耳迟. 11. （2018 全国n ）已知圆锥的顶点为 S,母线SA SB所成角的余弦值为8, SA与圆锥底面 所成角为 45,若厶SAB的面积为 5 屮 5,则该圆锥的侧面积为 _ 答案 40,2 n 解析 如图，I SA与底面

28、所成角为 45 , SAC为等腰直角三角形. 设 OA= r，贝U SC= r, SA= SB= 2r. 在厶 SAB中, cos / ASB= 7, 8 sin / ASE= 1 SSAB= SA- SB- sin / ASB =JcNr)2,专=5.15, 解得 r = 2 ,10, 答案 26 + 2 34 125 .2 P n 26 SA= /2r = 45，即母线长 l = 4J5,27 S 圆锥侧=n r l =nX2 10 X4 5 = 40 f 2 n . n 12. 已知二面角a - l - 3的大小为，点Pa，点P在3内的正投影为点 A过点A作 A吐I，垂足为点 B,点C

29、I , BC= 2 2, PA= 2 3,点D 3 ,且四边形 ABCD满足/ BCDF / DAB= n .若四面体PAC啲四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为 _ . 答案 8 6 n 解析 I / BCD-Z DAB= n , A, B, C, D四点共圆，直径为 AC / PAL平面 3 , AB丄 I，易得 PBL I , 即/ PBA为二面角a - I - 3的平面角， n 即/ PBA=, PA= 2 3 , BA= 2, / BC= 2 2 , AC= 2 3. 设球的半径为 R则 2 3 F2- ( .3)2=“ .氏一(3)2, R= 6, V=-( 6) 3= 8 6

30、n . B 组能力提高28 13若四棱锥P- ABCD勺三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为 （ ） 由于 PAD为等腰三角形，PA= PD= 3, AD= 4,四边形ABC为矩形，CD= 2,过厶PAD勺外心 F作平面PAD勺垂线，过矩形 ABC啲中心H作平面ABCD勺垂线，两条垂线交于一点 0,则0 32+ 32 一 42 1 4/5 外接球的球心，在 PAD中, cosZ APD= =石，贝U sin Z APD= , 为四棱锥2 3X3 9 9 2PF= sin Z APD 二，PF=嚅， g- PE= 9 4 = 5, OH= EF= _ 5- BH= 2 ,16 + 4 = 5, 所以 S= 4n X 105 101 n A. 81 n 5 B. 81 n 20 C. 101 n 5 D. 101 n 20 答案 C 解析根P- ABCD如图所示，平面 PADL平面 ABCD AD 10， 5 505 100 + 5 = 10 ， 0B= 0H+ BH= 29 则 AH= |PQ0, 8tan x 8tan x S- (1 + tan x j 1 + tan2x + 2tan