浙江省2014届高中数学专题复习 试题选编15 函数的最值与导数 理（含解析）新人教A版

1、浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数一、选择题 （浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数,若有且仅有一个正实数,使得对任意的正数t都成立,则=（）A5BC3D【答案】D （浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若函数,则下列命题正确的是（）A对任意,都存在,使得 B对任意,都存在,使得 C对任意,方程只有一个实根 D对任意,方程总有两个实根【答案】B 二、填空题 （浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）若时,不等式恒成立,则的取值范围是_.【答案】 三、解答题 （浙江省嘉兴市2013届高三第二次模

2、拟考试理科数学试卷）已知,函数.()若,求函数的极值点;()若不等式恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数)【答案】解:()若,则,. 当时,单调递增; 当时,单调递减 又因为,所以 当时,;当时,; 当时,;当时, 故的极小值点为1和,极大值点为 ()不等式, 整理为.(*) 设, 则() 当时, ,又,所以, 当时,递增; 当时,递减. 从而. 故,恒成立 当时, . 令,解得,则当时,; 再令,解得,则当时,. 取,则当时,. 所以,当时,即. 这与“恒成立”矛盾. 综上所述, （浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知函数,它的一个极值点是.() 求的值及的值

3、域;()设函数,试求函数的零点的个数.【答案】 （浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知函数,R.()若,求曲线在点处的切线方程;()若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.(注:为自然对数的底数.)【答案】解:() 当时,则 故, 所以曲线在点处的切线方程为即为; ()由题, 令,注意的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有 (1),单调递增, 所以有 得; (2)当即时,单调递减, 所以有 得,故只有符合; (3)当即时,记函数的零点为, 此时,函数在上单调递减,在上单调递增, 所以, 因为是函数的零点,所以, 故有 令,则 所以函数在上单调递减,故恒成立, 此时,;

4、综上所述,实数的取值范围是 （浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知.()判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;()若求的最大值;()若,求证:.【答案】 （浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）定义,(1)设函数,试求函数的定义域;(2)设函数的图象为曲线C,若存在实数b,使得曲线C在其上横坐标为的点处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;(3)当且时,证明:.【答案】解:(1),即 得函数的定义域是, (2) 设曲线处有斜率为-8的切线, 又由题设 存在实数b使得 有解, 由得代入得, 有解, 易得:,因为,所以, 当时,存在实数,使得曲线C在

5、处有斜率为-8的切线 (3)当且时 令 又令 , 单调递减. 单调递减, ,故不等式得证 （浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本題满分15分)已知函数.(I)若关于x的不等式f(x)m恒成立,求实数m的最小值:(II)对任意的x1,x2(0,2)且x1<x2,己知存在. 使得求证:【答案】(I)解:由解得 当时,单调递增; 当时,单调递减; 关于的不等式恒成立 即的最小值为 (II)证明:对任意的,若存在,使得 即 令,则有 , 当时,又有 即在上是减函数 又 令, 设, 设, (),在是减函数, ,在是减函数, 在上是减函数, （浙江省重点中学2013届高三上学

6、期期中联谊数学（理）试题）已知函数,()求证:;()若恒成立,求实数的值; ()设 ()有两个极值点、 (),求实数的取值范围,并证明:【答案】解:() , 在递减,在递增 · ·() 所以(即)的必要条件是,得 当时,由(1)知恒成立. 所以 (注:直接得出,没有证明的,得3分) (3), ,有两个极值点、等价于 方程在上有两个不等的正根 得 由得, () 设, 得, 所以 （浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数(I)若为的极值点,求实数的值;(II)若在上为增函数,求实数的取值范围;(III)当时,方程有实根,求实数的最大值.【答案】

7、解:(I) 因为为的极值点,所以,即,解得 (II)因为函数在上为增函数,所以 在上恒成立.6 分 当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故 符合题意 当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立 令函数,其对称轴为,因为,所以,要使在上恒成立,只要即可,即,所以.因为,所以. 综上所述,a的取值范围为 ()当时,方程可化为. 问题转化为在上有解,即求函数的值域. 因为函数,令函数, 则, 所以当时,从而函数在上为增函数, 当时,从而函数在上为减函数, 因此. 而,所以,因此当时,b取得最大值0 （浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知函数(I )求f(x

8、)的单调区间;(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.【答案】解:()= () 令, 时,所以增区间是; 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是,减区间是 ()因为,所以,由(1)知在上为减函数 若,则原不等式恒成立, 若,不妨设,则, 所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立 令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数 所以对任意的,恒成立 （浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知为正的常数,函数.(I)若,求函数的单调递增区间;(II)设,求在区间1,上的最小值.(为自然对数的底数)【答案】()时, , 可得单调增区

