2010年高三数学高考教案：谈解题思路的形成

1、2010年高考数学教案：谈解题思路的形成著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着什么？这就是说，善于解题。”解题的关键是尽快的、准确地找到解题的思路，在解答数学题时，如何才能形成思路呢？下面对这个问题作一些探索。一， 抓住要点，形成思路学生碰到题型新颖，有一定难度的数学题时，往往会思路受阻，无法做下去，这时需冷静分析，研究问题到底“卡”在哪里？这个“卡”就是问题的要点。例1，设，其中是实数，是自然数，且，当时，若有意义，求的取值范围。分析：依题意知，当且时，有于是，记问题的要点在于：求的取值范围，实质上须求的最大值M，M，易证在上是增函数，右可得：M，故。二，借助图形，寻找突破口数学中很多问

2、题都具有“形”的因素，如果能给数学命题以直观，形象的图形描述，就可化抽象为形象，化难为易，形成解题的思路。例2，求函数的最小值。分析：本题有一定的难度，一般方法不易解，注意到，可得：QP，即求点M到点P与点Q的距离的和的最小值。因为点M为单位圆上的动点，因此，即求圆上的动点M到P，Q距离的和的最小值（如图），易得该最小值为。练习，已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ ）。A、1 B、2 C、3 D、4 D解；要满足要求，则图象向右最多平移3个单位，这时1+3=4，所以的最大值为4，1 0 1 2 3 4 三，整体分析，充分发掘隐含条件。 稍有解题经验的人都知道，接到一道题，不

3、必急于动手，而应全面分析，整体上去加以把握，深入发掘隐含条件，这样，题目的难度减少了，解题思路更易形成。例3，若2A+2B+C=0，试求直线被抛物线所截得的弦的中点的轨迹方程。分析：条件2A+2B+C=0隐含着直线过点（2，2）；抛物线的方程隐含着抛物线过定点（2，2），从而知所截得的弦的一个端点为定点（2，2），设所截得的弦的中点为M，则另一个端点为P，因为P在上，所以即，这就是所求的轨迹方程。四，结合经验，辩别题型，注意比较、联想、类比。 由某一条件或由结论入手考虑，常常可形成多个解题方向，应结合经验，把问题与熟悉的问题相挂钩，通过比较、联想、类比等方法，准确地找出解题目思路。例4，已知，

4、且，其中为自然对数的底数，求证。分析：要证，可转化为证：，由不等式两端点结构特点，自然可联想到函数，构造函数，则，故在上是减函数，由可得，从而可得。五，灵活运用综合法与分析法 解数学题，可以从条件出发，看已知条件给出了哪些信息？这些信息能导出什么结论？这些结论哪些与我们待解决的问题有什么联系？也可以从结论出发，寻找结论成立必需具备和条件；还可以由结论条件两头夹攻。正面思考较难则转为反面思考，直接入手不易转为间接考虑，解题思路顺理成章，自然形成。例5，已知函数若，且，求证：。分析：从结论入手分析。由已知可得，因而问题可从证明1+入手，证明思路便形成。，所以1+所以。六，对问题进行特殊化、极端化处

5、理 对一些较为抽象，综合性较强，带普遍性结论的问题，可以先分析问题特殊的、具体的情况，或极端化情况，从中归猜想到一般普遍性的结论，再小心求解（证）例6，是否存在这样的函数，使，且，若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由。分析：设存在满足已知条件的函数，令，则；令，则，；再令，则；而；由此猜想：（用数学归纳法证明，略）。上面我们探讨了解题思路形成的途径，应该承认：思路的形成与个人的思维品质，经验习惯等有很大关系，往往有这种情况：教师觉得某道题的思路容易形成，但学生却觉得难于想到。为了帮助学生在解题时能较为迅速地形成正确的解题思路，我们提倡要做到下面几点：（1）要扎实打好基础概念、定义、定理、公

6、式、基本图形，图象等都是解数学题的基础，解任何一个数学题目，自始至终都必须用到相关的基础知识，牢固掌握好基础知识，是形成解题思路的前提和必要条件。（2）要适当加强解题训练，包括基础性、巩固性、提高性解题的训练。我国知名数学家周伯埙说得好：“做习题当然是必要的，做习题的目的是为了巩固已学过的课文，同时培养独立思考的能力，以便进一步学习和研究，所有合格的中学生，大学生，以及有成就的数学家无一不是由于做过大量习题才达到目前水平的。”解题提倡通法通解，只有熟练掌握基本思想、基本解法，“巧”的思路才能形成，才能产生巧解。（3）要重视解题后的反思 对解题过程应进行回顾、反思，想想思路受阻的原因何在？是否还有其他思路？条件的强化或弱化能否产生新结论？问题能否推广？经过对思维过程的暴露，反思、总结，培养了解题能力，积累了解题经验，对解题思路的形成在有裨益。（4）要不断提高获取知识的能力，充分利用已有的题解结论及解题思想方法 个人从解题家道中实践中获得的经验毕竟有限，课堂、书本杂志、计算机网络等都是吸取他人解题经验的渠道，从中记住一些应用较为广的结论与解题思想方法，今后碰到某些问题时，借肋这些结论、方法的提示，更易形成解题思路，此外，要重视与他人的交流讨论活动，在活动中直接接受他人