9、间是 (), 当时,则,得; 当时,单调递增,; 当时,在上减,上增, （浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.【答案】（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）设函数.(I)试讨论函数在区间0,1上的单调性:(II)求最小的实数h,使得对任意x0,1及任意实数t,恒成立.【答案】 （浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）已知函数, ()求函数的单调区间;()设函数,若存在,使得成立,求的取值范围;()若方程有两个不相等的实数根,求证:.【答案】解析:(1) 当

10、时,函数在上单调递增,函数的单调增区间为 当时,由得;由得 函数的单调增区间为,单调减区间为 (2)当时, 则当时, 当,则显然成立,即 当,则,即综上可知 (3)是方程的两个不等实根,不妨设 则 两式相减得 即 又,当时;当 时 故只要证明即可,即证 即证明: ,设令则 则在为增函数,又 时,总成立,得证. （浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设函数,其中(1)如果是函数的一个极值点,求实数a的值及的最大值;(2)求实数a的值,使得函数同时具备如下两个性质:对于任意实数恒成立;对于任意实数恒成立;【答案】 （浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）已知函

11、数()()讨论的单调性;()当时,设,若存在,使, 求实数的取值范围.为自然对数的底数,【答案】解:(), 令 当时,的减区间为,增区间为(. 当时, 所以当时,在区间上单调递减 当时, , 当时,单调递减, 当时,单调递增, 当时,单调递减, 所以当时,的减区间为,增区间为(. 当时,的减区间为. 当时,的减区间为, 增区间为 ()由()可知在上的最大值为, 令,得 时,单调递减, 时,单调递增, 所以在上的最小值为, 由题意可知,解得 所以 （浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知函数. ()若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围; () 记,若,则当时

12、,函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内,请写出判断过程.【答案】解:(1)因 因函数在上单调递增 在上恒成立. - (2) 当时,所以函数在单调递增,所以其最小值为,而在的最大值为1,所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内 当时, ()当,函数在单调递减,所以其最小值为 所以下面判断与的大小,即判断与的大小,其中 令, 因所以,单调递增; 所以,故存在 使得 所以在上单调递减,在单调递增 所以 所以时, 即也即 所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内 （浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知函数,其中a为常数,设e为自然对数的底数.当时,求的最大值;若在区间

13、(0,e上的最大值为,求a的值;当时,试推断方程=是否有实数解【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f(x)=-1+ 当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0. f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数 =f(1)=-1 (2) f(x)=a+,x(0,e, 若a,则f(x)0,从而f(x)在(0,e上增函数 =f(e)=ae+10.不合题意 若a<,则由f(x)>0>0,即0<x< 由f(x)<0<0,即<xe. 从而f(x)在上增函数,在为减函数 =f=-1+ln

14、令-1+ln=-3,则ln=-2 =,即a=. <,a=为所求 (3) 由(1)知当a=-1时=f(1)=-1, |f(x)|1 又令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e, 当0<x<e时,g(x)>0,g(x) 在 (0,e)单调递增; 当x>e时,g(x)<0,g(x) 在(e,+)单调递减 =g(e)= <1, g(x)<1 |f(x)|>g(x),即|f(x)|> 方程|f(x)|=没有实数解 （浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的

15、单调区间;(3)在()的条件下,设函数,若对于,使成立,求实数b的取值范围. 【答案】.解:函数的定义域为, (1)当时, 在处的切线方程为 的最小值为 若对于使成立在上的最小值不大于在1,2上的最小值(*) （浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数 (I)当时,讨论在上的单调性;(II)若的定义域为(i)求实数的取值范围;(ii)若关于的不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.【答案】解:(I), 由 解得 当时,单调递增;当时,单调递减 (II)(i)的定义域为 当时,恒成立 即恒成立, (ii)由,得 即在上恒成立 当时,当时, 而,原不等式不可能恒成立 当时

16、,要使在上恒成立 设 又当时, 当时,在上是减函数, 在上恒成立,即原不等式恒成立 综上所述: （浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知函数()若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;()设函数,求证:【答案】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分15分. 解:()由可知是偶函数. 于是对任意成立等价于对任意成立. 由得. 当时,. 此时在上单调递增.故,符合题意. 当时,. 当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,. 依题意,又. 综合,得,实数的取值范围是.

17、83;········7分 (), , , 由此得, 故.·········15分 （浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的时，都有，求实数m的取值范围。【答案】 解：（1）则 ··············

18、;········2分；···············5分（2）····················8分则对任意的时，都有,即为：即恒成立，设 ··

19、;·············10分， （1,2）为减函数，且，则，矛盾; ············12分若若，则（1,2）上为减函数，且，则，矛盾；若，则上为减函数，在上为增函数，且，矛盾若，则（1,2）上为增函数，则恒由，则，解得 ·········

20、3;······························15分（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数(1)若是函数的极值点,求的值;(2)求函数的最大值.【答案】解:(1) 是极值点, 代入得,解得 (2) 记, () 则在上单调递增,上单调递减

21、() 则在上单调递增,单调递减- 综上,在上单调递增,上单调递减 （浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知函数,.()若,求函数在区间上的最值;()若恒成立,求的取值范围.注:是自然对数的底数,约等于.【答案】解:() 若,则. 当时, , 所以函数在上单调递增; 当时, . 所以函数在区间上单调递减, 所以在区间上有最小值,又因为, ,而, 所以在区间上有最大值 () 函数的定义域为. 由,得. (*) ()当时, 不等式(*)恒成立,所以; ()当时, 当时,由得,即, 现令, 则, 因为,所以,故在上单调递增, 从而的最小值为,因为恒成立等价于,

22、 所以; 当时,的最小值为,而,显然不满足题意 综上可得,满足条件的的取值范围是 （浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）线段,BC中点为M,点A与B,C两点的距离之和为6,设,.()求的函数表达式及函数的定义域;()设,试求d的取值范围.【答案】解:()当A、B、C三点不共线时,由三角形中线性质知 ,代入得, 又,得; 当A,B,C三点共线时,由,可知在线段BC外侧, 由或x=5,因此,当x=1或x=5时,有, 同时也满足:.当A、B、C不共线时, ,可知, 从而定义域为1,5 () . d=y+x-1=. 令 t=x-3,由知, 两边对t求导得:, 关于t在-2,2上单调

23、递增. 当t=2时,=3,此时x=1. 当t=2时, =7.此时x=5. 故d的取值范围为3,7 （浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数(常数)在处取得极大值M.()当M=时,求的值;()记在上的最小值为N,若,求的取值范围.【答案】 （浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知函数.()当时,求在点处的切线方程;()若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】()当时, 在点处的切线方程为:. () 令,则 在上 ,当时, 存在,使,且在上 ,在上 ,即 对于任意的,恒有成立 令,而,当时, 存在,使 在上 , 在上 . （浙江省稽阳联谊学校2

24、013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）函数的图象记为(I)过一点作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,(i)求的值;(ii)若点在切线上,对任意的,求证:(II)若对恒成立,求的最大值.【答案】解:(I)(i) 设切点为,则切线方程为,将点代入得 可化为 设 ,的极值点为 作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条 , (ii)因为点A在曲线E上,所以 当时,左边= 令函数, 当时,函数在上单调递增, 当即时,由得 函数在上单调递减,在上单调递增 ; 当时,左边= 令函数 ,由得 当时,即时,函数在上单调递减, 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 令函数 设,在上单调递增 (II)由

25、得对恒成立,显然. 若则 若,则 设函数,由 所以函数在上单调递减,在上单调递增 设 由 函数在上单调递增,在上单调递减 ,即的最大值为,此时 （浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,.() 求的取值范围;() 若,求的最大值.注:e是自然对数的底数.【答案】()解:函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . 所以, 故的取值范围是 ()解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是 （浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知函数在处取得极值.且在x=1

26、处的切线斜率为1.()求bc的值及的单调减区间;()设求证:【答案】 （浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知函数(1)当时,求的极值(2)当时,求的单调区间(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】解: 极小值 （温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知函数.()当时,试判断的单调性并给予证明;()若有两个极值点.(i) 求实数a的取值范围;(ii)证明:. (注:是自然对数的底数)【答案】解:(1)当时,在R上单调递减 ,只要证明恒成立, 设,则, 当时, 当时,当时, ,故恒成立 所以在R上单调递减 (2)(i)若有两个极值点,则是方程

27、的两个根, 故方程有两个根, 又显然不是该方程的根,所以方程有两个根, 设,得 若时,且,单调递减 若时, 时,单调递减 时,单调递增 要使方程有两个根,需,故且 故的取值范围为 法二:设,则是方程的两个根, 则, 当时,恒成立,单调递减,方程不可能有两个根 所以,由,得, 当时,当时, ,得 (ii) 由,得:,故, , 设,则,上单调递减 故,即 （浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）(本题满分15分)已知函数(b为常数).()函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;()设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;()若,对于区间1,

28、2内的任意两个不相等的实数,都有成立,求的取值范围.【答案】解:()因为,所以,因此, 所以函数的图象在点()处的切线方程为, 由得, 由,得 ()因为, 所以, 由题意知在上有解, 因为,设,因为, 则只要,解得, 所以b的取值范围是 ()不妨设, 因为函数在区间1,2上是增函数,所以, 函数图象的对称轴为,且. (i)当时,函数在区间1,2上是减函数,所以, 所以等价于, 即, 等价于在区间1,2上是增函数, 等价于在区间1,2上恒成立, 等价于在区间1,2上恒成立, 所以,又,所以 (ii)当时,函数在区间1, b上是减函数,在上为增函数. 当时, 等价于, 等价于在区间1,b上是增函数

29、, 等价于在区间1,b上恒成立, 等价于在区间1,b上恒成立,所以,又,所以 当时, 等价于, 等价于在区间b,2上是增函数, 等价于在区间b,2上恒成立, 等价于在区间b,2上恒成立,所以,故, 当时,由图像的对称性知, 只要对于同时成立, 对于, 存在, 使 =恒成立; 或存在, 使=恒成立, 因此当时,对于 成立 综上,b的取值范围是 （浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题） 已知函数(x>0,实数a为常数)()a=4时,求函数在上的最小值;()设,求证:不等式:对于任意不相等的,都成立【答案】()时, , 即在上单调递减,在单调递增 在区间上,当有最小值 ()当

30、 =, 在单调递减,不妨设,则当时, 故不等式等价于 令函数,则 = 再令,对称轴, ,从而当时恒成立, 即当时恒成立,所以在为增函数, 所以 从而对于任意的,都有不等式 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知,函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.【答案】解:()由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ()由已知得到:,其中,当时, (1)当时,所以在上递减,所以,因为; (2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ; (3)当,即时, ,且,即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以,且 所以, 所以; 由,所以 ()当

31、时,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ,又因为,所以,所以,所以 ()当时,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 当时,所以,所以此时; 当时,所以,所以此时 综上所述:. （浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,() 求实数的取值范围;() 求的取值范围;()若,求的最大值.(注:e是自然对数的底数.)【答案】解:()函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . () 故的取值范围是 ( )解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是.（浙江省

32、温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知函数 ,它的一个极值点是()求m的值及在上的值域;()设函数 ,求证:函数与的图象在上没有公共点.【答案】解():令,由题设,满足方程,由此解得:或. (1)当时,分析可知:在上是减函数;在上是增函数; 由此可求得,故 当时,的值域为. (2)当时,同样可得:在上是减函数;在上是增函数,当时,的值域为. 解() , 所以,因为,所以,所以 (1),设,则,当时, 即为增函数,故当有,即, 所以(2),由(1)(2)得,当时,. 所以在上为增函数,又因为在x=0处与图象相连,故对于有,即; 由()知:(1)当时: 在上的值域为,而;所以,故函

33、数与的图象在上没有公共点. (2)当时, 在上的值域为,由于所以,所以,故函数与的图象在上也没有公共点. 综上所述,函数与的图象在上没有公共点. （浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知函数,(),()若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;()若,且当时,恒有,求的最大值.(参考数据:,)【答案】()由已知得 ,且,从而得. 函数在点处的切线方程为,即; 于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点, 从而,可得,又, 因此有 ,. 由,可得,所以,解得或 ()当时,恒成立, 等价于,当时,恒成立. 设(),则, 且可得 ();记(), 则 ,所以在上单调递

34、增. 又,所以, 在存在唯一的实数根,使得; 因此,当时,即得,则在上递减, 当时,即得,则在上递增; 所以,当时, 又由,可得, 因此,得, 而 ,所以,又, 而, 所以,因此, 又,所以 （浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学理）已知函数(I )求f(x)的单调区间;(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.【答案】解:()= () 令, 时,所以增区间是; 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是,减区间是 ()因为,所以,由(1)知在上为减函数 若,则原不等式恒成立, 若,不妨设,则, 所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立 令,所以对

35、任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数 所以对任意的,恒成立 （浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）(本题满分I4分)设函数为实数).(I)设a0,当a+b=0时.求过点P(一1,0)且与曲线相切的直线方程;()设b>0,当a0且时,有,求b的最大值.【答案】 () ,则, ,设切点T(),则, 即:切线方程为,又切线过点P(), ,解得:或. 当时,切线方程为, 当时,切线方程为 () 当,时,在0,1上递增, . 当,时,令,得, 在0,上递增, ( i ) 若时,在0,1上递增, ,即:,由线性规划知:. ( ii ) 若时,在0,上递增,在,1上递减,又

36、, 由题意得:, 由得, 即:,得. 又, , ,得. 当时,满足. 综上所述:的最大值为 （浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）函数定义在区间a, b上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值现设，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”(1) 若函数，求的最大值，写出的解析式；(2) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围【答案】解：(1)由于，故在上单调递减，在上单调递增所以，的最大值为 ， ，(2)由于，故在上单调递减，在上单调递增，而，故， 设对正整数k有对恒成立，当x=0时，均成立；当时，恒成立，而, 故；当时，恒成立，而；故；所以，ks*5u又是上的“第3类压缩函数”，故，所以， （浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是正实数,设函数.()设,求的单调区间;()若存在,使且成立,求的取值范围.【答案】 (iii)当,即时, 单调递减. 当时恒成立 综上所述,